2024-2025学年沪教版初中数学九年级（上）教案 第23章 解直角三角形23.1锐角的三角函数第1节（第2课时）

第23章解直角三角形23.1锐角的三角函数1锐角的三角函数第2课时正弦与余弦教学目标1.使学生理解锐角正弦、余弦的定义.2.会求直角三角形中锐角的正弦、余弦值.教学重难点重点：理解锐角正弦、余弦的定义；难点：求直角三角形中锐角的正弦、余弦值.教学过程旧知回顾【问题】什么叫锐角的正切？什么叫坡度？如何表示？在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度，记作：i，即i＝eq\f(h,l).新课讲授1.如图，(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系？(2)eq\f(BC,AB)和eq\f(B1C1,AB1)有什么关系？(3)如果改变B1C1所在的位置(如B2C2)，eq\f(BC,AB)和eq\f(B2C2,AB2)有什么关系？(4)由此你得出什么结论？解：(1)Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2；(2)eq\f(BC,AB)＝eq\f(B1C1,AB1)；(3)eq\f(BC,AB)＝eq\f(B2C2,AB2)；(4)∠A一定，其对边与斜边的比一定.2.什么叫∠A的正弦？什么叫∠A的余弦？解：如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝eq\f(∠A的对边,斜边)＝.类似地，如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝eq\f(∠A的邻边,斜边)＝.锐角的正切、正弦、余弦都叫做锐角A的三角函数.典型例题例1如图，在Rt△ABC中，两直角边AC＝12，BC＝5，求∠A的各个三角函数.学生独立完成，学生代表回答，教师补充完善.解：在Rt△ABC中，AC＝12，BC＝5，∠C＝90°，得AB＝＝13.∴sinA＝，cosA＝，tanA＝.即学即练1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，c＝5，求sinA和tanA的值.2.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(3,5)，则tanB的值为_____.答案：1.解：在Rt△ABC中，c＝5，a＝3，∴b＝eq\r(,c2－a2)＝eq\r(,52－32)＝4，∴sinA＝eq\f(a,c)＝eq\f(3,5)，tanA＝eq\f(a,b)＝eq\f(3,4).学生归纳，教师总结解题思路：先根据勾股定理求出b的长，再根据锐角三角函数的定义求解.解决这类问题的关键是利用勾股定理求出直角三角形的其他边的长，再利用锐角三角函数的定义求三角函数的值.2.解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sinA＝eq\f(a,c)，tanB＝eq\f(b,a)，a2＋b2＝c2.由sinA＝eq\f(3,5)知，若设a＝3x（x>0），则c＝5x.结合a2＋b2＝c2，得b＝4x.所以tanB＝eq\f(b,a)＝eq\f(4x,3x)＝eq\f(4,3).学生归纳，教师总结解题思路：解决此类问题的关键是要正确地画出草图，根据条件将已知角的三角函数值转化为直角三角形中两边的关系，利用勾股定理求出第三边，然后计算出待求角的三角函数值.典型例题例2如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角α的各个三角函数.解：过点P作x轴的垂线，垂足为Q.在Rt△POQ中，OQ＝3，PQ＝4，得OP＝＝5，∴sinα＝，cosα＝，tanα＝.即学即练如图，已知点P在第一象限，其坐标是(a，b)，求cosα.解：过点P作PH⊥x轴，垂足为点H.在Rt△OPH中，∵PH＝b，OH＝a，∴OP＝eq\r(,OH2＋PH2)＝eq\r(,a2＋b2)，∴cosα＝eq\f(OH,OP)＝eq\f(a,\r(,a2＋b2)).学生归纳，教师总结解题思路：也可以过点P作PM⊥y轴于点M，注意点P(a，b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|，若点P不在第一象限，则要注意横、纵坐标的符号.课堂练习1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值（）A.扩大为原来的2倍B.缩小为原来的C.扩大为原来的4倍D.不变2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么cosB的值是（）A.B.C.D.3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是（）A.sinA＝B.cosA＝C.tanA＝D.tanB＝4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝，求cosA和tanB的值.参考答案1.D2.A3.A4.解：∵sinA＝，∴AB＝＝10.又AC＝＝8，∴cosA＝，tanB＝