第7讲函数填空压轴题(原卷版+解析)VIP

25/25第7讲函数填空压轴题1．（2021·浙江省宁海中学高三月考）已知，，若有两零点、，且，则的取值范围是___________．2．（2021·江苏省滨海中学高三月考）对任意的，不等式恒成立，则的最小值为______．3．（2021·湖北高三月考）已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是___________．4．（2021·天津南开区·南开中学高三月考）已知．设函数若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为________．5．（2021·北京西城区·高三一模）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）÷（水库总蓄水量）×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：①；②；③；④．则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________．6．（2021·全国天一大联考（理））已知函数的定义域为，其导函数为，且满足，，若，且．给出以下不等式：①；②；③；④．其中正确的有___________．(填写所有正确的不等式的序号)7．（2021·浙江宁波市·高三月考）已知，，若对任意都成立，则的取值范围是______．8．（2021·超级全能生联考（文））已知是定义在上的偶函数，当时，，设，若函数，则在区间上的零点个数为___________．9．（2021·浙江温州市·温州中学高三开学考试）已知函数，若对任意，存在、使得，则的最大值为__________．10．（2021·江西宜春市·高三期末（理））已知函数存在个零点，则实数的取值范围是__________．11．（2021·北京朝阳区期末）设函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质，给出下列四个结论：①函数不具有性质；②函数具有性质；③若函数，具有性质，则；④若函数具有性质，则．其中，正确结论的序号是________．12．（2021·山西八校联考（理））已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为________．13．（2021·郑州市·河南省实验中学高三月考（文））已知函数（其中为自然对数的底数），若关于的方程有4个实根，则实数的取值范围________．14．（2021·浙江衢州市·高三学业考试）若函数有四个不同的零点，则的取值范围是_________15．（2021·江苏南通市·高三期末）已知函数，若关于x的方程有6个不同的根，则实数k的取值范围是_________．（用集合或区间表示）16．（2021·江西高三其他模拟（理））已知直线分别与函数和的图象交于点，现给出下述结论：①；②；③；④．则其中正确的结论序号是___________．17．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三期中（理））已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若函数有六个零点，分别记为，则的取值范围是______________．18．（2021·邵东市第一中学高三月考）定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，，，当时，的值域为，记集合中元素的个数为，则的值为______．19．（2021·河南郑州市·高三月考（理））已知函数，若关于的方程有9个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．20．（2021·上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知函数定义在上的偶函数，在是增函数，且恒成立，则不等式的解集为___________．21．（2021·海伦市第一中学高三月考）已知函数定义在上，，满足，且数列，，若，，则______．22．（2021·广东佛山市·高三月考）已知，若方程有2个不同的实根，则实数m的取值范围是_______．23．（2021·浙江高三专题练习）若（且）恒成立，则实数的取值范围为________．24．（2021·上海市洋泾中学高三期中）已知在上有且仅有个零点，则的取值范围为________．25．（2021·安徽六安市·六安一中高三月考（理））已知与的图象有且只有两个不同的公共点，其中为自然对数的底数，则的取值范围是_______．26．（2021·安徽省涡阳第一中学高三月考（文））已知函数，若存在实数使得的解集恰为，则的取值范围是_____．27．（2021·甘肃省永昌县第一高级中学高三月考（理））已知函数，则下列命题：①的最小值是；②是偶函数；③函数有个零点；④函数的单调递增区间是，其中正确命题的序号是______．28．（2021·四川成都市·（文））对于定义在区间上的函数，若满足对，且时都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”且，，又当，恒成立，有下列命题①②③，④其中正确的所有命题的序号为______．29．（2021·广东高三月考）已知函数有三个互不相同的零点，，，则a的取值范围是______；的取值范围是______．30．（2021·河南新乡市·高三月考（理））函数的零点个数为__________．31．（2021·陕西省宝鸡市长岭中学高三期中（理））已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是________．32．（2021·广西师范大学附属中学高三月考）设m≠-1，函数则使得成立的实数m的个数为__________．33．（2021·江苏盐城市·盐城中学高三月考）已知函数则根为_____________；若函数有四个零点，则实数的取值范围是___________．34．（2021·广东高三其他模拟）对于正整数n，设是关于x的方程的实数根．记，其中表示不超过x的最大整数，则____________；设数列的前n项和为则___．35．（2021·江苏南通市·海门市第一中学高三期末）函数是单调函数．①的取值范围是_____；②若的值域是，且方程没有实根，则的取值范围是_____．36．（2021·山东聊城市·高三期中）设，若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为________；的最小值为________．37．（2021·湖南长沙市·长沙一中高三月考）已知，若存在实数，，，满足，且，则的取值范围为______；的最大值为______．38．（2021·广东东莞市·高三月考）关于的方程的实根个数记为．若，则=_________；若，存在使得成立，则的取值范围是_________．39．（2021·江苏镇江市·高三月考）已知二次函数(，，均为正数)过点，值域为，则的最大值为______；实数满足，则取值范围为_______．第7讲函数填空压轴题1．（2021·浙江省宁海中学高三月考）已知，，若有两零点、，且，则的取值范围是___________．【答案】【分析】由可得出，令，可知函数与函数图象的两个交点的横坐标、满足，对实数的取值进行分类讨论数形结合可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围，即为所求．【解析】由可得，等式两边同除以，可得．令，可得，即，设，①当时，作出函数与函数的图象如下图所示，若使得两个函数的图象有两个交点，则，解得，且，由，解得，由，解得，，不合乎题意；②当时，作出函数与函数的图象如下图所示，，此时两个函数图象没有交点，不合乎题意；③当时，则，两个函数图象没有交点，不合乎题意；④当时，作出函数与函数的图象如下图所示，此时，两个函数的图象有两个交点，且，（i）若，即时，由，解得，由，解得，，合乎题意；（ii）若时，则，则，不合乎题意；（iii）当，即时，由，可得，由，可得，此时，不合乎题意．综上所述，的取值范围是．故答案为：．【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．2．（2021·江苏省滨海中学高三月考）对任意的，不等式恒成立，则的最小值为______．【答案】【分析】根据不等式恒成立，构造，有，利用二阶导数研究单调性，再讨论、时的单调性，进而确定在上的最小值及对应m、n的关系式，将与所得关系式转化为直线与曲线相切的问题，求的最小值即可．【解析】令，则，即，∴单调递增，∴当时，，即在上递减，而当时，，故不满足；当时，若得，即，∴时，，即递减；当时，，即递增；若令，即，则：①当，即，恒成立；∴情况下最小，即直线与曲线相切，而，∴时，，有，，则；当，即，，得，∴情况下最小，即直线与曲线相切，而，∴时，，有，，则；∴综上：，即的最小值为．故答案为：．【点睛】关键点点睛：根据不等式恒成立，利用导数、分类讨论的方法判断单调性，并构造函数结合导数确定目标代数式中参数的关系，由所得条件中代数式的几何含义求最小值3．（2021·湖北高三月考）已知不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是___________．【答案】【分析】设，，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性与最值，根据已知条件列出关于实数的不等式（组），综合可求得实数的取值范围．【解析】设，，其中，则，①当时，对任意的恒成立，此时，函数在上单调递减，当时，，对于函数，该函数的对称轴为直线，函数在上单调递增，当时，，所以，当时，，不符合题意；②当时，令，可得，列表如下：极小值所以，．（i）当时，即当时，，则，不符合题意；（ii）当时，即当时，则，此时，即．对于函数，，所以，当时，，，则对任意的恒成立．综上所述，实数的取值范围是．故答案为：．【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），．4．（2021·天津南开区·南开中学高三月考）已知．设函数若关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为________．【答案】【分析】欲利用单调性求值域，确定将，，分成三类讨论，又根据具体情况，在每一类情况下又细分，讨论出符合恒成立的a的取值范围．【解析】（1）当时，，的值域为，则恒成立，故成立（2）当时，当，单调递减，故此时．当时，，当时，单调递增；当时，单调递减①当时，在上单调递增．此时的值域为，恒成立②当时，在时，取得最小值当时，，则恒成立当时，．此时若即时，，此时不符合题意故，恒成立，（3）当时，时，为单调递增的一次函数，．时在上为增函数，值域为要有意义，则此时，．，故因此，恒成立综上所述，故答案为：【点睛】（1）分段函数问题中参数值影响变形时，往往要分类讨论，需有明确的标准、全面的考虑，注意小分类要求交，大综合要求并．（2）求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求．（3）分段函数的最值的求法：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值．5．（2021·北京西城区·高三一模）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）÷（水库总蓄水量）×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：①；②；③；④．则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________．【答案】②④【分析】需满足四个条件：1．自变量的取值范围为；2．函数值域为的子集；3．该函数在上恒有；4．该函数为上增函数；逐一对照分析求解即可．【解析】①，该函数在时函数值为，超过了范围，不合题意；②为增函数，且且，则，符合题意；③，当时，不合题意④，当时，，故该函数在上单调递增，又设即，易知在上为减函数令，则存在，有当，；当，；故在递增，在递减．，故上即上故④符合题意故答案为：②④【点睛】本题考查学生实际运用数学的能力．需要学生具备一定的数学建模思想，将文字语言描述的要求转化为数学表达式，再用数学方法分析求解．6．（2021·全国天一大联考（理））已知函数的定义域为，其导函数为，且满足，，若，且．给出以下不等式：①；②；③；④．其中正确的有___________．(填写所有正确的不等式的序号)【答案】①②③【分析】根据构造函数，再利用导数工具处理函数不等式问题．【解析】设，则，由此可得单调递减，所以，即，故①正确；因为，，所以，所以单调递减，所以，所以，故②正确；对于③，由①分析可知，欲使，且，即成立，只需满足即可，即证，设，则，则单调递增，所以，故③正确；对于④，假设成立，因为，所以，所以，取，则，所以，矛盾，故④不正确．故答案为：①②③．【点睛】关键点睛：本题的关键是通过构造函数并利用函数的单调分析不等式，根据，构造，是解决本题的关键．7．（2021·浙江宁波市·高三月考）已知，，若对任意都成立，则的取值范围是______．【答案】【分析】不等式化为，令，，可得，分别讨论，，和时，求最值可得出．【解析】不等式两边同时除以得，整理得，令，，则，则，由于对任意都成立，则有对任意恒成立，（1）当时，不成立，不符合题意；（2）当时，则当时，不等式左边取到最小，右边取到最大，满足题意，则，解得，与矛盾，不符合；（3）当时，①当时，则当时，不等式左边取到最小，右边取到最大，满足题意，则，解得，；②当时，有，即，则当时，取得最大值为，则，；③当时，恒成立，满足题意，综上所述，的取值范围是．故答案为：．【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将不等式转化为在恒成立，再讨论的范围即可．8．（2021·超级全能生联考（文））已知是定义在上的偶函数，当时，，设，若函数，则在区间上的零点个数为___________．【答案】【分析】求出函数的最小正周期，作出函数与的图象，分析两个函数在和上的图象的交点个数，由此可得出结论．【解析】函数的最小正周期为．当时，；当时，．要求函数的零点个数，即求函数与的图象的交点个数，，所以，函数与在上的图象无交点．作出函数与的图象如下图所示：当时，由图象可知，对任意的且，函数与在上的图象有两个交点，所以，函数与在上的图象有个交点；当时，由图象可知，函数与在上的图象无交点，对任意的且，函数与在上有且只有两个交点，所以，函数与在上共有个交点．综上所述，在区间上的零点个数为．故答案为：．【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果．9．（2021·浙江温州市·温州中学高三开学考试）已知函数，若对任意，存在、使得，则的最大值为__________．【答案】【分析】分析得出函数的值域为值域的子集，求出函数的值域，利用导数求出函数的值域，可得出关于实数的不等式，由此可得出实数的最大值．【解析】对任意的，，则，，当时，可视为曲线上的点与连线的斜率，，当时，由可得，即对任意，存在，使得，所以，函数的值域为值域的子集，，则，令，则，令，可得．当或时，；当时，．所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．所以，函数的极大值为，极小值为，当时，；当时，．所以，函数的值域为，由已知可得，，整理得，解得．因此，实数的最大值为．【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，，，．（1）若，，有成立，则；（2）若，，有成立，则；（3）若，，有成立，则；（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集．10．（2021·江西宜春市·高三期末（理））已知函数存在个零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【分析】令可得出，令，，利用导数分析函数与的单调性与极值，数形结合可得出与函数的两个交点的横坐标在区间内，进而可求得实数的取值范围．【解析】令，可得，令，，，令，可得，列表如下：极大值所以，函数在处取得最大值，即．当时，．所以，函数的定义域为，，令，由于，解得，列表如下：极大值所以，函数在处取得最大值，即，若使得函数存在个零点，则直线与函数的图象恰有两个交点，设交点的横坐标分别为、，作出函数的图如下图所示：由图象可知，．作出函数与函数在上的图象如下图所示：由图象可知，当时，即当时，直线与函数在上的图象有两个交点，综上所述，实数的取值范围是．故答案为：．【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数和外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为．11．（2021·北京朝阳区期末）设函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质，给出下列四个结论：①函数不具有性质；②函数具有性质；③若函数，具有性质，则；④若函数具有性质，则．其中，正确结论的序号是________．【答案】①③【分析】对每个选项中的具体函数，先求定义域和值域，再结合题中函数性质的定义进行直接判断或特殊值验证说明即可．【解析】依题意，函数的定义域为，若对任意，存在，使得，则称函数具有性质．①函数，定义域是R，当时，显然不存在，使得，故不具备性质，故①正确；②是单调增函数，定义域是R，，当且仅当时等号成立，即值域为．对任意的，，要使得，则需，而不存在，使，故不具备性质，故②错误；③函数在上是单调增函数，定义域是，其值域为．要使得其具有性质，则对任意的，，总存在，，即，即，即，故，即，故．故③正确；④若函数具有性质，定义域是R，使得，一方面函数值不可能为零，也即对任意的恒成立，而，故或，在此条件下，另一方面，的值域是值域的子集．的值域为，的值域为要满足题意，只需，时，即；时，即；故，即，即，即，故．故④错误．故答案为：①③．【点睛】本题的解题关键在于理解题中新定义“函数具有性质”的实质是对任意，其函数值的取值集合包含了其倒数的取值集合，才能存在存在，使得，进而突破难点．12．（2021·山西八校联考（理））已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为________．【答案】【分析】由，求得，．由，求得，，利用同底数幂的除法运算及乘法运算得到．再换元利用函数单调性求得函数值域得解．【解析】，因为，所以，．，又因为，所以，，所以，，所以．令，，则，所以．设，，则，在上单调递增，所以，，故．故答案为：【点睛】本题综合性较强，属于难题．根据已知条件构造出是解题关键．13．（2021·郑州市·河南省实验中学高三月考（文））已知函数（其中为自然对数的底数），若关于的方程有4个实根，则实数的取值范围________．【答案】【分析】化简得，令，，，利用数形结合的方法求解．【解析】由，得，则令，，由，则当时，当时，所以在上单调减，在上单调增，故时，有最小值，如图所示：由图可知，当时，有两个解；当时，有1个解；由，当时有，如图所示：当时，与图象有两个交点，且，此时有4个解；当时，与图象有两个交点，且，，此时有2个解或1个解；当时，与图象只有1个交点，此时有2个解；当时，与图象无交点，此时无解；综上所述，当时，方程有4个实根．故答案为：【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．14．（2021·浙江衢州市·高三学业考试）若函数有四个不同的零点，则的取值范围是_________【答案】【分析】将的零点问题转化为与的交点问题且恒过点，讨论、、时，结合它们的函数图象，及应用导数求直线与曲线相切时a的值，进而判断各情况下交点个数，即可确定的范围．【解析】由题意，当时四个不同的零点，即与的交点有四个，而恒过点，若，则，显然直线与不可能有4个交点，不符合题意；若，作出的函数图象，则直线与的图象不可能有4个交点，不符合题意；若，作出的函数图象，如图所示：当时，，若直线与在上的函数图象相切，切点为，则，解得，即或（舍），∴当时有三个零点，当时有四个零点．综上有：．故答案为：．【点睛】关键点点睛：将零点问题转化为直线与曲线的交点问题，应用数形结合、分类讨论思想判断交点个数，并在时利用导数求直线与曲线相切时的参数值，进而确定符合条件的参数范围．15．（2021·江苏南通市·高三期末）已知函数，若关于x的方程有6个不同的根，则实数k的取值范围是_________．（用集合或区间表示）【答案】【分析】方程有6个不同的根，等价于与的图象有6个交点，作出的图象，数形结合可求得．【解析】关于x的方程有6个不同的根，等价于与的图象有6个交点，因为，所以若，则，则；若，则，则；若，则，则；若，则，则；若，则，则；…作出的图象如图，与图中OA、OB类似，分析O与点（1，2）、（2，3）、（5，8）、（6，9）、（7，10）的连线可知，当时，与y＝kx的图象有6个交点，所以k的取值范围是．故答案为：．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．16．（2021·江西高三其他模拟（理））已知直线分别与函数和的图象交于点，现给出下述结论：①；②；③；④．则其中正确的结论序号是___________．【答案】①②③【分析】对于①，分别作出函数，，的图象，通过图象观察易得结论；利用基本不等式可判断②、④；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断③．【解析】函数与互为反函数，则与的图象关于对称，将与联立，则，由直线分别与函数和的图象交于点，作出函数图像：则的中点坐标为，对于①，由，解得，故①正确；对于②，，因为，即等号不成立，所以，故②正确；对于③，将与联立可得，即，设，且函数为单调递增函数，，，故函数的零点在上，即，由，则，，故③正确；对于④，由，解得，由于，则，故④错误；故答案为：①②③【点睛】关键点点睛：本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，本题的关键点是判断选项③，利用零点存在性定理后可判断，，所有才有不等式放缩，属于偏难题．17．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三期中（理））已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若函数有六个零点，分别记为，则的取值范围是______________．【答案】【分析】根据函数的解析式可知函数再定义域内是基函数，由图象可知若函数有六个零点，，根据二次函数可知，，，即，最后整理可得，结合即可求出取值范围．【解析】解：因为函数为奇函数，根据解析式作出函数在上的图象如图：由图可知，，且，即，所以是，因为，故，即，故，根据对勾函数在上单调减，在上单调增，故而在上单调减，则，故答案为：．【点睛】1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：①利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0．若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．需要注意的是，满足条件的零点可能不惟一；不满足条件时也可能有零点．②数形结合法：通过画函数图象，观察图象在给定区间上是否有交点来判断．2．函数图象应用广泛，是研究函数性质不可或缺的工具．数形结合应以快、准为前提，充分利用“数”的严谨和“形”的直观，互为补充，互相渗透，以开阔解题思路，提升解题效率．18．（2021·邵东市第一中学高三月考）定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如，，，，当时，的值域为，记集合中元素的个数为，则的值为______．【答案】【分析】先根据题意得当时，集合中元素的个数为满足，进而得，再结合裂项相消求和即可得答案．【解析】解：根据题意得：，进而得，所以在各区间中的元素个数为：，所以当时，的值域为，集合中元素的个数为满足：，所以所以，所以．故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据已知条件得当时，，故，进而利用裂项相消求和法求和即可得答案．19．（2021·河南郑州市·高三月考（理））已知函数，若关于的方程有9个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】使用换元的方法并画出函数的图像，然后根据与交点个数有9个进而可知，的范围，然后根据根的分布进行计算即可．【解析】设，则原方程即，设方程的两根为，，不妨令．的图像如图所示，则满足题意时，和有下面两种①且，此时即得；②且，此时，得．综上，．故答案为：【点睛】关键点睛：本题关键在于函数图像以及的情形有两种：①且；②且，细心计算即可．20．（2021·上海市奉贤区曙光中学高三期中）已知函数定义在上的偶函数，在是增函数，且恒成立，则不等式的解集为___________．【答案】【分析】由题意可得出，可知方程与方程同解，可解得，，进而由所求不等式得出，再由，，可得出，即可得出原不等式的解集．【解析】由于函数定义在上的偶函数，在是增函数，由可得，所以，，解方程可得，，令，则，，所以，，是方程的两根，由韦达定理可得，解得，由可得，所以，，因为，，所以，解得．故答案为：．【点睛】对于求值或求解函数不等式的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“”，转化为解不等式(组)的问题，若为偶函数，则．21．（2021·海伦市第一中学高三月考）已知函数定义在上，，满足，且数列，，若，，则______．【答案】【分析】令可得，再令可得，可判断是奇函数，进一步可得，得出为等比数列，则可得出，进而判断和均为公差为6的等差数列，即可讨论奇偶进行计算．【解析】定义在上，满足，令时，可得，令，则，即，所以，即是定义在的奇函数，，又，是首项为1，公比为2的等比数列，，，即，则，两式相减得，和均为公差为6的等差数列，，当n为奇数时，，当n为偶数时，，故答案为：．【点睛】本题考查函数与数列的综合应用，解题的关键是先得出是奇函数，由此得出判断为等比数列，进而可求得，判断出和均为公差为6的等差数列．22．（2021·广东佛山市·高三月考）已知，若方程有2个不同的实根，则实数m的取值范围是_______．【答案】【分析】由方程的解与函数图象的交点个数的关系可得有2个不同的实根等价于的图象与直线的交点个数为2，由函数图象的性质及利用导数求切线方程可设过原点的直线与相切与点，由，则此切线方程为，又此直线过原点，则求得，即切线方程为再结合图象可得实数的取值范围是，得解．【解析】解：由，可得：在的图象关于直线对称，有2个不同的实根等价于的图象与直线的交点个数为2，的图象与直线的位置关系如图所示，设过原点的直线与相切于点，由，则此切线方程为：，又此直线过原点，则求得，即切线方程为：，由图可知：当的图象与直线的交点个数为2时，实数的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查了方程的解与函数图象的交点个数的相互转化、函数图象的性质及利用导数求切线方程，解题的关键是画出图形，将其转化为直线斜率的变化问题，属难度较大的题型．23．（2021·浙江高三专题练习）若（且）恒成立，则实数的取值范围为________．【答案】【分析】讨论，结合图象可得不可能恒成立；时，运用换底公式原不等式化为，令，求得导数和单调性、最大值，可得的范围．【解析】解：当时，由和的图象可得，此时两个函数图象有一个交点，不等式不可能恒成立；当时，，不等式可化为，由，令，，当时，，递增，当时，，递减，则，则，可得，故答案为：．【点睛】方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题，关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式．24．（2021·上海市洋泾中学高三期中）已知在上有且仅有个零点，则的取值范围为________．【答案】【分析】令得，，令，，在同一坐标系中作出两函数的图象，分a的范围分别作出图象可得范围．【解析】令得，，令，，当时，，在同一平面直角坐标系中作出，的图象（如下图1所示），从图象看出，当时，，两个图象在上有且只有一个交点，即函数在上有且仅有个零点，故满足题意；当时，当，两图象相切时，两函数图象有且只有一个交点（如下图2所示），又时，，由，得，，解得（负值舍去）当时，且过点时，两函数，的图象有且只有一个交点（如图3所示），此时，解得，当时，由图4所示，由图象得出，此时两函数，的图象有且只有一个交点，综上可得的取值范围为，故答案为：．【点睛】方法点睛：函数的零点可以转化为方程的根，继而转化为两函数的图象的交点，运用数形结合的思想是常采用的方法．25．（2021·安徽六安市·六安一中高三月考（理））已知与的图象有且只有两个不同的公共点，其中为自然对数的底数，则的取值范围是_______．【答案】【分析】问题转化为有两个不同的实根，再利用参变分离法，把问题转变为，进而令，利用导数讨论的图像，进而利用数形结合可以求解【解析】由题意得，问题转化为①有两个不同的实根，又因为由函数与的图像可知，它们有一个交点，其横坐标满足，且当，即时，方程①无解，不满足题意，所以当时，方程①等价于，令，则，所以由，得，函数的单调递增区间为；由得或，即函数的单调递减区间为和，所以当时，函数取得极小值，又当从左到右无限趋近于时，，当从右到左无限趋近于时，，且当时，，由此可作出函数的大致图像，如图所示，则由图易知，当函数与函数有两个交点，即方程①有两个不同的实数根时，的取值范围为故答案为：【点睛】关键点睛：解题的关键在于，利用参变分离法，把问题转变为，然后，令，最后利用导数讨论其图像，本题的难度比较大，考查学生的转化化归思想和数形结合的运用．26．（2021·安徽省涡阳第一中学高三月考（文））已知函数，若存在实数使得的解集恰为，则的取值范围是_____．【答案】【分析】根据已知条件将问题转化为“方程有两个不等的非零根”，然后构造新函数并利用导数分析的单调性和取值，从而求解出的取值范围．【解析】由题意得方程有两个不等的非零根，方程变形得，设，所以，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，，且当时，，当时，，所以若要方程有两个不等的非零根，则，故答案为：．【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的两种常用方法：（1）分离参数法：将参数和自变量分离开来，构造关于自变量的新函数，研究新函数最值与参数之间的关系，求解出参数范围；（2）分类讨论法：根据题意分析参数的临界值，根据临界值作分类讨论，分别求解出满足题意的参数范围最后取并集．27．（2021·甘肃省永昌县第一高级中学高三月考（理））已知函数，则下列命题：①的最小值是；②是偶函数；③函数有个零点；④函数的单调递增区间是，其中正确命题的序号是______．【答案】①②．【分析】利用图象的变换画出的图象可得①的正误，，可得②的正误，在同一坐标系中画出和的图象，可得③的正误，由的图象和是偶函数可得④的正误．【解析】将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，再将函数的图象左边去掉，右边对称过来得到函数的图象，然后向右平移个单位，再向下平移个单位得到的图象如下：

通过图象可判断出函数的最小值是，故①正确是偶函数，故②正确在同一坐标系中画出和的图象如下：

由图可得，函数有个零点，故③错误当时，，由图可得在上单调递减，在上单调递增因为是偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减所以函数的单调递增区间是，故④错误所以正确的命题是①②故答案为：①②【点睛】关键点睛：解答本题的关键是熟悉函数的图象变换，准确地画出函数的图象，然后要结合函数的奇偶性解题．28．（2021·四川成都市·（文））对于定义在区间上的函数，若满足对，且时都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”且，，又当，恒成立，有下列命题①②③，④其中正确的所有命题的序号为______．【答案】①③④【分析】先求得，由对称性得可判断①，利用恒成立中令，，由新定义得，从而可得，可判断②，由“非减函数”的定义可判断③，由得时，，再结合可求得④中的四个函数值，从而判断④．【解析】又，，则，关于点对称，则，故①正确；由当，恒成立，令，则，由为区间上的“非减函数”，则，则，故②错误；由“非减函数”定义，∵，∴时，，③正确；由，，同理可得，，由，，，则，则，故④正确．故答案为：①③④．【点睛】本题考查函数新定义，解题关键是理解新定义，利用新定义的性质解题．考查了不等式的性质，旨在考查学生的逻辑推理能力，分析求解能力，创新意识．29．（2021·广东高三月考）已知函数有三个互不相同的零点，，，则a的取值范围是______；的取值范围是______．【答案】【分析】分别解出三个零点，再根据分段函数的范围列不等式组即可解得a的范围；因为，转变为求函数，的取值范围，利用导函数求单调性和极值，即可．【解析】依次解得三个零点分别为，，依题意有．a的取值范围是．令，，则与均单调递增在上单调递增，从而，在上单调递减又时，的取值范围是．故答案为：；【点睛】本题考查分段函数的零点的求法和利用导数求值域，对综合应用知识的能力要求较高，难度较大．30．（2021·河南新乡市·高三月考（理））函数的零点个数为__________．【答案】1【分析】易知函数的定义域为，假设存在，使得，设，根据指数与对数互换，可得，，由此，再根据函数的单调性可知；则，即，再令，根据零点存在定理和函数的单调性即可得到结果．【解析】由题意可知，即，所以；所以函数的定义域为；又假设存在，使得，即；设，则，，所以．易知在上是增函数，所以，所以，两边同时除以，得，即；设，易知在上是减函数，且，；由函数的零点存在定理，存在唯一的实数，使得，即只有一个根，故函数只有一个零点．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了函数的单调性和函数零点存在定理的运用，解题的关键是将原问题转化为的零点个数，这是解决本题的关键，本题属于难题．31．（2021·陕西省宝鸡市长岭中学高三期中（理））已知函数，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】本题首先可根据函数解析式得出函数在区间和上均有两个零点，然后根据在区间上有两个零点得出，最后根据函数在区间上有两个零点解得，即可得出结果．【解析】当时，令，得，即，该方程至多两个根；当时，令，得，该方程至多两个根，因为函数恰有4个不同的零点，所以函数在区间和上均有两个零点，函数在区间上有两个零点，即直线与函数在区间上有两个交点，当时，；当时，，此时函数的值域为，则，解得，若函数在区间上也有两个零点，令，解得，，则，解得，综上所述，实数的取值范围是，故答案为：．【点睛】本题考查根据函数零点数目求参数的取值范围，可将其转化为两个函数的交点数目进行求解，考查函数最值的应用，考查推理能力与计算能力，考查分类讨论思想，是难题．32．（2021·广西师范大学附属中学高三月考）设m≠-1，函数则使得成立的实数m的个数为__________．【答案】1【分析】根据函数值，设，，，所以，，然后对分两种情况讨论，每种情况在对进行讨论，数形结合可得答案．【解析】根据题意，设，所以，，所以，，当即时，，，即，令，，即求两个函数图象交点个数，画出图象，只有一个解，只有一个解；当即时，，，即，令，，即求两个函数图象交点个数，画出图象，无交点，即无解；故答案为：1．．【点睛】本题考查了分段函数的性质，考查了数形结合与分类讨论思想．33．（2021·江苏盐城市·盐城中学高三月考）已知函数则根为_____________；若函数有四个零点，则实数的取值范围是___________．【答案】或2【分析】（1）当时，运用导数求得函数单调区间，可得，可得一根，当时，直接求解可得．（2）先运用导数求得函数单调区间，并作出函数的图象，再根据图象列出函数有4个零点所需要的条件，即可求得结果．【解析】（1）当时，，所以，令，得，并且当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，故当时，有唯一根，当时，，令，解得（舍去）或2，故当时，的根为2，综上，根为或2；（2）因为，当时，由（1），则，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，且仅当，且，因为当时，则有或，即或，由图象得，要使函数有四个零点，则解得，或，无解，综上所述，实数的取值范围是，故答案是：或2；．【点睛】该题考查的是有关根据函数的零点的个数确定参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，结合图象确定函数的零点，以及与题意相同的对应参数所要满足的条件，属于较难题目．34．（2021·广东高三其他模拟）对于正整数n，设是关于x的方程的实数根．记，其中表示不超过x的最大整数，则____________；设数列的前n项和为则___．【答案】01010【分析】（1）当时，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，进而求出结果．（2）令，化简方程，通过构造函数的方法，找到零点的范围，即得范围，分类讨论为奇数和偶数时，求得结果．【解析】（1）当时，，设单调递减，，，所以，（2）令，则方程化为：令，则在单调递增；由零点存在定理可得：，，当，，当，，所以当，故答案为：①0；②1010【点睛】本题考查了函数的性质、零点存在定理，数列求和等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化和分类讨论的数学思想，属于难题．35．（2021·江苏南通市·海门市第一中学高三期末）函数是单调函数．①的取值范围是_____；②若的值域是，且方程没有实根，则的取值范围是_____．【答案】【分析】①分析出函数在上为增函数，从而可知函数为上的增函数，可得出关于实数的不等式组，可解出实数的取值范围；②根据函数的值域为可求得，利用导数求出当直线与函数的图象相切时实数的值，数形结合可得出实数的取值范围．【解析】①当时，，