IIR数字滤波器的设计

IIR数字滤波器设计的基本思想模拟低通滤波器设计模拟域频率变换脉冲响应不变法*双线性变换法*IIR数字滤波器的设计学习要求了解Butterworth模拟低通滤波器的设计方法，以及常用模拟低通滤波器的频域特性。理解模拟域频率变换设计模拟高通、带通和带阻滤波器的基本方法。掌握脉冲响应不变法设计数字滤波器的基本思想和方法，以及其局限性。掌握双线性变换法设计数字滤波器的基本原理及其特点。掌握设计IIR数字低通、高通、带通和带阻滤波器的主要步骤。重点和难点

本章的重点是将模拟滤波器转换为数字滤波器本章的难点是模拟非低通滤波器的设计数字滤波器的设计LTI系统

数字滤波器设计目标：由给定的数字滤波器频率特性的指标,确定M和N及系数ai,bj从而得到数字滤波器H(z).

若ai等于零，则系统为FIR数字滤波器。

若ai至少有一个非零，则系统为IIR

数字滤波器。数字滤波器的技术要求10通带过渡带阻带)(WjeHpWsWsdpd-1WWs:阻带截止频率dp:

通带波动ds:

阻带波动通带衰减(dB)阻带衰减(dB)Wp:通带截止频率(1)将数字滤波器的设计转换为模拟滤波器的设计。(2)设计满足技术指标的模拟滤波器。(3)将模拟滤波器转换为数字滤波器。IIR数字滤波器设计的基本思想Wp,Wswp,wsH(s)H(z)频率变换设计模拟滤波器脉冲响应不变法双线性变换法IIR数字滤波器设计的基本思想Wp,Wswp,wsH(s)H(z)频率变换设计模拟滤波器脉冲响应不变法双线性变换法wp,wsH(s)频率变换设计原型低通滤波器复频率变换模拟低通滤波器设计模拟滤波器的技术要求Butterworth模拟低通滤波器切比雪夫I(CBI)型模拟低通滤波器切比雪夫II(CBII)型模拟低通滤波器椭圆低通滤波器模拟滤波器的技术要求pw:通带截止频率ws:阻带截止频率dp:

通带波动ds:

阻带波动通带衰减(dB)(PassbandAttenuation)阻带衰减(dB)(StopbandAttenuation)|H(jw)|10通带过渡带阻带pwswsdpd-1wG(w)=20log10|H(jw)|dB滤波器的增益(Gain)函数

Butterworth模拟低通滤波器设计1.BWLP模拟滤波器的频域特性N：滤波器阶数

Butterworth模拟低通滤波器设计1.BWLP模拟滤波器的频域特性(1)|H(j0)|=1，|H(j

)|=0

，-20log|H(jwc)|

3dB，故wc称3dB截频。若wc=1，则为归一化的BWF(2)幅度响应单调下降(monotonicallydecreasing)(3)|H(jw)|2在w=0点1到2N-1阶导数零，称为最大平坦性。(maximallyflatmagnitudefilter)

Butterworth模拟低通滤波器设计2.BWLP滤波器的设计步骤(1)确定滤波器的阶数N

(2)确定滤波器的3dB截频

wc

Butterworth模拟低通滤波器设计2.BWLP滤波器的设计步骤(3)确定滤波器的极点

(4)确定模拟低通滤波器的系统函数HL(s)

常用归一化(wc=1)

Butterworth

模拟滤波器的系统函数一阶：二阶：三阶：四阶：例：设计一个满足下列指标BW型模拟低通滤波器p1.0=wp，p4.0=ws，dBAp1

，dBAs10

取N=2，将N=2带入满足通带的方程解：

(1)计算N和

c例：设计一个满足下列指标BW型模拟低通滤波器p1.0=wp，p4.0=ws，dBAp1

，dBAs10

解：

(2)确定滤波器的极点

(3)确定模拟低通滤波器的系统函数HL(s)

验证：Ap=1dB满足指标；As=18.3dB存在裕量

Butterworth模拟低通滤波器设计3.利用MATLAB设计BWLP[num,den]=butter(N,wc,'s')确定阶数为N，3-db截频为wc(radian/s)的Butterworthfilter分子和分母多项式。's'表示模拟域。[N,Wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s')确定模拟Butterworthfilter的阶数N和3-db截频wc。Wc是由阻带参数确定的。's'表示模拟域。[z,p,k]=buttap(N)确定N阶归一化的Butterworthfilter的零点、极点和增益(gain)

例：设计满足下列条件的模拟Butterworth低通滤波器

fp=1kHz,fs=2kHz,Ap=1dB,As=40dBWp=2*pi*1000;Ws=2*pi*2000;Ap=1;As=40;[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s');fprintf('Orderofthefilter=%.0f\n',N)[num,den]=butter(N,Wc,'s');disp('Numeratorpolynomial');fprintf('%.4e\n',num);disp('Denominatorpolynomial');fprintf('%.4e\n',den);omega=[WpWs];h=freqs(num,den,omega);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));omega=[0:200:12000*pi];h=freqs(num,den,omega);gain=20*log10(abs(h));plot(omega/(2*pi),gain);xlabel('Frequency

in

Hz');ylabel('GainindB');

例：设计满足下列条件的模拟Butterworth低通滤波器

fp=1kHz,fs=2kHz,Ap=1dB,As=40dBAp=0.62dB,As=40dB050010001500200025003000-80-60-40-200FrequencyinHzGainindBBW型:N=8切比雪夫I（CBI）型模拟低通滤波器w))((wjH1cwN=2N=3N=7e:通带波纹

cw：通带截频

N：阶数(由阻带指标确定)1.CBILP的频域特性切比雪夫I（CBI）型模拟低通滤波器1.CBILP的频域特性211e+(1)cww££0时，2)(wjH在1和间振荡(2)cww³时，2)(wjH单调下降（N增大，下降加速）(3)2211)(ew+=cjH

e控制了通带衰减N为奇时

1)0(2=jHN为偶时

2211)0(e+=jH切比雪夫I（CBI）型模拟低通滤波器2.CBILP的设计步骤(1)

由通带截频wp确定wc

(2)由通带衰减Ap确定e

(3)由通带、阻带指标确定Nwc

=wp

切比雪夫I（CBI）型模拟低通滤波器2.CBILP的设计步骤(4)由N、e

确定CBI型低通滤波器的系统函数HL(s)

其中例：设计一CBI型模拟低通滤波器，指标为

wp=0.158,ws=0.727,Ap=1dB,As=10dB(1)求模拟滤波器的

、e取N=2(2)求模拟滤波器的N解:例：设计一CBI型模拟低通滤波器，指标为

wp=0.158,ws=0.727,Ap=1dB,As=10dB解:(3)确定极点，求系统函数切比雪夫I（CBI）型模拟低通滤波器3.利用MATLAB设计CBILP[z,p,k]=cheb1ap(N,Ap);确定N阶归一化的Chebyshevfilter的零点、极点和增益(gain)。[num,den]=cheby1(N,Ap,wc,'s')确定阶数为N，通带截频为wc(radian/s)的Chebyshevfilter。's'表示模拟域[N,Wc]=cheb1ord(wp,ws,Ap,As,'s')确定模拟Chebyshevfilter的阶数N。wc=wp(rad/s)例：设计满足下列条件的模拟CBI型低通滤波器

fp=1KHz,fs=2kHz,Ap=1dB,As=40dB%filterspecificationWp=2*pi*1000;Ws=2*pi*2000;Ap=1;As=40;%Computerfilterorder[N,Wc]=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,'s');fprintf('Orderofthefilter=%.0f\n',N)%computefiltercoefficients[num,den]=cheby1(N,Ap,Wc,'s');disp('Numeratorpolynomial');fprintf('%.4e\n',num);disp('Denominatorpolynomial');fprintf('%.4e\n',den);例：设计满足下列条件的模拟CBI型低通滤波器

fp=1KHz,fs=2kHz,Ap=1dB,As=40dB%ComputeApandAsofdesignedfilteromega=[WpWs];h=freqs(num,den,omega);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));例：设计满足下列条件的模拟CBI型低通滤波器

fp=1KHz,fs=2kHz,Ap=1dB,As=40dBAp=1.00dB,As=45dB050010001500200025003000-70-60-50-40-30-20-10FrequencyinHzGainindBBW型:N=8CB型:N=5切比雪夫II（CBII）型模拟低通滤波器1.CBIILP的频域特性切比雪夫II（CBII）型模拟低通滤波器1.CBIILP的频域特性(1)在|w|>wc时(2)对任意N，wc和

e

>0,(3)在通带0

w

wc时，|H(jw)|2单调下降。切比雪夫II（CBII）型模拟低通滤波器2.CBIILP的设计步骤(2)由阻带衰减As确定e

(3)由通带、阻带指标确定N

(1)由阻带截频ws确定wc切比雪夫II（CBII）型模拟低通滤波器2.CBIILP的设计步骤(4)由N、e

确定CBII型低通滤波器的系统函数HL(s)

其中切比雪夫II（CBII）型模拟低通滤波器3.利用MATLAB设计CBIILP[N,Wc]=cheb2ord(wp,ws,Ap,As,'s')

确定模拟切比雪夫II型滤波器的阶数N。[num,den]=cheby2(N,As,wc,'s')

确定阶数为N，阻带衰减为AsdB的切比雪夫II型滤波器的分子和分母多项式。wc由cheb2ord函数确定。*椭圆低通滤波器1.椭圆低通滤波器的频域特性(1)|w|<wc时,(3)*椭圆低通滤波器2.椭圆低通滤波器的设计步骤(1)由通带截频确定wcwc=wp

(2)由通带的衰减确定e

(3)由阻带截频确定k

*椭圆低通滤波器2.椭圆低通滤波器的设计步骤(4)由阻带衰减确定k1

(5)确定阶数N(6)调整椭圆滤波器的参数k或k1

*椭圆低通滤波器2.椭圆低通滤波器的设计步骤(7)确定归一化椭圆滤波器的系统函数

当N为偶数时

当N为奇数时

*椭圆低通滤波器3.利用MATLAB设计椭圆低通滤波器[N,Wc]=ellipord(wp,ws,Ap,As,'s')[num,den]=ellip(N,Ap,As,wc,'s')确定椭圆滤波器的阶数N。wc=wp。

确定阶数为N，通带衰减为ApdB，阻带衰减为AsdB的椭圆滤波器的分子和分母多项式。wc是椭圆滤波器的通带截频。例：设计满足下列指标的模拟椭圆低通滤波器

fp=1kHz,fs=2kHz,Ap=1dB,As=40dB050010001500200025003000-100-80-60-40-200FrequencyinHzGainindBAp=1.00dB,As=40dBBW型:N=8CBI型:N=5椭圆型:N=4BW型、CB型和椭圆滤波器的比较1.在相同的设计指标下，一般来说，BW型滤波器的阶数最高，椭圆滤波器的阶数最低。即使阶数相等，它们的裕量也不同。2.在滤波器的实现过程中，BW型滤波器最容易实现，而椭圆滤波器不易实现（因为它的系统函数H(s)的极点离jw轴最近）。

问题的提出模拟频率变换 原型低通到低通的变换 原型低通到高通的变换 原型低通到带通的变换 原型低通到带阻的变换模拟高通滤波器的设计模拟带通滤波器的设计模拟带阻滤波器的设计模拟频率变换问题的提出如何设计模拟高通

、带通、带阻滤波器?wp,wsH(s)频率变换设计原型低通滤波器复频率变换模拟频率变换1.原型低通到低通的变换模拟频率变换2.原型低通到高通的变换w模拟频率变换3.原型低通到带通的变换模拟带通滤波器的幅度响应模拟频率变换3.原型低通到带通的变换取+号时，无论w怎样变化，w均为正取-号时，无论w怎样变化，w均为负只讨论取+号情况模拟频率变换3.原型低通到带通的变换模拟频率变换4.原型低通到带阻的变换w1pw2pwws1ws2)(jwBSH01模拟带阻滤波器的幅度响应模拟频率变换4.原型低通到带阻的变换模拟频率变换4.原型低通到带阻的变换模拟频率变换变换类型

频率变换

复频率变换注释原型低通

低通原型低通

高通原型低通

带通

原型低通

带阻

模拟高通滤波器的设计(1)由高通滤波器的频率指标确定低通的频率指标(3)由复频率变换将原型低通转换为高通HHP(s)

模拟高通滤波器的设计步骤：模拟高通滤波器的设计MATLAB实现[numt,dent]=lp2hp(num,den,W0)例：设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器

fp=5KHz,fs=1kHz,Ap

1dB,As

40dB解：(1)将高通指标转换为原型低通滤波器技术指标,Ap

1dB,As

40dB(2)设计BW型原型低通滤波器取N=4例：设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器

fp=5KHz,fs=1kHz,Ap

1dB,As

40dB(2)设计BW型原型低通滤波器N=4，wc=5.033

10-5BW型原型低通滤波器的系统函数为(3)由变换HHP(s)=HL

(1/s)获得高通滤波器解：%高通滤波器的设计wp=1/(2*pi*5000);ws=1/(2*pi*1000);Ap=1;As=40;[N,Wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s');[num,den]=butter(N,Wc,'s');disp('LP分子多项式');fprintf('%.4e\n',num);disp('LP分母多项式');fprintf('%.4e\n',den);[numt,dent]=lp2hp(num,den,1);disp('HP分子多项式');fprintf('%.4e\n',numt);disp('HP分母多项式');fprintf(‘%.4e\n’,dent);例：设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器

fp=5KHz,fs=1kHz,Ap

1dB,As

40dBAp=40.0000As=0.10980100020003000400050006000-70-60-50-40-30-20-100FrequencyinHzGainindB例：设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器

fp=5KHz,fs=1kHz,Ap

1dB,As

40dB模拟带通滤波器的设计

模拟带通滤波器的设计步骤：(1)由带通滤波器的上下截频确定变换式中的参数(2)确定原型低通滤波器的阻带截频其中模拟带通滤波器的设计

模拟带通滤波器的设计步骤：(4)将原型低通滤波器转换为带通滤波器HBP(s)(3)设计通带截频为1(rad/s)、阻带截频为、通带衰减为ApdB、阻带衰减为AsdB的原型低通滤波器模拟带通滤波器的设计MATLAB实现[numt,dent]=lp2bp(num,den,W0,B)例:

试设计一个满足下列指标的BW型带通滤波器

wp1=6rad/s,wp2=8rad/s,ws1=4rad/s,ws2=11rad/s,

Ap1dB,As

32dB。解：(1)由带通滤波器的上下截频确定变换式中的参数(2)确定原型低通滤波器的阻带截频故例:

试设计一个满足下列指标的BW型带通滤波器

wp1=6rad/s,wp2=8rad/s,ws1=4rad/s,ws2=11rad/s,

Ap1dB,As

32dB。解：(3)设计满足下列指标的原型低通滤波器取N=4例:

试设计一个满足下列指标的BW型带通滤波器

wp1=6rad/s,wp2=8rad/s,ws1=4rad/s,ws2=11rad/s,

Ap1dB,As

32dB。解：(3)设计BW型原型低通滤波器N=4，wc=1.3211(4)将原型低通滤波器转换为带通滤波器HBP(s)例:

试设计一个满足下列指标的BW型带通滤波器

wp1=6rad/s,wp2=8rad/s,ws1=4rad/s,ws2=11rad/s,

Ap1dB,As

32dB。%带通滤波器的设计wp=1;ws=3.3182;Ap=1;As=32;w0=sqrt(48);B=2;[N,Wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s');[num,den]=butter(N,Wc,'s');[numt,dent]=lp2bp(num,den,w0,B);w=linspace(2,12,1000);h=freqs(numt,dent,w);plot(w,20*log10(abs(h)));grid;xlabel('Frequencyinrad/s');ylabel('GainindB')例:

试设计一个满足下列指标的BW型带通滤波器

wp1=6rad/s,wp2=8rad/s,ws1=4rad/s,ws2=11rad/s,

Ap1dB,As

32dB。模拟带阻滤波器的设计

模拟带阻滤波器的设计步骤：(1)由带阻滤波器通带的上下截频确定变换式中的参数(2)确定原型低通滤波器的通带截频其中模拟带阻滤波器的设计

模拟带阻滤波器的设计步骤：(4)将低通滤波器转换为带阻滤波器HBS(s)(3)设计通带截频为、阻带截频为1(rad/s)、通带衰减为ApdB、通带衰减为AsdB的低通滤波器模拟带阻滤波器的设计MATLAB实现[numt,dent]=lp2bs(num,den,W0,B)例：试设计一个满足下列指标的BW型带阻滤波器

Ap=1dB;As=20dB;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21。解：(1)由带阻滤波器通带的上下截频确定变换式中的参数(2)确定原型低通滤波器的通带截频故例：试设计一个满足下列指标的BW型带阻滤波器

Ap=1dB;As=20dB;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21。解：(3)设计满足下列指标的BW原型低通滤波器取N=2例：试设计一个满足下列指标的BW型带阻滤波器

Ap=1dB;As=20dB;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21。解：(3)设计BW型原型低通滤波器N=2，wc=0.3170(4)将原型低通滤波器转换为带阻滤波器HBS(s)例：试设计一个满足下列指标的BW型带阻滤波器

Ap=1dB;As=20dB;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21。Ap=1;As=20;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21;B=ws2-ws1;w0=sqrt(ws1*ws2);wLp1=B*wp1/(w0*w0-wp1*wp1);wLp2=B*wp2/(w0*w0-wp2*wp2);wLp=max(abs(wLp1),abs(wLp2));[N,Wc]=buttord(wLp,1,Ap,As,'s')[num,den]=butter(N,Wc,'s');[numt,dent]=lp2bs(num,den,w0,B);w=linspace(5,35,1000);h=freqs(numt,dent,w);plot(w,20*log10(abs(h)));w=[wp1ws1ws2wp2];set(gca,'xtick',w);grid;h=freqs(numt,dent,w);A=-20*log10(abs(h))例：试设计一个满足下列指标的BW型带阻滤波器

Ap=1dB;As=20dB;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21。10192130-100-80-60-40-200模拟频率变换变换类型

频率变换

复频率变换注释原型低通

高通原型低通

带通

原型低通

带阻

模拟高通滤波器的设计(1)由高通滤波器的频率指标确定低通的频率指标(3)由复频率变换将原型低通转换为高通HHP(s)

模拟高通滤波器的设计步骤：模拟高通滤波器的设计MATLAB实现[numt,dent]=lp2hp(num,den,W0)例：设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器

fp=5KHz,fs=1kHz,Ap

1dB,As

40dB解：(1)将高通指标转换为原型低通滤波器技术指标,Ap

1dB,As

40dB(2)设计BW型原型低通滤波器取N=4例：设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器

fp=5KHz,fs=1kHz,Ap

1dB,As

40dB(2)设计BW型原型低通滤波器N=4，wc=5.033

10-5BW型原型低通滤波器的系统函数为(3)由变换HHP(s)=HL

(1/s)获得高通滤波器解：%高通滤波器的设计wp=1/(2*pi*5000);ws=1/(2*pi*1000);Ap=1;As=40;[N,Wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s');[num,den]=butter(N,Wc,'s');disp('LP分子多项式');fprintf('%.4e\n',num);disp('LP分母多项式');fprintf('%.4e\n',den);[numt,dent]=lp2hp(num,den,1);disp('HP分子多项式');fprintf('%.4e\n',numt);disp('HP分母多项式');fprintf(‘%.4e\n’,dent);例：设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器

fp=5KHz,fs=1kHz,Ap

1dB,As

40dBAp=40.0000As=0.10980100020003000400050006000-70-60-50-40-30-20-100FrequencyinHzGainindB例：设计满足下列条件的模拟BW型高通滤波器

fp=5KHz,fs=1kHz,Ap

1dB,As

40dB模拟带通滤波器的设计

模拟带通滤波器的设计步骤：(1)由带通滤波器的上下截频确定变换式中的参数(2)确定原型低通滤波器的阻带截频其中模拟带通滤波器的设计

模拟带通滤波器的设计步骤：(4)将原型低通滤波器转换为带通滤波器HBP(s)(3)设计通带截频为1(rad/s)、阻带截频为、通带衰减为ApdB、阻带衰减为AsdB的原型低通滤波器模拟带通滤波器的设计MATLAB实现[numt,dent]=lp2bp(num,den,W0,B)例:

试设计一个满足下列指标的BW型带通滤波器

wp1=6rad/s,wp2=8rad/s,ws1=4rad/s,ws2=11rad/s,

Ap1dB,As

32dB。解：(1)由带通滤波器的上下截频确定变换式中的参数(2)确定原型低通滤波器的阻带截频故例:

试设计一个满足下列指标的BW型带通滤波器

wp1=6rad/s,wp2=8rad/s,ws1=4rad/s,ws2=11rad/s,

Ap1dB,As

32dB。解：(3)设计满足下列指标的原型低通滤波器取N=4例:

试设计一个满足下列指标的BW型带通滤波器

wp1=6rad/s,wp2=8rad/s,ws1=4rad/s,ws2=11rad/s,

Ap1dB,As

32dB。解：(3)设计BW型原型低通滤波器N=4，wc=1.3211(4)将原型低通滤波器转换为带通滤波器HBP(s)例:

试设计一个满足下列指标的BW型带通滤波器

wp1=6rad/s,wp2=8rad/s,ws1=4rad/s,ws2=11rad/s,

Ap1dB,As

32dB。%带通滤波器的设计wp=1;ws=3.3182;Ap=1;As=32;w0=sqrt(48);B=2;[N,Wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s');[num,den]=butter(N,Wc,'s');[numt,dent]=lp2bp(num,den,w0,B);w=linspace(2,12,1000);h=freqs(numt,dent,w);plot(w,20*log10(abs(h)));grid;xlabel('Frequencyinrad/s');ylabel('GainindB')例:

试设计一个满足下列指标的BW型带通滤波器

wp1=6rad/s,wp2=8rad/s,ws1=4rad/s,ws2=11rad/s,

Ap1dB,As

32dB。模拟带阻滤波器的设计

模拟带阻滤波器的设计步骤：(1)由带阻滤波器通带的上下截频确定变换式中的参数(2)确定原型低通滤波器的通带截频其中模拟带阻滤波器的设计

模拟带阻滤波器的设计步骤：(4)将低通滤波器转换为带阻滤波器HBS(s)(3)设计通带截频为、阻带截频为1(rad/s)、通带衰减为ApdB、通带衰减为AsdB的低通滤波器模拟带阻滤波器的设计MATLAB实现[numt,dent]=lp2bs(num,den,W0,B)例：试设计一个满足下列指标的BW型带阻滤波器

Ap=1dB;As=20dB;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21。解：(1)由带阻滤波器通带的上下截频确定变换式中的参数(2)确定原型低通滤波器的通带截频故例：试设计一个满足下列指标的BW型带阻滤波器

Ap=1dB;As=20dB;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21。解：(3)设计满足下列指标的BW原型低通滤波器取N=2例：试设计一个满足下列指标的BW型带阻滤波器

Ap=1dB;As=20dB;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21。解：(3)设计BW型原型低通滤波器N=2，wc=0.3170(4)将原型低通滤波器转换为带阻滤波器HBS(s)例：试设计一个满足下列指标的BW型带阻滤波器

Ap=1dB;As=20dB;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21。Ap=1;As=20;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21;B=ws2-ws1;w0=sqrt(ws1*ws2);wLp1=B*wp1/(w0*w0-wp1*wp1);wLp2=B*wp2/(w0*w0-wp2*wp2);wLp=max(abs(wLp1),abs(wLp2));[N,Wc]=buttord(wLp,1,Ap,As,'s')[num,den]=butter(N,Wc,'s');[numt,dent]=lp2bs(num,den,w0,B);w=linspace(5,35,1000);h=freqs(numt,dent,w);plot(w,20*log10(abs(h)));w=[wp1ws1ws2wp2];set(gca,'xtick',w);grid;h=freqs(numt,dent,w);A=-20*log10(abs(h))例：试设计一个满足下列指标的BW型带阻滤波器

Ap=1dB;As=20dB;wp1=10;wp2=30;ws1=19;ws2=21。10192130-100-80-60-40-200

问题的提出脉冲响应不变法的基本原理脉冲响应不变法设计DF的步骤脉冲响应不变法

(ImpulseInvariance)问题的提出Wp,Wswp,wsH(s)H(z)频率变换设计模拟滤波器AF到DF的转换模拟域到数字域的映射满足下列条件：1.频率特性不变，s平面的虚轴jw必须映射到z平面的单位圆上2.变换后的滤波器仍是稳定的，s左半平面必须映射到z平面的单位圆内问题的提出如何将模拟滤波器转变为数字滤波器?1.脉冲响应不变法2.双线性变换法Wp,Wswp,wsH(s)H(z)频率变换设计模拟滤波器AF到DF的转换脉冲响应不变法的基本原理

对模拟滤波器的单位冲激响应h(t)等间隔抽样来获得数字滤波器的单位脉冲响应h[k]

脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤:1．对H(s)进行Laplace反变换获得h(t)。2．对h(t)等间隔抽样得到h[k]。

3．计算h[k]的z变换得到H(z)。

脉冲响应不变法的基本原理

脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤:H(s)h(t)h[k]H(z)拉氏反变换抽样t=kTZ变换1．对H(s)进行Laplace反变换获得h(t)。2．对h(t)等间隔抽样得到h[k]。

3．计算h[k]的z变换得到H(z)。

Laplace逆变换，得该系统的单位冲击响应：对h(t)等间隔抽样得设H(s)只有一阶极点，即

对h(t)进行z变换得脉冲响应不变法的基本原理

脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)H(s)h(t)h[k]H(z)拉氏反变换抽样t=kTZ变换

模拟滤波器极点与数字滤波器极点的映射关系：s如果表示为：脉冲响应不变法的基本原理

由时域抽样理论知，H(ejW)和H(jw)的关系无混叠时：

数字滤波器在W点的频率响应和模拟滤波器在w点的频率响应只差一个常数因子1/T

数字频率W与模拟频率w的关系为W=wTW=wT例:

设一阶模拟低通滤波器的系统函数为利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。解：利用单极点H(s)与H(z)的映射关系，可得AF与DF的频率响应分别为其中W=wT，抽样频率为50，200Hz的幅度响应如下例:

设一阶模拟低通滤波器的系统函数为利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。解：051015202500.20.40.60.81HzDFAFfs=50Hz例:

设一阶模拟低通滤波器的系统函数为利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。解：02040608010000.20.40.60.81HzDFAFfs=200Hz脉冲响应不变法的基本原理

脉冲响应不变法的优缺点

缺点：存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设计高通、带阻等滤波器。

优点：数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性W=wT脉冲响应不变法设计DF的步骤1.将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为模拟滤波器的频率指标{wk}2.由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。3.利用脉冲响应不变法，将H(s)转换H(z)。Wp,Wswp,wsH(s)H(z)w=W/T设计模拟滤波器脉冲响应不变脉冲响应不变法设计DF的步骤[numd,dend]=impinvar(num,den,Fs)num,den：AF分子、分母多项式的系数向量Fs=1/T：抽样频率numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量脉冲响应不变法的MATLAB实现例：利用AF-BWfilter及脉冲响应不变法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB解：(1)将数字低通指标转换成模拟低通指标w=W/T.wp=0.2p/T,ws=0.6p/T,Ap

2db,As

15db(2)设计模拟低通滤波器（BW型）=2=0.8013/T例：利用AF-BWfilter及脉冲响应不变法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB解：(3)将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

极点为s1=(-0.5678+0.5654j)/T,s2=(-0.5678-0.5654j)/T

利用

可得DF的系统函数为例：利用AF-BWfilter及脉冲响应不变法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB%DesignDFBWlow-passfilterusingimpulseinvariance%DFBWLPspecficationWp=0.2*pi;Ws=0.6*pi;Ap=2;As=15;Fs=1;%Samplingfrequency(Hz)%AnalogButterworthspecficationwp=Wp*Fs;ws=Ws*Fs;%determinetheorderofAFfilterN=buttord(wp,ws,Ap,As,'s');%determinethe3-dbcutofffrequencyofBWfilterfrompass-bandspecficationwc=wp/(10^(0.1*Ap)-1)^(1/N/2);%determinetheAF-BWfilter[numa,dena]=butter(N,wc,'s');例：利用AF-BWfilter及脉冲响应不变法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB%determinetheDFfilter[numd,dend]=impinvar(numa,dena,Fs);%plotthefrequencyresponsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);norm=max(abs(h));numd=numd/norm;plot(w/pi,20*log10(abs(h/norm)));xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Gain,db');%computerApAsofthedesignedfilterw=[WpWs];h=freqz(numd,dend,w);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));例：利用AF-BWfilter及脉冲响应不变法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-16-14-12-10-8-6-4-20NormalizedfrequencyGain,dbAp=1.12dBAs=12.36dB问题的提出采用脉冲响应不变法00.20.40.60.81-9-6-30NormalizedfrequencyGain,dbWp=0.2pWp=0.6p

例如上节用脉冲响应不变法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计的3dB截频为Wp的数字滤波器为DF的频谱有混叠

解决方法采用双线性变换法

问题的提出双线性变换法的基本原理双线性变换法设计DF的步骤双线性变换法无混叠时：W=wT无混叠条件：双线性变换法的基本原理为达到无混叠条件，先将非带限的H(s)映射为带限的H(s’)，再通过脉冲响应不变法将s’域映射到z域。双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理变成：双线性变换法的基本原理令则s平面和z平面的映射关系双线性变换法的基本原理

稳定性分析令s=

+j

，则有双线性变换法的基本原理

稳定性分析1)s<0,|z|<1S域左半平面映射到Z域单位元内2)s=0,|z|=13)s>0,|z|>1S域虚轴映射到Z域单位圆上S域右半平面映射到Z域单位圆外因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统双线性变换法的基本原理

W和w

的关系)2/tan(2W=TwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww双线性变换法的基本原理

双线性变换法的优缺点

缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真

适合于设计幅度响应为分段常数的数字滤波器

不适合设计像数字微分器等幅度响应为非常数

的数字滤波器

优点：无混叠双线性变换法设计DF的步骤1.将数字滤波器的频率指标{Wk}转换为模拟滤波器的频率指标{wk}2.由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)。3.利用双线性变换法，将H(s)转换H(z)。双线性变换法设计DF的步骤Wp,Wswp,wsH(s)H(z)设计模拟滤波器双线性变换[numd,dend]=bilinear(num,den,Fs)num,den：AF分子、分母多项式的系数向量Fs：抽样频率numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量利用MATLAB例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为Wp的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。解：设双线性变换中的参数为T(1)

将DF的频率指标转换为AF的频率指标(2)设计3dB截频为wp的一阶BW型模拟低通滤波器，即N=1,wc=wp故例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为Wp的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。解：设双线性变换中的参数为T(3)用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器

结论：参数T的取值和最终的设计结果无关。为简单起见一般取T=2

例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为Wp的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。解：脉冲响应不变法设计的DF的系统函数为取Wp=0.6p，令z=ejW，可分别获得两者的幅度响应双线性变换法设计的DF的系统函数为例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为Wp的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。00.6100.71NormalizedfrequencyAmplitude脉冲响应不变法双线性变换法Wp=0.6p

脉冲响应不变法存在频谱混叠，所设计的DF不满足给定指标。而双线性变换法不存在频谱混叠，所设计的DF满足给定指标。

3dB例：用双线性变换法和一阶巴特沃思低通滤波器，设计一个3dB截频为Wp的数字滤波器，并与脉冲响应不变法设计的DF比较。H双(z)和H脉(z)幅度响应比较的MATLAB实现Wp=0.6*pi;b=[1-exp(-Wp)];b1=tan(Wp/2)*[11];a=[1-exp(-Wp)];a1=[1+tan(Wp/2)tan(Wp/2)-1];w=linspace(0,pi,512);h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w);plot(w/pi,(abs(h)),w/pi,(abs(h1)));xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Amplitude');set(gca,'ytick',[00.71]);set(gca,'xtick',[0Wp/pi1]);grid;例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB解：(1)将数字低通指标转换成模拟低通指标，取T=2Ap

2db,As

15db(2)设计模拟低通滤波器（BW型）=2=0.5851例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB解：(3)用双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器

例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB%DesignDFBWlow-passfilterusingimpulseinvariance%DFBWLPspecficationWp=0.2*pi;Ws=0.6*pi;Ap=2;As=15;T=2;Fs=1/T;%Samplingfrequency(Hz)%AnalogButterworthspecficationwp=2*tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T;%determinetheorderofAFfilterandthe3-dbcutofffrequency[N,wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s')%determinetheAF-BWfilter[numa,dena]=butter(N,wc,'s')例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB%determinetheDFfilter[numd,dend]=bilinear(numa,dena,Fs)%plotthefrequencyresponsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h)));axis([01-500]);grid;xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Gain,db');%computerApAsofthedesignedfilterw=[WpWs];h=freqz(numd,dend,w);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dBAp=0.3945As=15.0000例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足

Wp=0.2p,Ws=0.6p,Ap

2dB,As

15dB将双线性变换法与脉冲响应不变法所设计DF的结果比较。双线性变换Ap=0.3945As=15.0000脉冲响应不变法双线性变换法脉冲响应不变Ap=1.1187As=12.3628非低通IIR数字滤波器的设计Wp,Wswp,wsH(z)w=W/T脉冲响应不变法双线性变换法H(s)模拟频率变换设计原型低通滤波器复频率变换

注意：脉冲响应不变法不能设计高通和带阻数字滤波器

方法一例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器

Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,

Ap

1dB

,

Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As

10dB解:

脉冲响应不变法不适合设计数字带阻滤波器，因此采用双线性变换法设计。

(1)将数字带阻滤波器指标转换成模拟带阻滤波器指标

取T=2，利用得模拟带阻指标为wp1=6rad,wp2=13rad,ws1=9rad,ws2=1rad1,Ap

1dB,As

10dB例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器

Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,

Ap

1dB

,

Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As

10dB解:(2)将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通滤波器指标

Ap

1dB,As

10dBwp1=6rad,wp2=13rad,ws1=9rad,ws2=1rad1,Ap

1dB,As

10dB模拟带阻指标例：试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器

Wp1=2.8113rad/s,Wp2=2.9880rad/s,

Ap

1dB

,

Ws1=2.9203rad/s,Ws2=2.9603rad/s,As

10dB解: