高中数学：归纳不等式的求解方法

高中数学：归纳不等式的求解方法

不等式基本知识

基本性质

①a>bob<a（对称性）；

②a>b,6>C,=>Q>C（传递性）；

③a>b<=^a+ob+c；

④a>b,c>0<^>aobc；a>b,c<0<^>ac<be.

2

运算性质

1a>b,c>dna+c>b+d（加法法则）；

②a>b>0^c>d>Gnac>bd（乘法法则）；

③a>b>0,〃wN,n/（乘方法则）；

④a>b>0,>VS（开方法则）.

3

常用不等式

2

®a+b,a+b、2、,

NL

②4ml皿取等号条件：一正、二定、三相等;

③|x+-|>2；

X

小*>Ab+m

4右力>0,m>0A,—<----；

aa+m

⑤x,+x2+xy+--+xn>n\lxxx2......xn(x>0).

不等式的证明方法

常用的方法有：比较法、分析法、综合法、归纳法、反证

法、类比法、放缩法、换元法、判别式法、导数法、几何

法、构造函数、数轴穿针法等。

比较法

【例1】若。>0,Z>>0,^iiE—+—>a+b.

ab

证明：—+^--(a+b)

ab

(a+b)(a2-ab+b")

—(a+b)

ab

(Q+b)("b『

=------------->0

ab

22

ab於

ba

2

分析法

【例2】已知。，b,X,y都是正实数，且1■>?，XX,求证

ab

上工.

a+xb+y

解：•"b,X,y都是正实数，，要证上->4,只

a+xb+y•<

要证x(b+y)>Ma+x)，即证云>犯，也就是平>?，即

abab

而由叱1x>y,知成立，原式得证.

ababab

3

综合法

【例3】设。，b,c均为正数I且。+b+c=l求证：

j3〃+l+j36+l+V^Ti43VL

证明:TQ,b,c均为正数,a+b+c-\t

0<er<bO</><hO<c<1,

万7京10史士&•回K史士

22

V2,反口<言以上三式相加得

物+VSTT+V5Z7TK6,

・・・J3〃+1+J3b+1+J3c+143、江,

【例4】设加eN.,〃eN,且加求证：（1+—广＜（1+-）"

mn

证明：

(1H----)刖=(1H----)(1H----),•,(1H----),1*1*1,*•1

mmmtn

(1+)w+lx(/7-w)।

<[—退-------------------r=a+一)”，

nn

••・1+L1,

m

，上述不等式中不能取等号，（i+L『＜（i+l）“成立,

mn

式中乘了〃-加个1构成不等式.

数学归纳法

【例5】i§x>-1,且求证(1+x)"21+〃x.

证明：⑴当〃=1时，(1+劝=l+lu,不等式成立.

⑵假设当〃=*,人M，时,不等式成立，即(1+X)，1+后,

那么当〃=八1时，门>-1，.・.1+%>0,收20,.•.由归纳假

设可得(1+X)“'>(1+Ax)(l+x)

=\+(k+\)x+kx1Nl+(*+l)x

.•.(i+xr>i+u+i)x,即〃=%+i时，不等式也成立.

综合以上所述，对于任意X>T,且〃eM，(1+迅之1+〃X都成

立.

5

反证法

【例6】已知。，从c都是小于1的正数，求证：

(l-Q)/b(l-b)C,(l-C)Q中至少有一个不大于!.

4

证明：假设三个式子都大于1・・・0,4C都是小于1的

4

正数，,yl(\-b)c>|,

._______________3

从而J(1-a)b+J(1-^)c+J(1-c)o>-,

但是&"a)b+J(1-b)c+J(l-c)o

[1三)+方+0二1+(1二等=1与上式矛盾,故假设

2222

不成立，原命题成立.

6

类比法

【例7】已知函数/（X）二五+加:+。（4>0）的图像与X轴有两

个不同的交点，若〃c）=0,且0<x<c时/⑴>0,当

c>i,/〉o时.求证：旦+-L+£>O.

t+2t+]t

证明：直接证明很困难，题中说到函数/（X）的性质，那

么就要构造成类似/（X）的形式，即类比函数，

要证—+—+->0,即证a-+b-+c>0,

/+2/+1tt+2/+1

t+2)+〔

—^―+b•—^―+c>a-(―^―):+b•(―^―)+c=/(——).

t+2t+\/+1f+1t+V

<1<c/(」—)>o,/.—^―+2-+£>o

而°<而命题得

t+\t+2t+\t

证.

7

放缩法

常用放缩公式:

1+1_y[~n<--；=<Vw-J〃—1；

②---------7<-<----7----/

nn+\nn-\n

台Q+加ac八、.

3------->-(6>a>0n,w>0),

b+mb

④〃!〉2-(〃23)；

5〃个正数q,%,他…4，〃22,

有q+%+4+-+。”2〃，《生4・・・4,

当且仅当q=4=%=…=应时等号成立；

⑥|°|一|6国。士+；

01n(x+1)<x(x=0,ln(x+1)=x);

⑧二项式定理展开式(。+by^c„°+c：+c：+c：+…+c;.

9(1+x)>l+3x(x>0).

【例8】已知正项数列｛叫满足…且%F

n

(1)求证：a<---；(2)诰<L

”1+(〃-1)。1k+1

11।

证明：⑴Wr..-->—+1,

11r11+("1)4

/,—2—-+1>

a

氏aHi凡2

z.a<-------.

n\+(n-\)a

小aaa1

(2)a<------------=-----------<—二一

n1+{w-l)67na+\-anan

n

.一1-

*=lk+\1x22x3«(/?+!)

111111

223n〃+l

命题得证.

换元法

常用换元方法：

1若可设x=acosa,y=asina,aG[0,2^)；

(2:§—+—=1,可设x=〃cosa,丁=bsina,aE[012^)；

Q?b-

3对于Jl-父,可设x=cosa,(ct£[0,〃]),

或x=sina,(ae[——，一])；

22

4对于Jl+x?।可设x=tana或x=cola；

⑤对于V?=L可设、=5©<：1或犬=^5(：仪；

⑥若犬+"«。,可设x=rcosa,y=s\na9Q<\r\<a.

【例9】已知beR,求证：\3a2-Sab-3b21<20.

证明：设。二rcosa,b=rs\na(aeR)t其中

，原式可转化为/|3cos2a-8sinacosa-3sin'a|

=r|3cos2«-4sin2«|

=5/|cos(2a+“)|,

-/0<|cos(2cr+(p)|<1,原式工5r2<20••原不等式成立.

9

判别式法

【例10】求证：3

2x2+l2

证明：设y=之手，则(l—y)f+x+l—>=0,定义

x+1

域为R,

当>=］时，工=0是定义域中的一个值，//=1是值域中的一

个值；

|3

当"1时，由A=1—4(1—/)20,得广

综上所述:V二驾成立.

2r+12

推论：判别式法证明对形如

。工经二警^岫，。，H0,XGR)具有一般性.

+&X+C,

aLx/1

10

导数法(单调性)

【例11】已知各项均为正数的数列"｝的前〃项和S“满足

5,>I,且6S。=(。.+1)(。“+2),ncN,

(1)求也｝的通项公式；

⑵设数列也,｝满足见(2-1)=1,并记7；为也｝的前〃项和，

求证：37；+1>k)g,(w+3),neN,.

解：(1)q=R=:(q+l)(4+l)",q=l,2,由已知

6

a、=S]>1,・・%—2]

又/二”一S“二%(%+1)(%+2)-(0+1)(。,,+2)],

6

得%-%=3,%=%(舍去)

是公差为3,首项为2的等差数列，故mj通项公式为

aF!=3〃-1.

,13/7

(2)由/⑵-1)=1，解得6=log2(l+-)-log,——,

“见.3〃-1

_,,,LI/3693〃、

T=〃+h+a+・.・+6=log、(-------------),

“123，622583〃-1

37；+1-1。以见+3)=log2[(14-:二]，

253〃-13w+2

人、，363〃u2

令/(〃二(1-------——)--―

253/7-13/7+2

则加+1)=3〃+23/7+3=(3〃+3y

11

构造函数法

【例12】对于函数若存在儿金心使/(天)=七成立，

则称兀为/(X)的不动点，如果函数/(工)二产S，CWNJ有

bx-c

且仅有两个不动点0,2,且

(1)试求函数/(X)的单调区间；

(2)已知各项不为零的数列肛｝满足4s.•/(!)+,求证：

an

1I〃+11

------<In------<—；

(3)设。=-工，7；为数列也｝的前〃项和，求证：

an

7^-l<ln2008<r2M7.

VJ-/7

:

解：(1)令/(x)=-------=x,(1-b)x+cx+a-0t由

bx-c

已知时方程的两根，「,一

0,21b*0,XIX.-=a=0,

，4=0,xl+x2=2=:.c=2b-2>09

b—1

,:b,c>^:.b>L/(-2)二-----<一一，

2b+c2

8>46-2,A0</?<-,

2

:・b=2,c=2,/(x)=-^—,八月=詈3.令人万)>0得

2x-22(x-l)

⑵/（-）=T7T~~?

a2a（1一〃）

4s./（—）=1A2S=a-八2s=a-a:,

an

两式做差得%-生=-1,

，数列mj是以-i为公差，-1为首项的等差数歹（

•二凡二一〃，

1

，要证原式，即证」7cm匕<!,

n+\nn

—x

令x=-,函数g(x)=ln(x+l)—x,gr(x)=:——<o,递减

n1+x

g(x)0m<Ini=0»g(x)<0,/.ln(l+x)<x,ln(^-^)<一，

nn

./7+111]W+l1

同理可证ln(——)>——------<In——<——.

〃〃+1%«见

(3)由⑵得*<ln±Lln四

nn

70027007

200820072006

r(i(r>In陋+In+…+In2=In2008,

200720072006

・',4蝮一1<历2008<T^}1.

12

数轴穿针法

【例13】求解不等式里以上8)g二9)<0

(x+6)(x+7)

解:原不等式等价于(x-4)，(x-8)(x-9)(x+6)(x+7)<0

根分别为-6,-7,489在数轴上标出这些值，考虑到4对应的

为偶次累，所以不穿过,其结果如图

在数轴上方的为大于0的解，下方的为小于0的解，因此不

等式的解为{x|-7<x<-6,或8cx<9}.

含绝对值不等式的解法

分类讨论

Ml］求，-3|>2x的解集.

解：①当£-320时，有x2△或xV-后此时原式即

为广一2工一3=(工一3)(工+1)>0.解得工>3或1<-1,与x2后

或xW-后,求交集得解x>3或xW-VL

②当£-3<0时，有-gcxcg,原式即为

X3+2x-3=(x-l)(x+3)<0,解得—3<x<1,与一百<工<、Q

求交集得-V5<J<1.

综上①(Z所述，原不等式解集为{x|x<l或X>3}.

2

两边平方法(承接例1)

①当X20时，原不等式可化为

(x2-3『>4/=>/-10『+9>0分解因式得

(X-3)(X+3)(X-I)(X4-I)>0,所以x>3或x<-3或一1<x<1,

故x〉3或04x<I.

②当x<0时，原不等式恒成立.

综合①②可得解集为{#<1或X>3}.

3

图像法

令乂二|三-3|,必=2x,分别在坐标轴上画出两者的图像,解

方程|/-3|=2%可得％=1,范=3从图像可得不等式的解为

{x|x<l^x>3},y=\x2-3.

等价转化法（承接例1）

原不等式等价于父-3>2x或f-3<-2工，.,.x>3Sx<-l^

-3<x<l,.・.不等式解集为口口<1或x>3}.

5

运用线性规划求解

【例2】/(x)=Jm+2)R+6x+4+2m，-wR)的定义域为R,

则％+力的取值范围？

%+2〃+4之0

AIJa+2>Q

解：由已知ko=<6-2。-4«0

La2-2

以俗，力为横纵坐标轴，画出其可行域，令z=3o+6,可知

直线b=-3a+z经过(-2,0)时有最小值一6,:.3a+b>-6.

6

运用绝对值的几何意义

【例3】对任意实数攵，不等式恒成立,求

人的取值范围.

解：|x+l|-|x-2|的几何意义是x到—1的距离减去到2

的距离，由数轴可知，|x+lHx-2|2-3,.3.

x-12

含参一元二次不等式例解

含有参数的不等式应用的比较多的是分类讨论思想，①其思

路是一般先将式子因式分解或分解因式或分母有理化，然后

再结合参数对称轴、判别式、根的正负进行讨论；②当无法

进行因式分解的时候多涉及对称轴或者利用导数求解，下面

结合例题解析。

二次项不含参数

【例1】解关于X的不等式：X、式T）x-/w〉O.

解:原不等式可化为（X+M（X-1）>0,这里有两个根：

-mA,此时需要讨论两根的大小.

①当一加>1,即/<一1时，解为X〉一〃7,X<1；

②当一加<1,即加>一1时,解为x>Lx<-m；

3-/w=1,即加=一1时，解为xwl；

综合①@@知加<一1时，｛x1x〉-阴或X<1｝；

加=一1时，｛X|XH1｝；

川〉T时，｛犬|*>1或、<一掰｝.

【例2】解关于x的不等式：/+（。-1h+。>0

解：此时显然无法因式分解，因此通过判别式来解，

A二（Q-1），-4Q=Q]-6Q+1

①当A>0,即。>2&+3或Q<3-2加时，不等式有两个根

_（4_1）+J4-6a+1-伍-1）-J4—6〃+1解为

X,=2，玉—2，

或；

②当A<0,即3-2&<4<3+2V5,此时不等式恒成立；

③当A=0,即a=3-2/或"3+2氏时,解为xwVI-1,

或X¥-（亚+1）.

3-2&<"3+2血时{Mx6}；

〃=3-2、历时，{x|xN&-l}；Q=3+2行时，

{x|x*-(V2+l)}.

【例3】解关于「的不等式：£+奴+1>0(x20)

解：①x=0时，不等式成立，此时QCR；

②x>0时,原不等式可化为〃>-(》+!),工+122,当工=,二1

XXX

时成立］/.xH—S-2,u>—2.

X

综合①②得

2

二次项含参数

【例4】解关于工的不等式：〃+2x+1>0

解：4=0时解为｛幻工>-3；

时，A=4-4〃；

①A〉0即"1时，解为｛小>上三或x<上叵｝；

aa

②A<0,即。>I时，不等式恒成立；

3A=0,即4=1时｛x|x工-1｝;

综上所述4=0时，解为｛X|X>T；

时，解为｛中>土叵或x<上叵｝;”1时

aa

｛X|XH-1｝.

【例5】解关于X的不等式：加-(。+1)工+1>0.

解：4=0时1X<1；

4Ho时,

(1)。〉0时，原不等式可化为(以-l)(x-1)>0,此时有两

根Li；

a

①时，解为｛x|x>L或xcl｝；

aa

(2)。<0时，原不等式可化为(-。工+1)('-1)<0,解为

｛x|—<x<1｝.

a

综上所述：。<0时|｛x|-<x<l｝；

a

a=0时，｛x|x<l｝；

0<4<1时，或x<l｝；4=1时｛x|xwl｝；

a

时，｛x|x〉l,或X<1｝.

a

【例6】解关于x的不等式：江一2〃+1>0

解：。=0时，不等式恒成立；

Q〉0时，A=4"-4。，

1A>0,即。>1时，x>l+da，-a或xC17a'-a；

2A=0,即4=1时，x*1/

@A<0,即0<Q<1时，不等式恒成立；

”0时，不等式化为(-4*+2依-1<0,A=4a2-4<7>0.

此时解为］—\la'-a<x<1+y/a1-a-

综上所述：0<a<m,｛x\xeR｝;

时，｛x|x〉l+J。、一4或X<1--4｝；

不等式恒成立问题

恒成立问题的基本类型

类型1：设/(x)=ax2+bx+c(a工0),(l)/(x)>0在xGR上巾

成立OQ>0且Ac0；

(2)/(x)<0在xeR上恒成立<=>o<0且A<0.

类型2：设灰+C(QH()),(1)当4〉0时,

/(%)>0在》6［。，夕］上恒成立

bb

——〈(7a<-—<pn>P

Q2a或la或4-Ta

/(«)>0A<0/(A)>o

/(«)<0

/(x)<04xe［a,夕］上恒成立。,

/W<0

/(«)>)

⑵当"0时，/(x)>0fcc［a,夕］上恒成立<=>

/(⑼>1

/(1)<0在、£［外刈上恒成立

-------------------------PP----->0

<=>s2a或彳2a或《2a

/(«)>0IA<0[/(£)<O

类型3：

对一切恒成立<=>

f(x)>axe//(x)nin>a

对一切恒成立<=>

f(x)<axe/f(x)nwx>a.

类型4：/(x)>g(x)对一切xe/恒成立Q/(*)的图像在g(x

的图像的上方或ZjX)>ga(X).

恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问

题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合

等解题方法求解。

2

利用判别式解

【例1】已知在xeK,恒有犬-加+1>0,求4的取值范围.

解:原式等价于A=a2-4<0,-2<a<2.

【例2】xeR,恒有d-x+l>0,求4的取值范围.

解：原不等式等价于Q>0,A=I-4Q<0,.・.Q>L

4

或解：①x=0时，不等式成立；

②xro时，不等式化为。>=1,令人(衿=三1,