2023年黑龙江省绥化市中考数学真题和答案

二O二三年绥化市初中毕业学业考试数学试题

考生注意：

1.考试时间120分钟

2.本试题共三道大题，28个小题

3,所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内

一、单选题

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

日医区

7.下列命题中叙述正确的是（）

A.若方差*>或，则甲组数据的波动较小

B.直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离

C.三角形三条中线的交点叫做三角形的内心

D.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

8.绥化市举办了2023年半程马拉松比赛，赛后随机抽取了部分参赛者的成绩（单位：分钟），并制作了如

下的参赛者成绩组别表、扇形统计图和频数分布直方图.则下列说法正确的是（）

组别参赛者成绩

A70Kx<80

B80<x<90

C90W100

D100<x<110

E110<x<120

A.该组数据样本容量是50人

B.该组数据的中位数落在90~100这一组

C.90〜100这组数据的组中值是96

D.110〜120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为51。

9.在平面直角坐标系中，点A在），轴的正半轴上，AC平行于工轴，点&C的横坐标都是3,BC=2,

点。在AC上，且其横坐标为1,若反比例函数>=七（x>0）的图像经过点8,D,则&的值是（）

x

3

C.3D.

2

10.某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运

4

送货物，两车又共同运送货物:天，运完全部货物.求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送

这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（）

11,1\（\n,

A-+—=1B-+——+―=1

42x4214X）

If,H1,1（\1A1,

C.-1+-+-=1D.-+-+--=1

2）x4（42）x

11.如图，在菱形A8CQ中，NA=60。，AB=4,动点M,N同时从A点出发，点用以每秒2个单

位长度沿折线A—5-C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AO向终点。运动，当其中一点

运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为工秒，二AMN的面积为〉个平方单位，则下列正确

表示），与x函数关系的图象是（）

12.如图，在正方形A8CD中，点E为边C。的中点，连接AE，过点5作B/LAE于点尸，连接30

交AE于点G,FH平分NBFG交BD干点H.则下列结论中，正确的个数为（）

20.如图，..ABC是边长为6的等边三角形，点七为高8。上的动点.连接CE,将CE绕点C顺时针旋

转60。得到CF.连接AF，EF,。尸，则©CD歹周长的最小值是.

21.在求1+2+3++100的值时，发现：1+100=101,2+99=101・・•・，从而得到

1+2+3+，+100=101x50=5050.按此方法可解决下面问题.图（1）有1个三角形，记作4=1；

分别连接这个三角形三边中点得到图（2）,有5个三角形，记作4=5；再分别连接图（2）中间的小三

角形三边中点得到图（3）,有9个三角形，记作。3=9；按此方法继续下去，则4+%+生+……+。相

延长CA'交直线3C于点。.则A'O的长度为

三、解答题

23.已知：点PO。外一点.

（1）尺规作图：如图，过点P作出0。的两条切线尸E，PF,切点分别为点E1、点尸.（保留作图痕

迹，不要求写作法和证明）

（2）在（1）的条件下，若点。在0。上（点。不与E,产两点重合），且NEP/=30°.求NEZm的

度数.

24.如图，直线MN和所为河的两岸，且MN〃石F,为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸庄

的3点测得NC应：=30。，从8点沿河岸FE的方向走40米到达。点，测得NCDE=45。.

（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）

（2）若从。点继续沿。E的方向走（126+12）米到达0点.求tan/C正的值.

25.某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、5两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）.A型

车每辆租金500元，3型车每辆租金600元,若5辆A型和2辆3型车坐满后共载客310人：3辆A型和

4辆3型车坐满后共载客340人.

（2）若该校计划租用A型和8型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的

地.该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？

（3）在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车.已知从学校到夏令

营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达

目的地.下图是两车离开学校的路程s（千米）与甲车行驶的时间，（小时）之间的函数图象.根据图象

信息，求甲乙两车第一次相遇后，/为何值时两车相距25千米.

26.已知：四边形A8CO为矩形，A8=4,AQ=3,点尸是8c延长线上的一个动点（点/不与点。

重合).连接A尸交CD于点G.

图一图二图三

(1)如图一，当点G为的中点时，求证：AAQG二△FCG.

(2)如图二，过点。作CE_LA尸，垂足为E.连接8E,设8尸=%，CE=y.求N关于x的函数关系

式.

(3)如图三，在(2)的条件下，过点8作交E4的延长线于点M.当Cr=1时，求线段

的长.

27.如图，MN为。O的直径，且MN=15,与ND为圆内的一组平行弦，弦A3交MC于点

H.点A在%c上，点8在州°上，NOND+NAHM=900.

(2)求证：AC=BC-

(3)在。O中，沿弦M)所在的直线作劣弧NO的轴对称图形，使其交直径MN于点G.若

3

sinNCMN=g,求NG的长.

28.如图，抛物线必=0?+法图象经过A(—6,0),8(-2,0),C(0,6)三点，且一次函数

)，="+6的图象经过点B.

（1）求抛物线和一次函数的解析式.

（2）点E，尸为平面内两点，若以£、尸、B、。为顶点的四边形是正方形，且点E在点尸的左

侧.这样的E，尸两点是否存在？如果存在,请直接写出所有满足条件的点后的坐标：如果不存在，请

说明理由.

（3）符抛物线”=G2+公+。图象向右平移8个单位长度得到抛物线刈，此抛物线的图象与“轴交于

'两点（M点在N点左侧）.点尸是抛物线）’2上的一个动点且在直线NC下方.已知点P的横坐标

CD+-PD

为机.过点尸作「D_LNC于点。.求加为何值时，2有最大值，最大值是多少？

二O二三年绥化市初中毕业学业考试数学试题

考生注意：

1.考试时间120分钟

2.本试题共三道大题，28个小题

3,所有答案都必须写在答题卡上所对应的题号后的指定区域内

一、单选题

1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够

互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果

旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐

一判断即可.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意；

C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故C选项合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D选项不合题意.

故选：C.

【点睛】本题主要考杳了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对

称图形的定义.

2.计算卜5|+2°的结果是（）

A.-3B.7C.-4D.6

【答案】D

【解析】

【分析】根据求一个数的绝对值，零指数幕进行计算即可求解.

【详解】解：卜5|+2°=5+1=6,

故选：D.

【点晴】本题考查了求一个数的绝对值，零指数累，熟练掌握求一个数的绝对值，零指数哥是解题的关

键.

被切去一角，则其左视图是（

【解析】

【分析】根据左视图的意义判断即可.

【详解】根据题意，该几何体的左视图为:

故选B.

【点睛】本题考查了三视图的画法，熟练掌握三视图的空间意义是解题的关键.

4.纳米是非常小的长度单位，lnm=0.000000001m,把0.000000001用科学记数法表示为（）

A.IxlO-9B.IxlO-8C.1x10*D.IxlO9

【答案】A

【解析】

【分析】用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为4X10-”，其中1＜忖＜10,〃为整数.

【详解】解：0.000000001=IxlO-9.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为4X10-",其中14忖＜1°，

〃为由原数左边起第一个不为零的数字前面的。的个数所决定，确定。与〃的值是解题的关键.

5.下列计算中，结果正确的是（）

A.（一pg）3=，%3B.X-X^+X2X2=X8C.V25=±5D.（〃2）=〃6

【答案】D

【解析】

【分析】根据积的乘方与辕的乘方运算，同底数幕的乘法、合并同类项，算术平方根，进行计算即可求解.

【详解】解：A.（-〃/3=_〃3g3,故该比项不正确，不符合题意；

B-x-x3+x2X2=2x4，故该选项不正确，不符合题意；

C.715=5.故该选项不正确，不符合题意：

D.（/丫=〃6,故该选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了积的乘方与累的乘方运算，同底数基的乘法、合并同类项，算术平方根，熟练掌握以

上运算法则是解题的关键.

6.将一副三角板按下图所示摆放在一组平行线内，Zl=25°,Z2=30°,则N3的度数为（）

【答案】C

【解析】

【分析】根据两直线平行内错角相等即可求解.

【详解】解：依题意，Zl+90°=Z3+45°,

,/Zl=25°,

AZ3=70°,

故选：C.

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解题的关键.

7.下列命题中叙述正确的是（）

A.若方差牖＞S3则甲组数据的波动较小

B.直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离

C.三角形三条中线的交点叫做三角形的内心

D.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

【答案】D

【解析】

【分析】根据方差的意义，点到直线的距离，三角形的重心的定义，角平分线的性质，逐项分析判断即可求

解.

【详解】解：A.若方差舄,或，则乙组数据的波动较小，故该选项不正确，不符合题意；

B.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故该选项不正确，不符合题意；

C.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，故该选项不正确，不符合题意；

D.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故该选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了方差的意义，点到直线的距离，三角形的重心的定义，角平分线的性质，熟练掌握以

上知识是解题的关键.

8.绥化市举办了2023年半程马拉松比赛，赛后随机抽取了部分参赛者的成绩（单位：分钟），并制作了如

下的参赛者成绩组别表、扇形统计图和频数分布直方图.则下列说法正确的是（）

组别参赛者成绩

A70<x<80

B80<x<90

C90Wx<100

D100<x<110

E110<x<120

A.该组数据的样本容量是50人

B.该组数据的中位数落在90〜100这一组

C.90~100这组数据的组中值是96

D.110~120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为51。

【答案】B

【解析】

【分析】根据C组的人数除以占比求得样本的容量，结合统计图求得80Vx<90的人数为15,进而根据中

位数的定义，即可判断B选项，根据组中值为90+100=95,即可判断C选项，根据110〜120的占比乘

2

以360。，即可判断D选项.

【详解】解：A、该组数据的样本容量是12・24%=50,故该选项不正确，不符合题意；

B、80Kxv90的人数为：50-4-12-12-7=15,4+15<25,4+15+12>25,

该组数据的中位数落在90〜100这一组，故该选项正确，符合题意；

C、90~100这组数据的组中值是95,故该选项不正确，不符合题意；

D、110-120这组数据对应的扇形统计图的圆心角度数为卷x360。=50.4°,故该选项不正确，不符合

题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了样本的容量，条形统计图与扇形统计图信息关联，中位数的定义，求扇形统计图的圆

心角的度数，求频数分布直方图组中值，从统计图表中获取信息是解题的关键.

9.在平面直角坐标系中，点A在），轴的正半轴上，AC平行于x轴，点8,C的横坐标都是3,BC=2,

点。在AC上，且其横坐标为1,若反比例函数>=一（x>0）的图像经过点8,D,则2的值是（）

X

C.3D-I

【答案】C

【解析】

【分析】设3（3,6）,则C（3,m+2）,O（1,m+2）根据反比例函数的性质，列出等式计算即可.

【详解】设3（3,m），

•・•点6,C的横坐标都是3,BC=2,4C平行于x轴，点。在AC上，且其横坐标为1,

・•・。（3,6+2）,。（1,/〃+2）,

3m=m+2,

解得加=1,

・•・8（3,1）,

；・女=3x1=3,

故选C.

【点睛】本题考查了反比例函数解析式的确定，熟练掌握女的意义，反比例函数的性质是解题的关键.

10.某运输公司，运送一批货物，甲车每天运送货物总量的在甲车运送1天货物后，公司增派乙车运

4

送货物，两车又共同运送货物4天，运完全部货物.求乙车单独运送这批货物需多少天？设乙车单独运送

这批货物需x天，由题意列方程，正确的是（）

11,1If1H,

A.-H-----=1B.—I——I—=1

42x4214X）

lf11fl1V.

C.-1t+-+-=1tD.-+-+-\-=\

2）x4（42）x

【答案】B

【解析】

【分析】设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列出分式方程即可求解.

【详解】解：设乙车单独运送这批货物需x天，由题意列方程

故选：B.

【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键.

11.如图，在菱形ABCQ中，ZA=60°,AB=4,动点M,N同时从A点出发，点M以每秒2个单

位长度沿折线A—3—C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AQ向终点O运动，当其中一点

运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为“秒，的面积为了个平方单位，则下列正确

表示J与x函数关系的图象是（）

BC

【答案】A

【解析】

【分析】连接3。，过点8作庞:_LAD于点E，根据已知条件得出△A5O是等边三角形，进而证明

△4^6钻石得出//必^=/4£8=90。，当0＜，＜4时，M在A8上，当4K/v8时，M在BC

上，根据三角形的面积公式得到函数关系式，

【详解】解：如图所示，连接30,过点5作于点E，

当0＜，＜4时，M在A3上，

菱形ABC。中，ZA=60°,45=4，

：.AB=AD,则△ABD是等边三角形，

AAE=ED=^AD=2,BE=£AE=2拒

,:AM=2x,AN=x,

AMAB八r

-----=—=2,又/4=NA

ANAE

・•.AMNSABE

：,ZANM=ZAEB=90°

•**AW==V3x，

・1A62

••y=—xxy/3x=——x

22

当4W/V8时，M在3C上，

y=^ANxBE=^xx2&二®,

综上所述，0v，<4时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当4W，v8时，函数图象是直线的一部

分，

故选：A.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾

股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键.

12.如图，在正方形48CO中，点E为边CD的中点，连接AE，过点8作即J_AE于点尸，连接

交AE于点G,FH平分/BFG交BD干点H.则下列结论中，正确的个数为（）

2

①AB=BF•AE；②S.BQF•S△BAF=2:3；③当AB=a时，BD?-BD•HD=ci"

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】D

【解析】

【分析】①根据题意可得NABbnQOO—NHAb=NZME,则cosNA8/=cosN£4£>,即

—=—,又A8=A£>,即可判断①；②设正方形的边长为。，根据勾股定理求得AF，证明

ABAE

GABS.GED,根据相似三角形的性质求得G5,进而求得尸G,即可判断②；过点〃分别作

的垂线，垂足分别为M,N,根据②的结论求得8"，勾股定理求得即可判断③.

【详解】•・•四边形A8CO是正方形，

：.ZBAD=ZADE=90°,AB=AD

BF1.AE

:.ZABF=900-ZBAF=ZDAE

:.cosAABF=cosZ.EAD

BFAD「

即an——=，又AB=AD，

ABAE

:，AC?=8/，故①正确；

设正方形的边长为。，

•・•点E为边8的中点，

:.DE=-

2t

：.tanZ.ABF-tansZ.EAD=—,

2

在RtZXABE中，AB=ylAF2+BF2=45AF=a^

••Ar=­a

5

在RtaAPE中，AE=yjAD2+DE2=^-

2

.__>/5>/53石

・・EF=AE-AF=——a---a=------a，

2510

•:AB//DE

:.xGABsaGED

.AG_A*

GEDE

/.GE=-AE=—a

36

."_.A「口痘耳下25/5

••rG=AE—Ar—uE=—a-----a-------a=------a

25615

或

AFa3

・-~^=

••而=2石=3

-----a

15

**•S△BGF•=2；3,故②正确；

,:AB=a,

^BD2=AB2+AD2=2a2,

如图所示，过点”分别作8尸,4E的垂线，垂足分别为M,N,

又・・・M_LAE，

工四边形是矩形，

•••切是N5R7的角平分线,

:.HM=HN,

・•・四边形BW/N是正方形，

・•・FN=HM=HN

BF=2AF=—d,FG=—

515

*MHFG1

a~BM~~BF~3

'设MH=b,则B/=8历+株=3加+4/”=%+。=4/2

在中，BH=Mb，

,・遗2y[5

•BF=---a

5

・2石

・・--a=4b

5

解得：b=—a

10

BH=V10xa=a，

102

ABD2-BDHD=2a2-y/2ax—a=a2>故④正确.

2

故选：D.

【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性

质与判定是解题的关键.

二、填空题

13.因式分解：x2+xy-xz-yz=.

【答案】(x+y)(x-z)

【解析】

【分析】先分组，然后根据提公因式法，因式分解即可求解.

【详解】解：/+盯一xz-yz=x(x+y)-z(x+y)=(x+y)(x-z),

故答案为：(x+y)(x-z).

【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

14.若式子虫上2有意义，则X的取值范围是.

x

【答案】工之一5且1工0##工工0且不之一5

【解析】

【分析】根据分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，列出不等式计算即可.

【详解】•・•式子虫士士有意义，

x

，x+520且XHO,

；・xN-5且xrO,

故答案为：xN-5且x/0.

【点睛】本题考查了分母不为零，二次根式的被开方数是非负数，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件

是解题的关键.

15.在4张完全相同的卡片上，分别标出1，2，3,4,从中随机抽取1张后，放回再混合在一起.再随

机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是.

【答案】^-##0.5

【解析】

【分析】根据题意列表法求概率即可求解.

【详解】解：列表如下，

1234

1=1?1

1

1234

2=2W221

2­=一

12342

3=3，3■3

3

1234

二44”4

4一二2:

1234

共有16种等可能结果，符合题意的有8种，

Q1

・•・第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是「二二,

162

故答案为：.

【点睛】本题考查了列表法求概率，整除，熟练掌握列表法求概率是解题的关键.

11

16.已知一元二次方程/+1=51+6的两根为七与々，则一十一的值为.

【答案】-|

【解析】

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出玉+%=4，玉々=-6,将分式通分，代入即可求解.

【详解】解：•・•一元二次方程/+工=5/+6,即4x—6=0,的两根为々与4，

:.玉+工2=4，中2=-6,

11x,42

・•・——+—=--------=-=-T,

xxx2xxx2-63

故答案为：一；.

3

【点睛】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的

关系是解题的关键.

x+2_x-1二工一4

17.化简:

x2-2xX2-4X+4)•X2-2X

11

【答案】------##--------

x—2-2+x

【解析】

【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简即可求解.

x+2x-1x-4

【详解】解:

^x2-2xX2-4X+4X2-2X

(X+2)(X-2)-X(X-1)X(X-2)

x(x-2)2x-4

_x2-4-x2+xx(x-2)

-x(x-2)2Xx-4

1

=-------

x-2'

故答案为：-.

x—2

【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键.

18.如图，OO的半径为2cm,A8为。0的弦，点C为A8上的一点，将AB沿弦A8翻折，使点C

与圆心。重合，则阴影部分的面积为.(结果保留乃与根号)

【解析】

【分析】根据折叠的性质得出是等边三角形，则NAOC=60。，OD=CD=1,根据阴影部分面积

=$痢物"一5,皿即可求解・

【详解】解：如图所示，连接0A。。，设4昆CO交于点。

•・•将AB沿弦A8翻折，使点C与圆心。重合,

/.AC=AO,OC1.AB

又。4=0。

:.OA—OC=AC,

:."OC是等边三角形，

AZ4OC=60°,OD=CD=\,

・•・AD=7AO2-CD2=百，

・•・阴影部分面积=S扇形—

JOU2J'

故答案为：pl兀一百cm2.

107

19.如图，在平面直角坐标系中，/5C与△/EC'的相似比为1：2,点A是位似中心,已知点A（2,0）,

点。3向，ZC=90°.则点C的坐标为.（结果用含明方的式子表示）

【答案】（6-2。,一处）

【解析】

【分析】过点C,C'分别作X轴的垂线CDC'。垂足分别为R。'，根据题意得出472AD.则

AD=a-2,CD=b,得出£>'(2—2。+4,0),即可求解.

【详解】解：如图所示，过点CC分别作x轴的垂线CD,CZ>'垂足分别为

•・•J1BC与"5'。'的相似比为1：2,点A是位似中心，A(2,0)

:.Aiy=2AD

C(a,b),

AD=a—2,CD=b,

,,,

AAD=2a-4iCD=2b,

・・・D12-2a+4,0)

:.C(6-2。,—2/?)

故答案为：(6-2a-2b).

【点睛】本题考查了求位似图形的坐标，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键.

20.如图，~43C是边长为6的等边三角形，点E为高30上的动点.连接CE,将CE绕点C顺时针旋

转60。得至1J。/.连接AF，EF,DF,则©CDP周长的最小值是.

【答案】3+3石##36+3

【解析】

【分析】根据题意，证明乙丝NCA/，进而得出尸点在射线A/上运动，作点C关于A尸的对称点

C,连接OC',设CC交A尸于点。，则140。=90°,则当。,EC三点共线时，FC+FD取得最

小值，即/C+ED=/'C+fT）=CZy,进而求得cz>,即可求解.

【详解】解：YE为高8。上的动点.

:.ZCBE=-ZABC=30°

2

•・•将CE绕点C顺时针旋转60。得到CF.是边长为6的等边三角形,

・•.CE=CF,AECF=ZBCA=60°,BC=AC

：・&CBEACAF

:.ZCAF=ZCBE=30°,

・•・F点在射线AF上运动，

如图所示，

作点C关于A尸的对称点C，连接。C,设CC交A少于点O,则/4OC=90。

在Rt&AOC中，NC4O=30。，则CO=、AC=3,

2

则当D,£C'三点共线时，R7+FD取得最小值，即bC+FD=UC+b7)=C。'

•：CC=AC=6,ZACO=ZCCD,C0=CD

:.^ACO^^CCD

・•・NCDC=ZAOC=90。

在ACDC中，CD=[CC2-Of=[G-y=班，

・•・eCDF周长的最小值为CO十/C+CD=CO+OC=3+3百，

故答案为：3+3班.

【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定,

勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键.

21.在求1+2+3+……+100的值时，发现：1+100=101,2+99=101…，从而得到

1+2+3+，+100=101x50=5050.按此方法可解决下面问题.图（1）有1个三角形，记作4=1；

分别连接这个三角形三边中点得到图（2）,有5个三角形，记作。2=5;再分别连接图（2）中间的小三

角形三边中点得到图（3）,有9个三角形，记作/=9；按此方法继续下去，则4+生+4++4

【解析】

【分析】根据题意得出。〃=1+4（〃-1）二4〃-3,进而即可求解.

【详解】解：依题意，q=1,42=5,〃3=9「一，q=1+4（〃-1）=4〃-3,

1+4〃-3/_\_2

工+a==

4+4+03+n------------n=\2n-\)n=2n—n,

故答案为：2n2—n-

【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键.

22.已知等腰JRC,ZA=120°,AB=2,现将以点3为旋转中心旋转45。，得到△43C',

延长CA'交直线BC于点、D.则AD的长度为

【答案】4+2百或4-2百

【解析】

【分析】根据题意，先求得BC=2百，当"5C以点B为旋转中心逆时针旋转45。，过点B作

8E，45交4。于点上，当一A3C以点8为旋转中心顺时针旋转45。，过点。作_L8C交BC'于

点尸，分别画出图形，根据勾股定理以及旋转的性质即可求解.

【详解】解：如图所示，过点A作AA/-LBC于点M,

AB=2.

・•・ZABC=ZACB=30°.

AAM=-AB=ltBM=CM=dAB?-AM2=瓜

：•BC=2g，

如图所示，当4ABe以点B为旋转中心逆时针旋转45。，过点B作8E_LAB交AO于点E,

•：ZBAC=\20°f

・•・/"'8=60。，ZA'E8=30°,

在RLAB石中，A'E=2A6=4，BE=JA'6一AB2=2G，

•・•等腰^4BC,ZBAC=120°,AB=2.

・•・ZABC=ZACB=30°，

•:“BC以点B为旋转中心逆时针旋转45。，

r.ZABAf=45°,

・•・ZDBE=180°-90°-45°-30°=15°,ZABD=180°-45°-30°=105°

在▲中,ZD=180。—ZDAB—ZA3。=180。—60。—105°=15°,

:・ZD=ZEBD,

:.EB=ED=Z£,

・•・A，D=A，E+DE=4+26，

如图所示，当乙钻。以点8为旋转中心顺时针旋转45。，过点。作_L30交BC于点尸,

A

一

C，

在△8FD中，NBDF=NCBC'=45。,

/.DF=BF

在RL.OC户中，NC=30。

3

・•・BC=BF+y/3BF=2y/3

:.DF=BF=3-6

:.DC=2DF=6-2y/3

・•・AD=CO-A。=6-26-2=4-，

综上所述，4。的长度为4—或4+2、/5，

故答案为：4-26或4+26.

【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，分

类讨论是解题的关键.

三、解答题

23.已知：点尸是O。外一点.

（1）尺规作图：如图，过点P作出0。的两条切线PE，PF，切点分别为点E、点尸.（保留作图痕

迹，不要求写作法和证明）

（2）在（1）的条件下，若点。在。0上（点D不与E，尸两点重合），且NEP尸=30°.求NEZ）厂的

度数.

【答案】（1）见解析（2）N瓦）产=75。或105。

【解析】

【分析】（1）①连接PO,分别以点尸，。为圆心，大于,尸。的长为半径画圆，两圆交于点M,N两点，

2

作直线MN交OP于点A,②以点A为圆心，。以为半径画圆，与OO交于瓦尸两点，作直线尸及尸尸,

（2）根据切线的性质得出NPEO=NPR?=90。，根据四边形内角和得出/EOF=150。，进而根据圆周

角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解.

【小问1详解】

①连接尸0,分别以点P,o为圆心，大于1P。的长为半径画弧，两弧交于点M,N两点，作直线MN交

2

。尸于点A，

②以点A为圆心，Q4为半径画圆，与。。交于E,尸两点，作直线PE,尸产，

则直线产巳户户’即为所求；

【小问2详解】

如图所示，点。在0。上（点。不与E，尸两点重合），且NEP尸=30。，

•・•尸E,尸产是OO的切线，

:./PEO=/PFO=90。,

:.AEOF=360°-90°-90°-30°=150°,

当点。在优弧即上时，NEDF=L/EOF=75。,

2

当点。在劣弧"上时，ZEDF=180°-75o=105°,

・•・/£/*=75。或105。.

【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，圆周角定

理，熟练掌握以上知识是解题的关键.

24.如图，直线和“为河的两岸，且MN〃EF,为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸EE

的8点测得NC8E=30。，从4点沿河岸EE的方向走40米到达。点，测得NCDE=45。.

EPDBF

（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）

（2）若从。点继续沿OE的方向走（12百+12）米到达尸点.求tanNC尸石的值.

【答案】（1）河两岸之间的距离是20百+20米

（2）tanZCP£：=-

2

【解析】

【分析】（1）过点。作。“于点M，设CM=。米，在RtAMCB中，MB=&i，在

RtZXMCD中，MD=MC=a,根据瓦＞=40,建立方程，解方程即可求解;

（2）根据题意求得的长，进而根据正切的定义，即可求解.

【小问1详解】

解：如图所示，

过点C作CM_LE尸于点M,设CM=〃米,

■:NCBE=30。

・•・tanNCBM=—=tan30°=—»

PB3

:,MB=6a，

CM

在KtAMCTJ中，tan4CDM=----=tan450=1，

MD

:・MD=MC=a

:.BD=MB-MD=6a-a=40

解得：a=208+20

答：河两岸之间的距离是20石+20米；

【小问2详解】

解：如图所示，

MCN

依题意，尸3=30+£>尸=40+（12百+12）=52+12百，

AMP=MB-PZ?=（20>/3+20）>/3-（52+12>/3）=8+873,

2

在RtZ\CMP中，tanZCPM=—=

MP°8+^8t36°=2-,

・•・tanZCPE=-.

2

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键.

25.某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、3两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）.A型

车每辆租金500元，8型车每辆租金600元.若5辆A型和2辆8型车坐满后共载客310人；3辆A型和

4辆B型车坐满后共载客340人.

（2）若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并将全校420人载至目的

地.该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？

（3）在这次活动中，学校除租用A、8两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车.已知从学校到夏令

营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达

目的地.下图是两车离开学校的路程$（千米）与甲车行驶的时间，（小时）之间的函数图象.根据图象

信息，求甲乙两车第一次相遇后，，为何值时两车相距25千米.

【答案】（1）每辆A型车、8型车坐满后各载客40人、55人

（2）共有4种租车方案，租8辆A型车，2辆B型车最省钱

（3）在甲乙两车第一次相遇后，当，=3小时或”小时时，两车相距25千米

3

【解析】

【分析】（1）设每辆A型车、〃型车坐满后各载客人人、）'人，由题意列出一元一次方程组，解方程组即

可求解；

（2）设租用A型车加辆，则租用5型车（10-团）辆，由题意列出一元一次不等式组，解不等式组，求整

数解即可得出加的值，设总租金为卬元，根据一次函数的性质即可求解；

（3）设s『k"b,由题意不知，甲车的函数图像经过（4,300）；乙车的函数图像经过

（0.5,0）,（3.5,300）两点.求出函数解析式，进而即可求解.

【小问1详解】

解：设每辆A型车、B型车坐满后各载客x人、人，由题意得

5x+2y=310

3x+4y=340

x=40

解得《

y=55

答：每辆A型车、8型车坐满后各载客40人、55人・

【小问2详解】

设租用A型车加辆，则租用B型车（10—加）辆，由题意得

500w+600(10-m)<5500

解得：5</w<8-

40/77+55