数学第二讲参数方程单元测评二

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精单元测评（二）（时间120分钟,满分150分）一、选择题(每小题5分，共60分）1.圆（x—1）2+y2=4上的点可以表示为（)A。（—1+cosθ，sinθ）B。（1+sinθ，cosθ）C.（-1+2cosθ，2sinθ)D。(1+2cosθ，2sinθ）答案：D2.已知直线(t为参数)上的A、B两点对应参数分别为t1、t2，点P分成定比λ，那么点P对应的参数为（)A.B.C。D。答案：C3。与参数方程(t为参数)等价的普通方程为()A.x2+y24=1B。x2+y24=1（0≤x≤1）C。x2+y24=1（0≤y≤2)D。x2+y24=1(0≤x≤1,0≤y≤2)解析:原参数方程中0≤t≤1,∴0≤x≤1,0≤y≤2.答案:D4.曲线的参数方程为（0≤t≤5）,则曲线是（）A。线段B.双曲线的一支C.圆弧D。射线解析：∵0≤t≤5,∴2≤x≤77，—1≤y≤24.消去参数t，得x—3y-5=0.答案:A5。已知a=2+cosθ，b=1+sinθ,θ∈［0，］，则点M（a，b)的集合是（）A。圆周B。半圆周C.四分之一圆周D。线段解析:由θ∈［0，π2],消去参数θ，知选C.答案：C6.直线（t为参数），ab〈0,则直线的倾斜角θ为（）A。arctanB。π+arctanC.—arctanD.π—arctan解析：消去参数t，得y—y0=(x-x0).∴tanθ=(ab<0).∴θ=π+arctan.答案:B7。若曲线（t为参数）上异于原点的不同两点M1、M2所对应的参数分别是t1、t2，则弦M1M2A。t1+t2B.t1—t2C。D。解析：∴弦M1M2所在直线的斜率是k==t1+t2答案：A8。方程（t为参数）的图形是（）A.双曲线左支B。双曲线右支C。双曲线上支D。双曲线下支解析:(t为参数).∵x2—y2=e2t+2+e-2t—(e2t-2+e-2t)=4，且x=et+e-t≥2=2，∴表示双曲线的右支。答案：B9.已知点P（a，b）、Q(c,d），则方程（t为参数）表示的曲线是（)A.直线PQB。线段PQC。除去P点的直线PQD。除去Q点的直线PQ答案:D10。过点(5,—4），倾斜角为π-arctan的直线l的参数方程是()A.（t为参数)B。(t为参数）C.(t为参数）D.(t为参数）解析：直线l的斜率为k=-45,可用消参法验证。答案：B11。若直线（t为参数)与圆（φ为参数)相切，那么直线的倾斜角为（）A.或B。或C.或D。-或-解析：直线的方程可化为y=tanαx,即sinαx—cosαy=0,圆的圆心坐标为（4,0），半径为2。∴=2,即｜sinα|=。∴tanα=±.∴直线y=tanαx的倾斜角为或。答案：A12。P（x，y）是曲线（α为参数）上任意一点,则（x-5）2+(y+4）2的最大值为(）A。36B。6C。26D.25解析：方法一:(x—5）2+（y+4)2=(cosα—3)2+(sinα+4)2=cos2α—6cosα+9+sin2α+8sinα+16=26+8sinα-6cosα=26+10sin（α-φ)(其中cosφ=45，sinφ=35）。其最大值为36。方法二：P（x,y）是圆上任意一点，而表示点P与点（5，—4）的距离,如图.其最大值为1+=6.∴（x—5）2+（y+4)2的最大值是36。答案：A二、填空题(每小题4分，共16分）13。二次曲线（θ为参数）的左焦点是___________.解析：消去参数θ得=1,∴左焦点为（-4,0)。答案：（—4，0)14。曲线与两坐标轴的交点坐标分别为___________.解析：令x=0，得t2=1，∴y=-8。令y=0，得t2=9，∴x=9-=。答案：(，0）、(0,-8）15.点P（x，y）是曲线C：（θ为参数，0≤θ〈2π）上任意一点,则yx的取值范围是___________.解析:圆C的圆心C坐标为（—2，0），半径为1，yx表示P点与原点连线的斜率，如图。∵｜P1O|=｜P2O|=,∴tan∠P1Ox=—tan∠P2OC=。∴yx的取值范围是［—，].答案：[-，]16.直线l1的参数方程为直线l2的极坐标方程为ρcos(θ—）=2,则l1与l2的夹角为___________。解析：直线l1的参数方程可化为∴其倾斜角为。直线l2的倾斜角为。∴l1与l2的夹角为|-|=.答案：三、解答题（共74分）17.（本小题满分12分）化下列参数方程为普通方程:（1）（t∈R且t≠-1)；（2）〔θ≠kπ,kπ+(k∈Z）〕.解：(1）由x=得t=，代入y=,整理得x+y=1（x≠—1)。(2)由x=tanθ+cotθ=，∴sinθcosθ=1x,又由y==,∴sinθ+cosθ=yx，由(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,得。∴x2+2x-y2=0，|x|≥2。18。（本小题满分12分)如图，设P为等轴双曲线x2-y2=1上的一点，F1、F2是两个焦点,证明：|PF1｜·｜PF2｜=|OP｜2。证明：设P（secφ,tanφ）,∵F1（—，0)，F2（,0）,∴｜PF1｜==|PF2|==|PF1|·|PF2｜==2sec2φ-1.∵|OP|2=sec2φ+tan2φ=2sec2φ—1，∴｜PF1|·|PF2｜=｜OP｜2.19.（本小题满分12分)如图,已知椭圆+y2=1上任一点M（除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2的连线分别交x轴于P、Q两点，求证:｜OP｜·｜OQ｜为定值.证明：设M(2cosφ,sinφ），φ为参数，B1（0，-1）,B2（0，1）.则MB1的方程为y+1=sx，令y=0,则x=,即｜OP|=｜|.MB2的方程为y—1=x，∴|OQ｜=｜｜.∴｜OP｜·｜OQ|=|｜×||=4,即｜OP|·｜OQ|=4为定值。20。（本小题满分12分)过点A(-2，4）引倾斜角为135°的直线l交抛物线y2=2Px（P〉0)于P1、P2两点，若｜AP1｜、|P1P2|、|AP2｜成等比数列，求P的值。解:设l的参数方程为，代入抛物线方程整理得t2+（8+2p)t+32+8p=0。∴｜AP1|·|AP2|=|t1·t2|=32+8p.又|P1P2｜2=（t1+t2）2-4t1t2=8p2+32p，∴8p2+32p=32+8p,即p2+3p-4=0.∴p=1.21。(本小题满分12分）椭圆=1(a>b〉0）与x轴正向交于A，若这个椭圆上总存在点P,使OP⊥AP（O为原点)，求椭圆离心率的取值范围.解：设P（acosα，bsinα),由OP⊥AP，得=—1，即（a2—b2)cos2α—a2cosα+b2=0。∴Δ=a4—4b2（a2—b2)=(b2-c2）2≥0。∴关于cosα的方程有解，cosα=∴cosα=或cosα=1.由｜cosα|≤1，得a2—c2c2∴a2≤2c2。∴≥。∴≤e<1.22。(本小题满分14分）经过点A(-3，-），倾斜角为α的直线l与圆x2+y2=25相交于B、C两点。（1)求弦BC的长；（2）当A恰为BC的中点时,求直线BC的方程;（3）当|BC|=8时，求直线BC的方程；（4）当α变化时,求动弦BC的中点M的轨迹方程.解：取AP=t为参数（P为l上的动点），则l的参数方程为代入x2+y2=25,整理，得t2-3（2cosα+sinα）t-=0。∵Δ=9(2cosα+sinα）2+55〉0恒成立，∴方程必有两相异实根t1,t2,且t1+t2=3(2cosα+sinα),t1·t2=—。（1)|BC|=|t1-t2|=（2)∵A为BC中点,∴t1+t2=0，即2cosα+sinα=0。∴tanα=—2。故直线BC的方程为y+=—2（x+3