统编九年级上学期期末数学试卷（含答案与解析）

九年级上学期期末数学模拟试卷

一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）若2是关于x的方程Y-。=0的一个根，则c=（）

A.2B.4C.-4D.-2

2.（3分）下列图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是（）

3.（3分）桌上倒扣着背面相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃.从中随机抽取一

张，贝I"）

A.能够事先确定抽取的扑克牌的花色

B,抽到黑桃的可能性更大

C.抽到黑桃和抽到红桃的可能性一样大

D.抽到红桃的可能性更大

4.（3分）关于方程d-2x+3=0的根的说法正确的是（）

A.有两个不相等的实数根B.没有实数根

C.两实数根的和为-2D.两实数根的积为3

5.（3分）以40〃?/s的速度将小球沿与地面成30。角的方向击出时，小球的飞行路线是一条

抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度力（单位：，”）与飞行时间r（单位：s）之

间具有函数关系6/+罚（“＜（））.若小球在第1秒与第3秒高度相等，则下列四个时间中，

小球飞行高度最高的时间是（）

A.第1.9秒B.第2.2秒C.第2.8秒D.第3.2秒

6.（3分）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（

）

A.1200B.1800C.2400D.300°

7.（3分）如图，在AABC中，AC=BC,ZC=40°.将AA8c绕着点5逆时针方向旋转

得其中AC7/BQ,BF、分别为AABC与AD庞:的中线，则NFBG=（)

B

G

A.90°B.80°C.75°D.70°

8.（3分）童威把三张形状大小相同但画面不同的风景图片都按相同的方式剪成相同的三段,

然后将三段上、三段中、三段下分别混合洗匀为“上、中、下”三堆图片，从这三堆图片中

各随机抽取一张，则恰好能组成一张完整风景图片的概率是（）

1122

A.-B.-C.-D.-

3939

9.（3分）如图，为。。的一条弦，。为OO上一点，OC/1AB,将劣弧AB沿弦A6翻

折，交翻折后的弧4?交AC于点若。为翻折后弧45的中点，则NABC=（）

O0C

A.110°B.112.5°C.115°D.117.5°

10.（3分）无论k为何值，直线y=h-2Z+2与抛物线＞=,£-2ar-3a总有公共点，则a

的取值范围是（）

22

A.a>0C.a,,—或a>0D.a...—或a<0

33

二、填空题。（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

II.（3分）点（2,3）绕原点逆时针旋转90。对应点的坐标是.

12.（3分）若一个人患了流感，经过两轮传染后共有36个人患了流感，则每轮传染中平均

一个人传染了一个人，按照这样的传染速度，三轮传染后共有一个人患了流感.

13.（3分）如图，是一个圆盘及其内接正六边形，随机往圆盘内投飞镖，则飞镖落在正六

边形内的概率是.

14.（3分）如图，是编号为I、2、3、4的405〃跑道，每条跑道由两条直的跑道和两端是

半圆形的跑道组成，每条跑道宽1”，内侧的1号跑道长度为400,”，则2号跑道比1号跑道

长—m；若在一次200m比赛中（每个跑道都由一个半圆形跑道和部分直跑道组成），要

使得每个运动员到达同一终点线，则4号跑道起跑点比2号跑道起跑点应前移机（不取

15.（3分）下列关于二次函数y=x2-2，nx-2/M-3的四个结论：①当加=1时，抛物线的顶

点为（1,-6）；②该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点；③该函数的最小值的最大值为

-4;④点A（X],yj、8（%,月）在该函数图象上，若不＜七，当＜）’2，则与+%＞2"?；

其中正确的是.

16.（3分）如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,OO与AC、A3都相

切，其半径为1.若在三角线内部沿边45顺时针方向滚动到与BC相切，则点O运动的路

经长是

三、解答题。（共8题，共72分）

17.（8分）若关于x的一元二次方程d—3x+A=0一个根为4,求方程另一个根和左的值.

18.（8分）如图，将AABC绕点3顺时针旋转得到AD3E,使得点。落在线段AC上.若

AC=BC,求证：BE//AC.

19.（8分）不透明的袋子中装有红色小球1个、绿色小球2个，除颜色外无其它差别.

（1）从袋中随机摸出一个小球，直接写出摸到红球的概率；

（2）随机摸出一个小球，记下颜色，放回并摇匀，再随机摸出一个，求两次都摸到绿球的

概率.

20.（8分）如图，。。|与。。2都经过A、B两点,且点。在。。2上.记。01的半径为与，

。。2的半径为凡.请用无刻度的直尺，依次完成下列的画图.

(1)画一条直线平分两圆组成的图形的面积；

(2)在图中用阴影部分表示“到点Q的距离大于等于且到点Q的距离小于等于凡”

的点的集合；

(3)在0。2上画点。，使A。是。的切线;

(4)在线段QA上画点用，使=

21.(8分)四边形A8C。是菱形，OO经过8、C、。三点(点O在AC上).

(1)如图1,若45是OO的切线，求ZAQC的大小；

(2)如图2,若AB=5,AC=8,与交于点£.

①求OO的半径；

②直接写出砥的值.

22.(10分)如图，要设计一副宽12c7"、长20c7%的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖

彩条的宽度比为3:2.设每条竖彩条的宽度为2xcm,图案中四条彩条所占面积的和为

ycm2.

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

(2)当x不小于0.5a〃，不大于1.5cm时，求y的最大值；

(3)童威现在需要制作100张这样图案的卡片，其中彩条部分制作费用为15元/〃，其余

部分制作费用为10元/M，购买材料的总费用为31.2元(不计损耗)，直接写出x的值.

更

23.(10分)如图，在AAfiC和AA£D中，AB=AC,AE=AD,ABAC=ZEAD=90°,点

G、尸分别是£D、8C的中点，连接CD、BE、GF.

(1)求证：ZACD^ZABE；

(2)求空的值：

CD

(3)若四边形8£DC的面积为42,周长为24夜，GF=5,则/归=.

24.(12分)抛物线y=©2+2x+c与x轴交于A(-l,0)、8两点，与y轴交于点C(0,3),点

5〃?,3)在抛物线上.

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,连接3C、BD,点尸在对称轴左侧的抛物线上，若NPBC=NDBC,求点P

的坐标；

(3)如图2,点。为第四象限抛物线上一点，经过C、D、。三点作,0M的弦。尸//y

轴，求证：点尸在定直线上.

图1图2

九年级上学期期末数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）若2是关于x的方程f-c=0的一个根，则c=（）

A.2B.4C.-4D.-2

【分析】把x=2代入方程Y-c=0得4—c=0,然后解关于c的方程.

【解答】解：把x=2代入方程V-c=0得4—c=0,

解得c=4.

故选：B.

【点评】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如/=〃或（加+附2=2（外0）的

一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.

2.（3分）下列图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是（）

【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可.把一个图形绕某一点

旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形,

这个点叫做对称中心.

【解答】解：A.是中心对称图形，故此选项符合题意；

B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：A.

【点评】本题考查了中心对称图形的定义，能熟记中心对称图形的定义是解题关键.

3.（3分）桌上倒扣着背面相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃.从中随机抽取一

张，贝I"）

A.能够事先确定抽取的扑克牌的花色

B.抽到黑桃的可能性更大

C.抽到黑桃和抽到红桃的可能性一样大

D.抽到红桃的可能性更大

【分析】要求可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可.求比例时，应注意记清各

自的数目.

【解答】解：A、因为袋中扑克牌的花色不同，所以无法确定抽取的扑克牌的花色，故本

选项错误；

8、因为黑桃的数量最多，所以抽到黑桃的可能性更大，故本选项正确；

C、因为黑桃和红桃的数量不同，所以抽到黑桃和抽到红桃的可能性不一样大，故本选项

错误；

D.因为红桃的数量小于黑桃，所以抽到红桃的可能性小，故本选项错误.

故选：B.

【点评】本题考查的是可能性的大小，熟知随机事件发生的可能性（概率）的计算方法是解

答此题的关键.

4.（3分）关于方程V-2x+3=0的根的说法正确的是（）

A.有两个不相等的实数根B.没有实数根

C.两实数根的和为-2D.两实数根的积为3

【分析】先计算根的判别式的值，然后根据判别式的意义判断根的情况.

【解答】解：•.•△=（-2）2-4xlx3=-8<0,

方程没有实数根.

故选：B.

【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

方程有两个不相等的实数根；（2）△二。0方程有两个相等的实数根；（3）△<0。方程没

有实数根.

5.（3分）以40m/s的速度将小球沿与地面成30。角的方向击出时，小球的飞行路线是一条

抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度人（单位：〃。与飞行时间/（单位：s）之

间具有函数关系〃=初（“<（））.若小球在第1秒与第3秒高度相等，则下列四个时间中，

小球飞行高度最高的时间是（）

A.第1.9秒B.第2.2秒C.第2.8秒D.第3.2秒

【分析】根据抛物线具有对称性和二次函数的性质，可以得到该抛物线对称轴及开口方向,

然后根据各个选项中的数据，可以判断出当f等于多少时，高度最高.

【解答】解：•.•小球的飞行高度/?（单位：⑼与飞行时间/（单位：S）之间具有函数关系

力=。/+初3<0）,小球在第1秒与第3秒高度相等，

.••该抛物线开口向下，对称轴是直线£=上0=2,

2

-.11.9-21=0.1,|2.2-2|=0.2,|2.8-2|=0.8,|3.2-2|=1.2,

在选项中的四个时间中，当，=1.9时，小球飞行的高度最高，

故选：A.

【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

6.（3分）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（

）

A.120°B.180°C.240°D.300°

【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥

侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数.

【解答】解：设母线长为R,底面半径为r,

.♦.底面周长=2乃广，底面面积=乃产，侧面面积=打,火，

•.•侧面积是底面积的2倍，

2兀』=nrR，

R=2r,

设圆心角为〃,

则〃兀R=2兀r=nR,

180

解得，“=180。，

故选：B.

【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是

解决本题的关键，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

7.（3分）如图，在AABC中，AC=BC,ZC=40°.将AABC绕着点B逆时针方向旋转

得ADBE,其中AC//BD,BF、8G分别为A48c与ADBE的中线，则NFBG=（）

B

C<

尸；7G

E

A.90°B.80°C.75°D.70°

【分析】由等腰三角形的性质和旋转的性质得ZC=Z£=4O°,

NCAB=/CBA=ZEBD=ND=,BC=BE,AC=DE,再证=ABEG(S4S),得

NCBF=NEBG,然后证A在BE上，即可得出答案.

【解答】解：•.•4C=8C,ZC=40°,

ZCAB=ZCBA=gx(180。-40°)=70°,

由旋转的性质得：AABC=ADBE,

..NC=ZE=40°,ZCAB=ZCBA=ZEBD=Z£>=70°,BC=BE,AC=DE,

•;BF、BG分别为AABC与ADBE的中线，

:.CF=-AC,EG=-DE,

22

:.CF=EG,

\BCFwABEG(SAS),

:.NCBF=NEBG,

.ACHBD,ZCAB=NEBD=70°,

.♦.A在座上，

ZFBG=ZABF+ZEBG=ZABF+ZCBF=Z.CBA=7O5,

故选：D.

【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的

性质等知识，熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键.

8.(3分)童威把三张形状大小相同但画面不同的风景图片都按相同的方式剪成相同的三段,

然后将三段上、三段中、三段下分别混合洗匀为“上、中、下”三堆图片，从这三堆图片中

各随机抽取一张，则恰好能组成一张完整风景图片的概率是()

1122

A.-B.-C.-D.-

3939

【分析】把三张风景图片用甲、乙、丙来表示，根据题意画树形图，数出可能出现的结果利

用概率公式即可得出答案.

【解答】解：把三张风景图片分别用甲、乙、丙来表

根据题意画图如下：

共有27种等可能的情况数，其中恰好组成一张完整风景图片的有3种，

则这三张图片恰好组成一张完整风景图片的概率为

279

故选：B.

【点评】本题考查了列表法和树状图法的相关知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与

总情况数之比.

9.(3分)如图，A3为。。的一条弦，C为OO上一点，OC//A3.将劣弧A5沿弦回翻

折，交翻折后的弧池交AC于点£>.若。为翻折后弧45的中点，则ZABC=()

A.1100B.112.5°C.1150D.117.5°

【分析】如图，连接Q4,OB,BD.设ND4B=x.用x表示出NBCD,ZDBC,

利用三角形内角和定理，构建方程求解.

【解答】解：如图，连接OA,OB,BD.设=

AD=BD,

；.DA=DB,

BD=BC,

BD=CD,

:.ZDAB=ZDBA=x,ZBDC=ZBCD=8AB+ZABD=2x,

\OC//AB,

ZOCA=ZDAB=x,

rOA=OC=OB,

:./OCB=NOBC=3x,ZOAD=ZOCA=x,ZOAB=ZOBA=2x,

；・/OBD=x,

.・.NOBD=4x,

在ABQC中，ZBDC+ADCB+ZDBC=180°,

「.2x+2x+4x=180°,

/.x=22.5°,

ZABC=5x=112.5°,

故选：B.

【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，学会利用参数,

构建方程解决问题.

10.(3分)无论上为何值，直线y=fcr-2Z+2与抛物线y=/-2or-3a总有公共点，则a

的取值范围是()

222

A.6/>0B.4,—C.a,,—或a>0D.a...—或a<0

333

【分析】将交点问题转化为方程解的问题求解.

【解答】解：当a=0时，若k=Q,直线y=2与直线y=0没有交点，不合题意.

当a=l时，二次函数为：y=x2-2x-3.

由辰一2%+2=/—2》一3得：x2-(k+2)x+2k-5.

△=(Z+2)2-4(2Z-5)=r-4k+24

=(k-2)2+20.

无论人为何值，(4-2)2..0,

A>0.

直线y=fcr-2k+2与抛物线y=ax2-2ar-3a总有公共点，

:.a=\符合题意.

故排除3，D.

当a=-l时，二次函数为：y=-Xl+2x+3.

由区一2%=2=—d+2x+3得：x2+(k-2)x-\=0,

△=(%-2>+4>0.

直线y=kx-2k+2与抛物线y=or?-2ax-3a总有公共点.

:.a=-\符合题意.

故排除A.

故选：C.

【点评】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，取特殊的〃值，将交点问题转化为方程

解的问题是求解本题的关键.

二、填空题。(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11.(3分)点(2,3)绕原点逆时针旋转90。对应点的坐标是_(-3,2)_.

【分析】利用旋转的性质画出旋转前后的图形，然后写出A点的坐标，则可判断点W在平

面直角坐标系中的位置.

【解答】解：如图，线段绕原点O逆时针旋转90。得到QT,则点W的坐标为(-3,2),

点4在第二象限.

故答案为(-3,2).

【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的

特殊性质来求出旋转后的点的坐标.

12.(3分)若一个人患了流感，经过两轮传染后共有36个人患了流感，则每轮传染中平均

一个人传染了5个人，按照这样的传染速度，三轮传染后共有个人患了流感.

【分析】设第一个人传染了X人，根据两轮传染后共有36人患了流感，列出方程，求解，

然后求出三轮之后患流感的人数.

【解答】解：设平均一人传染了x人，

x+1+（x+l）x=36,

解得玉=5,々=-7（不符合题意舍去），

经过三轮传染后患上流感的人数为：36+5x36=216（人）.

答：每轮传染中平均一个人传染了5个人，经过三轮传染后共有216人患流感.

故答案为:5,216.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知

数，找出等量关系，列出方程.

13.（3分）如图，是一个圆盘及其内接正六边形，随机往圆盘内投飞镖，则飞镖落在正六

边形内的概率是空.

—2^—

【分析】连接OE、OD,由正六边形的特点求出判断出AODE的形状，作0〃，区＞于“，

由特殊角的三角函数值求出O”的长，利用三角形的面积公式即可求出的面积，进而

可得出正六边形反CDER的面积，即可得出结果.

【解答】解：设OO的半径为R,连接OE、OD,如图所示：

六边形ABCDEF是正六边形，

:.ZDEF=120°,

..NOED=60°,

OE=OD=R,

\ODE是等边三角形，

DE=OD=R，

作OH1ED于H,则OH=OEsinZOED=Rx—=—R,

22

・•.S—gDEOH=*，

：.正六边形的面积=6X1R2=巫片,

42

,「GX?的面积=乃/?2，

应R2

，飞镖落在正六边形内的概率是工=主色

nR2In

故答案为：—.

【点评】本题考查的是正多边形和圆、正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函

数；熟练掌握正六边形的性质，通过作辅助线求出AODE的面积是解决问题的关键.

14.（3分）如图，是编号为1、2、3、4的400m跑道，每条跑道由两条直的跑道和两端是

半圆形的跑道组成，每条跑道宽1〃?，内侧的1号跑道长度为405〃，则2号跑道比1号跑道

长6.28m；若在一次200帆比赛中（每个跑道都由一个半圆形跑道和部分直跑道组成）,

要使得每个运动员到达同一终点线，则4号跑道起跑点比2号跑道起跑点应前移—〃乂万

取3.14）.

【分析】通过观察，发现每条跑道直道长度一样.在405〃跑道中，跑道2比跑道1长的部

分，就是其跑道2两个半圆与跑道1两个半圆之差；在200加跑道中，跑道4比跑道2长的

部分，就是其跑道4半圆与跑道2半圆之差，要使得每个运动员到达同一终点线，则4号跑

道起跑点比2号跑道起跑点前移的部分就是跑道4与跑道2长的部分.

【解答】解：每条跑道由两条直的跑道和两端是半圆形的跑道组成，设1号跑道直道长为。

米，两个半圆组成的一个圆半径为r米，贝I1号跑道长为3+2万r）米，因为每条道宽1米，

所以2跑道长为3+2万（r+1）］米，

贝IJ2号跑道比1号跑道长：［。+2万（r+1）—（4+2万「）］=2］=6.28米；

在200〃?比赛中（每个跑道都由一个半圆形跑道和部分直跑道组成），设1号跑道直道部分

为m米，半圆半径为r米，因为每条道宽1米，所以2号跑道长为伍+万(r+1)]米，4号跑

道为■+乃(r+3)]来,

则4号跑道比2号跑道长{a+兀(r+3)-[〃+万(r+1)]}=2"=6.28米，所以4号跑道起跑点比

2号跑道起跑点应前移6.28米.

【点评】本题关键是学生要清楚每个跑道组成和各个跑道之间的联系，本题考查学生的观察

能力和发现规律的能力，综合性较强.

15.(3分)下列关于二次函数尸/—2如-2相-3的四个结论：①当机=1时，抛物线的顶

点为(1,-6)；②该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点；③该函数的最小值的最大值为

-4;④点4用，y)、Z?(x2,必)在该函数图象上，若再＜占，y,＜y2,则内+々＞2机；

其中正确的是①②④.

【分析】①将m=l代入二次函数解析式，并化为顶点式即可；②根据△＞◊可以判断；③先

求出二次函数的最小值，再利用二次函数的性质求出其最大值；④需要分情况讨论，再进行

判断.

【解答】解：①将帆=1代入二次函数解析式得，y=x2-2x-5=(x-l)2-6,

抛物线的顶点为(1,-6),故①正确；

(2)A=(2m)2-4(-2nz-3)=4m2++12=4(+2)2+4＞0,

该函数的图象与x轴总有两个不同的公共点，故②正确；

(3)y=x2-2mx-2m-3=(x-m)2-m2-Im—3,

二次函数的最小值为:—m2—2m—3=—(m+1)'—2,

该函数的最小值的最大值为-2,故③错误；

④点A(X1,X)、B(X2,丫2)在该函数图象上，若演＜々，乂＜必，

当机＜玉时，y随x的增大而增大，此时玉+马＞2机；

当々时，|巧一机|＜|马-加|,整理得士+々＞2根，故④正确；

故答案为：①②④.

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，是一道比较基础的题目，利用二次函数的性质解

答是解题的关键

16.(3分)如图，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,G)O与AC、AB都相

切，其半径为1.若在三角线内部沿边钻顺时针方向滚动到与3c相切，则点O运动的路

经长是5.

【分析】设。。与AC相切于点E,OP与8c相切于点E,则OELAC,PF±BC,

OE=PF=\,过点C作CD_L45于点。，交OP于点G,则CG_LOP,£4=1利用等面

积法求出CD,根据三角形的面积公式求得OP=5,即为则点O运动的路径长.

【解答】解：在RtAABC中，ZACB=90°,AC=6,3c=8,

A8=〃C2+8C2=，62+8、=10,

如图，设。。与AC相切于点E,。2与8c相切于点F,

:.OE±AC,PF工BC,OE=PF=\,

OP是由OO沿Afi滚动而得到的，

.-.OP//AB

过点C作C£)_LA8于点£),交。尸于点G,

:.CG±OP,DG=\,

■•'S^BC=^ABCD=^ACBC,

iACBC6x824

.*.CD=-------------=--------=—9

AB105

:.CG=CD-DG=--\=—,

55

48c=SMC。+SAC。/,+S梯形AOPB+^t^BCP'

-ABCD=-ACOE+-OPCG+-(OP+AB)-DG+-BC-PF,

22222

即ABCD=ACOE+OPCG+(OP+AB)IXi+BC-PF,

...I0x—=6xl+yOP+(OP+10)xl+8xl,

解得OP=5,

即则点O运动的路径长是5.

故答案为：5.

【点评】本题考查了切线的性质，圆的相关计算，熟练运用切线的性质和割补法求三角形面

积是解题的关键.

三、解答题。（共8题，共72分）

17.（8分）若关于x的一元二次方程d-3x+Z=0一个根为4,求方程另一个根和/的值.

【分析】利用根与系数的关系求出两根之和，把x=4代入求出另一根，进而求出々的值即

可.

【解答】解：•.■关于x的一元二次方程9一3犬+%=0一个根为4,设另一根为。，

/.4+a=3,4a=k,

解得：a=—1,k=—^.

【点评】此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是

解本题的关键.

18.（8分）如图，将AABC绕点5顺时针旋转得到AD8E,使得点。落在线段AC上.若

AC=BC,求证：BE!/AC.

【分析】由等腰三角形的性质得出NA=N/WC,由旋转的性质得出=M,

ZABC=NDBE,证出ZADB=NDBE,则可得出结论.

【解答】证明：•.♦AC=BC,

:.ZA=ZABC,

■：将AABC绕点B顺时针旋转得到垃）BE,

AB=BD,ZABC=NDBE,

:.ZA=ZADB,

.-.ZADB=ZDBE,

:.BE"AC.

【点评】本题考查性质的性质，平行线的判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌

握旋转变换的性质，灵活运用所学知识解决问题.

19.（8分）不透明的袋子中装有红色小球1个、绿色小球2个，除颜色外无其它差别.

（1）从袋中随机摸出一个小球，直接写出摸到红球的概率；

（2）随机摸出一个小球，记下颜色，放回并摇匀，再随机摸出一个，求两次都摸到绿球的

概率.

【分析】（1）用红球的个数除以总球的个数即可得出答案；

（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求

出该事件的概率.

【解答】解：（1）•.•不透明的袋子中装有红色小球1个、绿色小球2个，

，从袋中随机摸出一个小球，摸到红球的概率是工；

3

（2）红色小球用数字1表示，两个绿色小球分别用2和3表示，

列表如下：

123

1(1,1)(2,1)(3,1)

2(1⑵(2,2)(3,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)

由上表可知，从袋子总随机摸出两个小球可能会出现9个等可能的结果，其中两球都是绿色

的结果有4个，

则摸出两个绿球的概率为M.

9

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不重复

不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以

上完成的事件.注意概率=所求情况数与总情况数之比.

20.（8分）如图，与0Q都经过A、8两点，且点。在0Q上.记。的半径为凡，

。。2的半径为R”请用无刻度的直尺，依次完成下列的画图.

（1）画一条直线平分两圆组成的图形的面积；

（2）在图中用阴影部分表示“到点Q的距离大于等于且到点。的距离小于等于RJ'

的点的集合;

（3）在。。2上画点。，使AQ是。01的切线;

（4）在线段QA上画点M,使NAMB=3乙WQQ.

【分析】（1）作直线。。2即可；

（2）根据要求作出图形即可；

（3）设直线QQ交。于点。，作直线AQ即可;

（4）连接BOj延长交4Q于点"，点〃即为所求.

【解答】解：（1）如图，直线。即为所求;

（2）如图，阴影部分即为所求；

（3）如图点。，直线AQ即为所求;

（4）如图，点M即为所求.

【点评】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是

理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

21.（8分）四边形A8C。是菱形，。。经过8、C、D三点（点O在AC上）.

（1）如图1,若4?是OO的切线，求N40C的大小；

（2）如图2,若AB=5,AC=8,AS与交于点E.

①求的半径；

②直接写出鸵的值.

B

B

E

图I图2

【分析】（1）连接。8,利用切线的性质定理可得N/WO=90。，利用菱形的性质，圆周角

定理和三角形的内角和定理通过计算求得448c的度数，由菱形的对角相等可得结论；

（2）①连接如，OB,8。与AC交于点尸，利用菱形的对角线互相垂直平分可得AF=4,

利用勾股定理可求5F的长，设O8=r,则OC=r,OF=FC-OC=4-r,在RlAOBF中，

利用勾股定理列出方程，解方程即可求解；

②过点O作则BH=HE」BE,连接08,由①中的结论可求

2

sinZBAC=—=~,在RtAAOH中，利用直角三角形的边角关系可求O",利用勾股定理

AB5

结论可得.

【解答】解：（1）连接03,OD,如图，

・J/R是的切线，

:.ZABO=90°.

•.•四边形ABC。是菱形,

/.AB=AC.

ZBAC=ZBCA,

/ZBOA=2ZBCAf

.\ZBOA=2ZBAC.

\-ZBAC+ABOA=90°,

:.3ZBAC=90°.

・•.ZBAC=30°.

.\ZBC4=30°.

,;OB=OC,

・•.ZOBC=ZOCB=30°.

・•.ZABC=ZABO+Z.OBC=90°+30°=l20°.

・・•四边形ABC。是菱形，

/.ZA£>C=ZABC=120°.

(2)①连接8。，OB,BD与AC交于点F,如图,

・・•四边形ABC。是菱形，

s.ACLBD,AF=FC=-AC=4,BF=FD.

2

在RtAABF中，

BF=y]AB2-AF2=752-42=3.

设O8=r,则OC=r,

：.OF=FC-OC=4-r.

在RtAOBF中，

222

­.OF+BF=OBf

32+(4-r)2=r2,

解得:r=—.

8

.•.oo的半径为停；

②BE=U.理由：

5

RF3

在RtAABF中，sinZBAC=——=-.

AB5

过点。作。H_LBE,则BH=HE=1BE,连接03,如图,

2

由①知：oc=，，

8

2539

:.OA=AC-OC=8——=—.

88

在RtAAOH中，

vsinZBAC=—,

OA

.•.也3

OA5

:.OH=—.

40

BH=y/OB2-OH2=J（—）2-（—）2=—.

V84010

:.BE=2BH

5

【点评】本题主要考查了菱形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理及其推论，等腰三角形

的判定与性质，三角形的内角和定理，勾股定理，解直角三角形，垂径定理，连接过切点的

半径是解题的关键.

22.（10分）如图，要设计一副宽12c〃?、长20CTH的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖

彩条的宽度比为3:2.设每条竖彩条的宽度为2xc，〃，图案中四条彩条所占面积的和为

ycm2.

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）当x不小于0.5c/n,不大于1.5aw时，求y的最大值；

（3）童威现在需要制作100张这样图案的卡片，其中彩条部分制作费用为15元/I,其余

部分制作费用为10元/£，购买材料的总费用为31.2元（不计损耗），直接写出x的值.

更

【分析】（1）由横、竖彩条的宽度比为3:2知横彩条的宽度且竖条的宽度为2xcm可知横条

的宽度为3xcm,根据除去彩条部分后的部分的面积为长为（20-2x2x）a*、宽为

(12-2*3x)c/n的长方形的面积列式求出y与x之间的函数关系式可列函数关系式，再根据

x>0且2x2x<20、2x3x<12列不等式组求出x的取值范围即可；

(2)将(1)中求出的二次函数的关系式配方成为顶点式，再根据二次函数的性质求出在

0.5张W1.5的范围内y的最大值即可；

(3)先将15元/病转化为1.5x10-3元。病,将io元加转化为IO-元/用,再根据卡片总

数为100张，彩条部分制作费用为1.5x103元/cW,面积为(-24/+168*疗，其余部分制

作费用为107元/面积为(20-2x2x)(12-2x3x)077?,总费用为31.2元列方程求出符

合题意的x值即可.

【解答】解：(1)根据题意可知，每条竖彩条的宽度为2xc机，每条横彩条的宽度为3xcm,

x>0

<2x2x<20,

2x3x<12

:.0<x<2,

由题意得y=20xl2-(20—2x2x)(12-2x3x),

即y=-24/+i68x,

y与x之间的函数关系式为y=-24x2+168x(0cx<2).

(2)y=-24x2+168%=-24(x-3.5)2+294,且0cx<2,

.,.当().5张*1.5时，y随x的增大而增大，

.•.当x=1.5时，y最大=-24x(1.5-3.5)2+294=198,

.•.y的最大值是198c/.

(3)15元/病=15x104元/所2=1.5x103元/的2,10元/病nlOxlCF4元/<?病=1()T元

/cm2,

根据题意得，100(1.5X10-3(-24x2+168x)+10-3(20-2x2x)(12-2x3x)]=31.2,

整理得X2-7X+6=0,

解得与=1,x2=6(不符合题意，舍去)，

X=1.

【点评】此题考查一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识与

方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题.

23.(10分)如图，在AABC和AAED中，AB=AC,AE^AD,N84C=NEW=90。，点

G、F分别是£D、8c的中点，连接8、BE、GF.

(1)求证：ZACD=ZABE；

(2)求变的值；

CD

(3)若四边形BEDC的面积为42,周长为24忘，GF=5,则10.

【分析】(1)根据已知条件可得AABC和都是等腰直角三角形，然后证明

ABAE^ACAD,即可解决问题；

(2)连接AG,AF,根据A4BC和AA£D都是等腰直角三角形，且点G、F分别是ED、

A(J1Ari

5c的中点，可得AG_LDE,AFA.BC,ZMC=ZG4D=45°,所以一=-=,——=-=

ADeAC近f

—,然后由AMG-&SAD,即可解决问题；

ADAC

(3)根据四边形8££>C的面积为42,周长为24夜，GF=5,可得ED+8C=14夜，

==x2

S四边形阻>c—SgBc~^AAED42，然后由248-AC=—BC~,5凶曲=—DEf设BC=a»

ED=b,列出方程组，求出。和〃的值，即可解决问题.

【解答】(D证明：\AB=AC9AE=AD,ZfiAC=NEW=90。，

AABC和MED都是等腰直角三角形,

­.•ZBAE=ABAC-ZEAC,ZDAC=ZDAE-ZEACf

.\ZBAE=ZCAD,

在ABAE和C4。中，

AB=AC

,/BAE=ZCAD,

AE=AD

:.ABAE=ACAD(SAS)f

:.ZACD=ZABE；

(2)解：如图，连接AG,AF,

•・・A48C和AAED都是等腰直角三角形，且点G、夕分别是£»、8C的中点,

/.AG-LDE,AF.LBC,ZE4C=ZG4D=45°,

AG1AF_1

「而一正’就一双‘

.AGAF

~AD~~AC'

­.•ZFAG=ZFAC-ZGAC,ZCAD=ZGAD-ZGAC,

:,ZFAG=ZCAD,

.-.AFAG^ACW,

.GFAG1_V2

…~DC~^D~7/2~~T；

(3)解：・.・GF=5,

:.CD=皈GF=5垃,

由(1)5二ACAO可知：BE=CD=5^,

•••C西边形BEDC=BE+CD+ED+BC,

.-.ED+BC=24x/2-2x5V2=14x/2,

,**S四边形BEOC=S四边形ASCO-^AASE-S&4E0

=S^ABC+^MCD-S^BE一‘MED，

AABE=AACD,

一S四边形BE8=^XABC-SMED=42,

■■S^C^ABAC^BC2,

同理得^06，

设3C=a,ED=b,

。2」2=42

，,44,

a+b=146

将a=14后-b代入加=42中得:

44

」（140-力2-5=42,

44

解得b=40,

.-.a=14V2-4x/2=10x/2,

BC=10V2,

AB=-J=XBC=4=X10>/2=10

V2V2

故答案为：10.

【点评】本题属于相似三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判

定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形中位线定理，三角形面积和周长，二元一次

方程组，解决本题的关键是综合运用以上知识.

24.(12分)抛物线y=ar?+2x+c与x轴交于A(-l,0)、B两点,与y轴交于点C(0,3),点

以相,3)在抛物线上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,连接8C、BD,点尸在对称轴左侧的抛物线上，若NPBC=NDBC,求点P

的坐标；

(3)如图2,点。为第四象限抛物线上一点，经过C、D、。三点作。加，0M的弦。尸//y

轴，求证：点F在定直线上.

【分析】(1))把4、C坐标代入，可得关于a、c的二元一次方程组，解方程组求出a、c.

(2)设3P与y轴交点为G,求出点。坐标为可得8=2且CD//X轴，由OB=OC可得

NBCO=ZCBO=ZDCB=45°,从而证明ACGB=ACDB(ASA),得出点G坐标后，解出BP

所在直线方程，然后联立直线方程与抛物线方程求解.

(3)连接MD,MF,设0(，”,-苏+2机+3),F(m4),根据8、QF为0M的弦，可得

圆心M是8、QF的垂直平分线的交点，即可表示出点“坐标，根据利用两

点间距离公式可得等式，整理可得f=2,即可得答案.

【解答】解：(1)将(―1,0),(0,3)代入)，=奴2+2*+。得(°="-2+c,

\3=c

解得