连续介质力学-课件-第三章-应力

第三章应力第1节Cauchy应力张量Cauchy应力矢量、Cauchy应力张量1.

应力张量Cauchy应力矢量

Cauchy应力矢量存在极限：Cauchy应力矢量Cauchy应力矢量分解：应力矢量的分解

沿坐标轴方向分解：法向分量和切向分量的作用效应

沿微元面法向和切向分解：三个分量对微元面的作用效应没有本质区别分量值与坐标系的选择有关

应力的单位：帕（Pa=N/m2）或者兆帕（Mpa=106Pa=N/mm2）1.

应力张量应力张量1.

应力张量某点的应力矢量与点的位置和微元面的方位有关：t(n)

与n是线性关系的

Cauchy定理：如果在空间某点x处的张量φ是通过x的微元面da法线方向n的连续函数，则存在着比φ高一阶的张量s(x;t)，使成立。T被称为Cauchy应力张量

1.

应力张量当时：当时：构造

Cauchy应力张量：

记：Cauchy应力张量分量Cauchy应力张量的分量对角线元素均为法向应力分量切应力互等定理：非对角线元素均为切向应力分量Cauchy应力张量的分量矩阵：Cauchy应力张量T

是对称张量1.

应力张量应力分量的符号规定：在外法线方向沿坐标轴正向的表面上，沿坐标轴正向的应力分量为正，沿坐标轴反向的应力分量为负单元体上的应力分量在外法线方向沿坐标轴反向的表面上，沿坐标轴反向的应力分量为正，沿坐标轴正向的应力分量为负1.

应力张量

由某点的应力张量T可确定过该点处任意截面上的应力矢量

若斜截面法线方向与坐标轴方向不同，则使用坐标变换使新坐标系坐标轴与所求微元面的法线方向相同在坐标系中：1.

应力张量在坐标变换中，T的分量矩阵满足：某点处法线方向为n的斜截面上指向n

的法向应力σ为：

1.

应力张量

总切应力大小：二维应力分量坐标变换二维情况：材料力学中的公式

1.

应力张量三维情况下，法线方向为n(1)的截面上三个应力分量：法线方向为

n

的微元面上应力矢量:当物体表面承受法向压力q

时，界面上应力矢量:法向分量：切向分量：1.

应力张量

解：微元面法线方向单位向量：微元面上的应力矢量列阵：它的模为1.

应力张量法向应力为切向应力值为

应力矢量与法线方向的夹角应满足：

1.

应力张量第三章应力第1节Cauchy应力张量应力张量的主值、最大切应力、八面体应力1.

应力张量Cauchy应力张量的主值Cauchy应力矢量的法向分量：应力张量T

存在着三个实数的主值，称为主应力在连续体中，法向应力分量应为有限值某点处的主应力就是过该点的所有微元面上法向应力分量的极值或驻值

在单位方向矢量n

满足：带约束的极值问题1.

应力张量将三个主方向单位列向量依次排列，构成一个正交矩阵：在主平面上，剪应力为零主应力和主平面1.

应力张量如果单元体的某个表面无切应力作用，那么这个表面必定构成一个主平面，该表面上的法向应力也就是一个主应力

在二维情况下，这三组正交曲面族退化为两组正交曲线族，称为主应力迹线，主应力迹线上某点的切线方向，便是过该点的主应力方向悬臂梁的一种主应力迹线1.

应力张量Cauchy应力张量T的不变量：Cauchy应力张量T可表示为：平均正应力应力偏量平均正应力是一种球应力状态各个方向法向应力都相等各个方位微元面上均无剪应力

对于各向同性材料，平均正应力作用的效应是微元体体积的变化，而没有形状变化；应力偏量作用的效应是微元体形状的变化，而没有体积的变化

1.

应力张量例题

物体某点处应力张量T的分量矩阵为，求T的三个不变量。解：根据矩阵不变量的公式，可直接得到：1.

应力张量例题物体P点处的应力张量T在某个坐标系下的分量矩阵为求：①求T的主值及不变量；②求偏应力的主值及不变量。①

T的主值满足特征方程解：不变量：主值：1.

应力张量②

由偏应力定义可得：在T

的主轴坐标系下：T的分量矩阵为对角阵

球应力分量矩阵为对角阵

T′的分量矩阵也为对角阵偏应力T′与T有相同的主方向

T′的主值：

不变量1.

应力张量

最大切应力

切应力仅为n的函数，且方向矢量n必须满足条件：1.

应力张量使τ

取极值的n必定满足引用Lagrange乘子λ，构造一个新函数即：消去乘子λ，可得：1.

应力张量τ对应的极值：注意：1.

应力张量最大切应力面与主平面的位置关系切应力取极大值的微元面的法线方向与第一主轴和第三主轴成45°的夹角法向正应力：1.

应力张量八面体应力若微元面的法线方向与应力主轴成等角，这样的微元面有八个，它们可以构成一个等八面体，该微元面上的应力即八面体应力

某点邻域内的正八面体

在主轴坐标系下，与三个主轴成等角的单位方向矢量n的分量满足：

这些微元面上，Cauchy应力矢量：

1.

应力张量法向分量：切向分量：八面体上的切应力与第四强度准则的等效应力

σeq4

密切相关：1.

应力张量例题

若应力张量分量矩阵为，求最大切应力及八面体应力。解：

特征方程：最大切应力：八面体正应力：八面体切应力：第三章应力第2节其它形式的应力1.

应力张量其它形式的应力即时构形上面元da

上的牵引力：参考构形：牵引力的平移第一种方式，牵引力“平移”到参考构形，令：应力张量：第一类Piola-Kirchhoff应力应力矢量：

1.

应力张量第二种方式，与坐标变换类似，令：应力张量：

第二类Piola-Kirchhoff应力应力矢量：

牵引力的变换1.

应力张量第一类Piola-Kirchhoff应力P则是非对称的；第二类Piola-Kirchhoff应力K是对称张量Cauchy应力是定义在