2024届河北省张家口市宣化一中高三3月适应性考试数学试题

2024届河北省张家口市宣化一中高三3月适应性考试数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．给出下列四个命题：①若“且”为假命题，则﹑均为假命题；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③若命题，，则命题，；④设集合，，则“”是“”的必要条件；其中正确命题的个数是（）A． B． C． D．2．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A．3 B． C． D．3．已知复数满足，则的值为（）A． B． C． D．24．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知幂函数的图象过点，且，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．6．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数的值判断拟合效果，越小，模型的拟合效果越好；③若数据的方差为1，则的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据，其线性回归方程，则“满足线性回归方程”是“，”的充要条件；其中真命题的个数为()A．4 B．3 C．2 D．17．已知数列的首项，且，其中，，，下列叙述正确的是（）A．若是等差数列，则一定有 B．若是等比数列，则一定有C．若不是等差数列，则一定有 D．若不是等比数列，则一定有8．下列说法正确的是（）A．命题“，”的否定形式是“，”B．若平面，，，满足，则C．随机变量服从正态分布（），若，则D．设是实数，“”是“”的充分不必要条件9．设向量，满足，，，则的取值范围是A． B．C． D．10．函数的图象大致为A． B． C． D．11．设函数，若函数有三个零点，则（）A．12 B．11 C．6 D．312．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在三棱锥中，平面，，已知，，则当最大时，三棱锥的体积为__________．14．已知向量，满足，，，则向量在的夹角为______.15．已知函数f（x）=axlnx﹣bx（a，b∈R）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x﹣e，则a+b=_____.16．在中，已知，则的最小值是________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；（Ⅱ）从图中考核成绩满足的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；（Ⅲ）记表示学生的考核成绩在区间的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．18．（12分）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点.（1）求证：平面；（2）（文科）求三棱锥的体积；（理科）求二面角的正切值.19．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的极坐标为.（1）求的直角坐标方程和的直角坐标；（2）设与交于，两点，线段的中点为，求.20．（12分）已知点、分别在轴、轴上运动，，．（1）求点的轨迹的方程；（2）过点且斜率存在的直线与曲线交于、两点，，求的取值范围．21．（12分）已知数列的各项均为正数，且满足.（1）求，及的通项公式；（2）求数列的前项和.22．（10分）如图，在四棱锥中底面是菱形，，是边长为的正三角形，，为线段的中点．求证：平面平面；是否存在满足的点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

①利用真假表来判断，②考虑内角为，③利用特称命题的否定是全称命题判断，④利用集合间的包含关系判断.【详解】若“且”为假命题，则﹑中至少有一个是假命题，故①错误；当内角为时，不是象限角，故②错误；由特称命题的否定是全称命题知③正确；因为，所以，所以“”是“”的必要条件，故④正确.故选：B.【点睛】本题考查命题真假的问题，涉及到“且”命题、特称命题的否定、象限角、必要条件等知识，是一道基础题.2、B【解析】由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图：

直三棱柱的体积为，消去的三棱锥的体积为，

∴几何体的体积，故选B.点睛：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关键；几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和消去的三棱锥的体积，相减可得几何体的体积.3、C【解析】

由复数的除法运算整理已知求得复数z，进而求得其模.【详解】因为，所以故选：C【点睛】本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.4、B【解析】

根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得点横坐标的取值范围，即可由的周长求得其范围.【详解】抛物线，则焦点，准线方程为，根据抛物线定义可得，圆，圆心为，半径为，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.点、分别在两个曲线上，总是平行于轴，因而两点不能重合，不能在轴上，则由圆心和半径可知，则的周长为，所以，故选：B.【点睛】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.5、A【解析】

根据题意求得参数，根据对数的运算性质，以及对数函数的单调性即可判断.【详解】依题意，得，故，故，，，则.故选：A.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，考查推理论证能力，属基础题.6、C【解析】

①根据线性相关性与r的关系进行判断,

②根据相关指数的值的性质进行判断,

③根据方差关系进行判断,

④根据点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，可进行判断.【详解】①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r的绝对值越接近于1,故①正确;

②用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好,故②错误;

③若统计数据的方差为1,则的方差为,故③正确;

④因为点满足回归直线方程，但点不一定就是这一组数据的中心点，即，不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以当，时，点必满足线性回归方程；因此“满足线性回归方程”是“，”必要不充分条件.故④错误;

所以正确的命题有①③.

故选：C.【点睛】本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程，注意理解每一个量的定义，属于基础题.7、C【解析】

根据等差数列和等比数列的定义进行判断即可.【详解】A：当时，，显然符合是等差数列，但是此时不成立，故本说法不正确；B：当时，，显然符合是等比数列，但是此时不成立，故本说法不正确；C：当时，因此有常数，因此是等差数列，因此当不是等差数列时，一定有，故本说法正确；D：当时，若时，显然数列是等比数列，故本说法不正确.故选：C【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的定义，考查了推理论证能力，属于基础题.8、D【解析】

由特称命题的否定是全称命题可判断选项A；可能相交，可判断B选项；利用正态分布的性质可判断选项C；或，利用集合间的包含关系可判断选项D.【详解】命题“，”的否定形式是“，”，故A错误；，，则可能相交，故B错误；若，则，所以，故，所以C错误；由，得或，故“”是“”的充分不必要条件，D正确.故选：D.【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.9、B【解析】

由模长公式求解即可.【详解】，当时取等号，所以本题答案为B.【点睛】本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.10、D【解析】

由题可得函数的定义域为，因为，所以函数为奇函数，排除选项B；又，，所以排除选项A、C，故选D．11、B【解析】

画出函数的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果．【详解】作出函数的图象如图所示，令，由图可得关于的方程的解有两个或三个（时有三个，时有两个），所以关于的方程只能有一个根（若有两个根，则关于的方程有四个或五个根），由，可得的值分别为，则故选B．【点睛】本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型.12、A【解析】

由已知可得，根据二倍角公式即可求解.【详解】角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则，.故选：A.【点睛】本题考查三角函数定义、二倍角公式，考查计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、4【解析】设，则，，，，当且仅当，即时，等号成立.,故答案为414、【解析】

把平方利用数量积的运算化简即得解.【详解】因为，，，所以，∴，∴，因为所以.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算法则，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15、0【解析】

由题意，列方程组可求，即求.【详解】∵在点处的切线方程为，，代入得①.又②.联立①②解得：..故答案为：0.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.16、【解析】分析：可先用向量的数量积公式将原式变形为：，然后再结合余弦定理整理为，再由cosC的余弦定理得到a，b的关系式，最后利用基本不等式求解即可.详解：已知，可得，将角A,B,C的余弦定理代入得，由，当a=b时取到等号，故cosC的最小值为.点睛：考查向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用，能正确转化是解题关键.属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）见解析【解析】

（Ⅰ）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；（Ⅱ）结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可；（Ⅲ）求出满足的成绩有16个，求出满足条件的概率即可．【详解】解：（Ⅰ）设这名学生考核优秀为事件，由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀，所以所求概率约为（Ⅱ）设从图中考核成绩满足的学生中任取2人，至少有一人考核成绩优秀为事件，因为表中成绩在的6人中有2个人考核为优，所以基本事件空间包含15个基本事件，事件包含9个基本事件，所以（Ⅲ）根据表格中的数据，满足的成绩有16个，所以所以可以认为此次冰雪培训活动有效．【点睛】本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，是一道常规题．18、（1）见解析（2）（文）（理）【解析】

（1）证明：取PD中点G，连结GF、AG，∵GF为△PDC的中位线，∴GF∥CD且，又AE∥CD且，∴GF∥AE且GF=AE，∴EFGA是平行四边形，则EF∥AG，又EF不在平面PAD内，AG在平面PAD内，∴EF∥面PAD；（2）（文）解：取AD中点O，连结PO，∵面PAD⊥面ABCD，△PAD为正三角形，∴PO⊥面ABCD，且，又PC为面ABCD斜线，F为PC中点，∴F到面ABCD距离，故；（理）连OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB，∴∠MEB=∠AOB，则∠MEB+∠MBE=90°，即OM⊥EC．连PM，又由（2）知PO⊥EC，可得EC⊥平面POM，则PM⊥EC，即∠PMO是二面角P-EC-D的平面角，在Rt△EBC中，，∴，∴，即二面角P-EC-D的正切值为．【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、二面角的求法、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.本题（1）是就是利用方法①证明的.19、（1），（2）【解析】

（1）利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程，把点P的极坐标化成直角坐标；（2）把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数t的几何意义可得．【详解】（1）由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ＝2，将ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为y2＝1，设点P的直角坐标为（x，y），因为P的极坐标为（，），所以x＝ρcosθcos1，y＝ρsinθsin1，所以点P的直角坐标为（1，1）．（2）将代入y2＝1，并整理得41t2+110t+25＝0，因为△＝1102﹣4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根为t1，t2，则t1，t2为A，B对应的参数，且t1+t2，依题意，点M对应的参数为，所以|PM|＝||．【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．20、（1）（2）【解析】

(1)设坐标后根据向量的坐标运算即可得到轨迹方程.(2)联立直线和椭圆方程，用坐标表示出，得到，所