数学导学案：任意角

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.1。1任意角1.了解任意角的概念，能区分各类角的概念。2.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角。3。理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题.1。角(1）定义：平面内一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所成的图形称为角，所旋转射线的端点叫做角的，开始位置的射线叫做角的，终止位置的射线叫做角的。如图所示。（2)分类:如下表。任意角定义正角按时针方向旋转形成的角负角按时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何形成的角（3)记法：用一个希腊字母表示，如α，β，γ，…；也可用3个大写的英文字母表示（字母前面要写“∠”）,其中中间字母表示角的顶点，如∠AOB，∠DEF，….（1)确定任意角的大小要明确其旋转方向和旋转量；(2）零角的始边和终边重合，但始边和终边重合的角不一定是零角,如周角等；（3)角的范围由0°~360°推广到任意角后，角的加减运算类似于实数的加减运算;(4)画图表示角时,应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负。【做一做1】将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为（)A.120° B。－120° C.60° D.240°2.象限角使角的顶点与重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的（除原点外）在第几象限,就说这个角是第几,即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内,不与重合。如果角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何象限。【做一做2】－30°是（)A.第一象限角 B。第二象限角 C。第三象限角 D。第四象限角3.终边相同的角(1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合。(2）终边相同角的集合:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝｛β｜β＝，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。理解集合S＝｛β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝要注意以下几点：（1)式中角α为任意角;（2）k∈Z这一条件必不可少；(3)k·360°与α之间是“＋”，如k·360°－30°应看成k·360°＋（－30°)，即与－30°角终边相同；（4)当α与β的终边相同时，α－β＝k·360°（k∈Z）。反之亦然.【做一做3－1】与95°角终边相同的角是（)A。－5° B。85° C。395° D.－265°【做一做3－2】与210°角的终边相同的角连同210°角在内组成的角的集合是________。答案：1．(1)端点顶点始边终边(2）逆顺旋转【做一做1】A2．原点x终边象限角坐标轴【做一做2】D3．（2）α＋k·360°【做一做3－1】D【做一做3－2】{β｜β＝210°＋k·360°，k∈Z｝1。象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示剖析：（1）象限角：象限角集合表示第一象限角｛α｜k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z｝第二象限角｛α|k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°,k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°,k∈Z}第四象限角{α｜k·360°＋270°＜α＜k·360°＋360°,k∈Z｝（2)轴线角:角的终边的位置集合表示终边落在x轴的非负半轴上{α｜α＝k·360°，k∈Z｝终边落在x轴的非正半轴上｛α｜α＝k·360°＋180°，k∈Z}终边落在y轴的非负半轴上{α｜α＝k·360°＋90°，k∈Z}终边落在y轴的非正半轴上{α｜α＝k·360°＋270°，k∈Z｝终边落在y轴上｛α｜α＝k·180°＋90°，k∈Z}终边落在x轴上{α｜α＝k·180°,k∈Z｝终边落在坐标轴上{α｜α＝k·90°，k∈Z}2.α,β的终边相同,但是α与β不一定相等剖析：若α，β的终边相同，则它们的关系为：将角α终边旋转(逆时针或顺时针）k(k∈Z）周即得β，所以α,β的数量关系为β＝k·360°＋α(k∈Z），即α,β的大小相差360°的整数k倍，所以α与β不一定相等.所有与角α终边相同的角，连同角α在内,可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝，即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和。3。锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角的区别剖析：（1）锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角的范围,如下表所示.角集合表示锐角｛α|0°＜α＜90°}0°～90°的角{α｜0°≤α＜90°｝小于90°的角｛α|α＜90°｝第一象限角{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}（2)锐角、0°~90°的角、小于90°的角、第一象限角的关系用Venn图表示，如图所示.由(1)(2）可知锐角是0°～90°的角，是小于90°的角,是第一象限角；0°~90°的角是小于90°的角，不一定是第一象限角；小于90°的角不一定是第一角限角，第一象限角不一定是小于90°的角、锐角、0°～90°的角.例如390°是第一象限角，但390°不是小于90°的角、锐角或0°~90°的角。题型一在坐标系中画出任意角【例1】在坐标系中画出下列各角:（1)210°；（2）－230°.分析：先确定旋转的方向，再确定旋转量.反思：在坐标系中画出任意角α：(1)当α＞0°时，将x轴的非负半轴绕原点按逆时针方向旋转α；（2)当α＜0°时,将x轴的非负半轴绕原点按顺时针方向旋转|α|；（3)当α＝0°时，将x轴的非负半轴绕原点不作任何旋转.题型二判断象限角【例2】在0°～360°之间，求出一个与下列各角终边相同的角，并判断下列各角是哪个象限的角.(1）908°28′；(2)－734°。反思：判断角α的终边所在位置的步骤是：（1)当0°≤α＜360°时,依据下表来判断.α的范围α终边的位置0°x轴非负半轴0°＜α＜90°第一象限90°y轴非负半轴90°＜α＜180°第二象限180°x轴非正半轴180°＜α＜270°第三象限270°y轴非正半轴270°＜α＜360°第四象限（2)当α＜0°或α≥360°时，将α化为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β＜360°)，转化为判断β终边所在的位置.题型三终边相同的角的表示【例3】若角α的终边在函数y＝－x的图象上，试写出角α的集合.分析：(思路一)函数y＝－x的图象是第二、四象限的平分线，可以先在0°～360°范围内找出满足条件的角,进一步写出满足条件的所有角，并注意化简.(思路二)结合图形，α与135°相差180°的整数倍，由此写出集合.反思：写出终边落在某条过原点的直线上的角的集合有两种方法：一是分别写出每条终边所代表的角的集合，再取并集；二是在其中一条终边上找出一个角,然后再加上180°的整数倍.答案:【例1】解：在坐标系中画出各角如图所示．【例2】解：（1）908°28′＝188°28′＋2×360°，则188°28′即为所求角,因为188°28′是第三象限角，故908°28′也是第三象限角；（2)－734°＝346°－3×360°，则346°即为所求角,因为346°是第四象限角，故－734°也是第四象限角．【例3】解法一：由于y＝－x的图象是第二、四象限的平分线，故在0°～360°范围内所对应的两个角分别为135°及315°，从而角α的集合为S＝{α｜α＝k·360°＋135°或α＝k·360°＋315°，k∈Z｝＝{α｜α＝2k·180°＋135°或α＝（2k＋1）·180°＋135°,R∈Z}，∴S＝｛α|α＝k·180°＋135°,k∈Z}．解法二：如图所示．∵角α的终边在函数y＝－x的图象上，∴角α的集合为S＝{α｜α＝k·180°＋135°，k∈Z}．1．－215°是()A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角2．在－360°~720°之间，与－367°角终边相同的角是.3．若角α的终边在函数y＝x的图象上，则角α组成的集合为S＝________.4．在坐标系中画出下列各角:(1）－180°；（2）1070°。5．已知α＝－1910°.(1）把α写成β＋k·360°（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，指出它是第几象限角；（2)求θ，使θ与α的终边相同,且－720°≤θ＜0°.答案:1．B由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．－7°，353°，713°与－367°角终边相同的角可表示为α＝k·360°－367°,k∈Z。当k＝1，2,3时，α＝－7°，353°,713°，这三个角都是符合条件的角．3．{α｜α＝k·180°＋45°，k∈Z｝4．解：在坐标系中画