高中数学 第3章 3.1.2共面向量定理同步训练 苏教版选修2-1

3.1.2共面向量定理一、基础过关1．当|a|＝|b|≠0，且a，b不共线时，a＋b与a－b的关系是________．(填“共面”“不共面”)2．在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是________(填序号)．①eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,5)eq\o(OC,\s\up6(→))②eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))③eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0④eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝03．三个向量xa－yb，yb－zc，zc－xa的关系是________．(填“共面”“不共面”“无法确定是否共面”)．4．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OG,\s\up6(→))，λ的值为________．5．已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，点E是上底面A1C1的对角线的交点，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))，则x，y的值分别为________．6．下面关于空间向量的说法正确的是________(填序号)．①若向量a、b平行，则a、b所在的直线平行；②若向量a、b所在直线是异面直线，则a、b不共面；③若A、B、C、D四点不共面，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))不共面；④若A、B、C、D四点不共面，则向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))不共面．7．下列结论中，正确的是________(填序号)．①若a、b、c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；②若a、b、c不共面，则不存在实数x，y，使a＝xb＋yc；③若a、b、c共面，b、c不共线，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；④若a＝xb＋yc，则a、b、c共面．8．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是棱CC1、CD①eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(C1D,\s\up6(→))；②eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))；③eq\o(B1M,\s\up6(→))、eq\o(A1D,\s\up6(→))与eq\o(A1D1,\s\up6(→))共面；④eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))．二、能力提升9．已知非零向量e1，e2不共线，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3e1－3e2.求证：A、B、C、D共面．10．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，有eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(OC,\s\up6(→)).求证：P、A、B、C四点共面．11．对于任意空间四边形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点．试判断：eq\o(EF,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))的关系．12．如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.(1)求证：A，E，C1，F四点共面；(2)若eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→))，求x＋y＋z的值．三、探究与拓展13．如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：eq\o(B1C,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(OC1,\s\up6(→))是共面向量．

答案1．共面2．③3．共面4．35．eq\f(1,2)，eq\f(1,2)6．④7．②③④8．④9．证明令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0.则(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0.∵e1、e2不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＋3v＝0，,λ＋8μ－3v＝0，))易知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝－5,μ＝1,v＝1))是其中一组解，则－5eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，∴A、B、C、D共面．10．证明∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)－\f(2,5)))eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋eq\f(2,5)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，∴向量eq\o(AP,\s\up6(→))、eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))共面，而线段AP、AB、AC有公共点，∴P、A、B、C四点共面．11．解如图所示．空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，利用多边形加法法则可得：eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))①eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))②又E、F分别是AB、CD的中点．故有eq\o(EA,\s\up6(→))＝－eq\o(EB,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝－eq\o(CF,\s\up6(→))③将③代入①得eq\o(EF,\s\up6(→))＝－eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(CF,\s\up6(→))④②＋④得：2eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\o(EF,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))共面．12．(1)证明∵eq\o(AC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AA1,\s\up6(→))))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AA1,\s\up6(→))))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＋(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→)))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→)).∴A、E、C1、F四点共面．(2)解∵eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))－(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(BB1,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up6(→))，且eq\o(EF,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AD,\s\up6(→))＋zeq\o(AA1,\s\up6(→)).则x＋y＋z＝－1＋1＋eq\f(1,3)＝eq\f(1,3).13．证明设eq\o(C1B1,\s\up6(→))＝a，eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝b，eq\o(C1C,\s\up6(→))＝c，∵四边形B1BCC1为平行四边形，∴eq\o(B1C,\s\up6(→))＝c－a，又O是B1D1的中点，∴eq\o(C1O,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，∴eq\o(OC1,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(OD1,\s\up6(→))＝eq\o(C1D1,\s\up6(→))－eq\o(C1O,\s\up6(→))＝b－eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\f(1,2)(b－a)．∵D1D綊C1C，∴eq\o(D1D,\s\up6(→))＝c，∴eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OD1,\s\up6(→))＋eq\o(D1D,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b－a)＋c.若存在实数x、y，使eq\o(B1C,\s\up6(→))＝xeq\o(OD,\s\up6(→))＋yeq\o(OC1,\s\up6(→))(x，y∈R)成立，则c－a＝xeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b－a＋c))＋yeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)a＋b))＝－eq\