北京市和平北路学校2024年九上数学开学检测模拟试题【含答案】

学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………第1页，共5页北京市和平北路学校2024年九上数学开学检测模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则点P是△ABC（）A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点C．三边的垂直平分线的交点 D．三条中线的交点2、（4分）如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上的一点，PD⊥OB于点D，且PD=3，动点Q在射线OA上运动，则线段PQ的长度不可能是（）A．2 B．3 C．4 D．53、（4分）若不等式组有解，则实数a的取值范围是()A．a＜－36 B．a≤－36 C．a＞－36 D．a≥－364、（4分）己知一个多边形的内角和是360°，则这个多边形是()A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形5、（4分）如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或66、（4分）下面四个多项式中，能进行因式分解的是()A．x2+y2 B．x2﹣y C．x2﹣1 D．x2+x+17、（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC＝2，CE＝6，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．2 C． D．48、（4分）如图，直线与交于点，则不等式的解集为（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）如图，在矩形中，点在对角线上，过点作，分别交，于点，，连结，.若，，图中阴影部分的面积为，则矩形的周长为_______.10、（4分）如图，函数y1＝﹣2x和y2＝ax+3的图象相交于点A（﹣1，2），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是_____11、（4分）如图，直线y1＝k1x+a与y2＝k2x+b的交点坐标为（1，2），则关于x的方程k1x+a＝k2x+b的解是_____．12、（4分）如图，已知点A的坐标为（5，0），直线y=x+b（b≥0）与y轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b的值为_____．13、（4分）在菱形ABCD中，∠A=60，对角线BD=3，以BD为底边作顶角为120的等腰三角形BDE，则AE的长为______.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）解方程：（1）2x2﹣3x+1=1．（2）x2﹣8x+1=1．（用配方法）15、（8分）已知二次函数y=x2-2x-3.（1）完成下表，并在平面直角坐标系中画出这个函数图像.x…

…y…

…（2）结合图像回答：①当时，有随着的增大而

.②不等式的解集是

.16、（8分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分交OA于点E，若，则线段OE的长为________．17、（10分）已知关于x、y的方程组的解都小于1，若关于a的不等式组恰好有三个整数解；⑴分别求出m与n的取值范围；⑵请化简：。18、（10分）（1）如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN­—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD……X”，请你作出猜想：当∠AMN=""°时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）如图，在菱形中，，点是边的中点，是对角线上的一个动点，若，则的最小值是_____.20、（4分）如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是_____．21、（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段AB的中点．点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DE＝AB＝1．以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，则线段MG长度的最大值为_____．22、（4分）“m2是非负数”，用不等式表示为___________．23、（4分）如图，在矩形ABCD中，∠ACB=30°，BC=2，点E是边BC上一动点（点E不与B，C重合），连接AE，AE的中垂线FG分别交AE于点F，交AC于点G，连接DG，GE．设AG=a，则点G到BC边的距离为_____（用含a的代数式表示），ADG的面积的最小值为_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）学完第五章《平面直角坐标系》和第六章《一次函数》后，老师布置了这样一道思考题：已知：如图，在长方形ABCD中，BC=4，AB=2，点E为AD的中点，BD和CE相交于点P．求△BPC的面积．小明同学应用所学知识，顺利地解决了此题，他的思路是这样的：建立适合的“平面直角坐标系”，写出图中一些点的坐标．根据“一次函数”的知识求出点的坐标，从而可求得△BPC的面积．请你按照小明的思路解决这道思考题．25、（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴上，C在x轴上，把矩形OABC沿对角线AC所在的直线翻折，点B恰好落在反比例函数的图象上的点处，与y轴交于点D，已知，．求的度数；求反比例函数的函数表达式；若Q是反比例函数图象上的一点，在坐标轴上是否存在点P，使以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．26、（12分）菱形ABCD中,两条对角线AC、BD相交于点O,点E和点F分别是BC和CD上一动点,且∠EOF+∠BCD=180°，连接EF.(1)如图2,当∠ABC=60°时，猜想三条线段CE、CF、AB之间的数量关系___；(2)如图1,当∠ABC=90°时,若AC=42,BE=32，求线段EF(3)如图3,当∠ABC=90°,将∠EOF的顶点移到AO上任意一点O′处,∠EO′F绕点O′旋转,仍满足∠EO′F+∠BCD=180°,O′E交BC的延长线一点E,射线O′F交CD的延长线上一点F,连接EF探究在整个运动变化过程中,线段CE、CF,O′C之间满足的数量关系，请直接写出你的结论.

参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C【解析】

根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等进行解答．【详解】解：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．故选：C．本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．2、A【解析】试题分析：过点P作PE⊥OA于E，根据角平分线上的点到脚的两边距离相等可得PE=PD，再根据垂线段最短解答．解：如图，过点P作PE⊥OA于E，∵OC平分∠AOB，PD⊥OB，∴PE=PD=3，∵动点Q在射线OA上运动，∴PQ≥3，∴线段PQ的长度不可能是1．故选A．点评：本题考查了角平分线上的点到脚的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．3、C【解析】，解不等式①得，x<a-1，解不等式②得，x≥-37，因为不等式组有解，所以-37<a-1，解得：a>-36，故选C.4、A【解析】

根据多边形的内角和公式即可求解.【详解】设边数为n，则(n-2)×180°=360°，解得n=4故选A.此题主要考查多边形的内角和，解题的关键是熟知公式的运用.5、D【解析】以AB为对角线将图形补成长方形，由已知可得缺失的两部分面积相同，即3×6=x×(9-x)，解得x=3或x=6，故选D.【点睛】本题考查了正方形的性质，图形的面积的计算，准确地区分和识别图形是解题的关键．6、C【解析】

根据因式分解的定义对各选项分析后利用排除法求解．【详解】A、x2+y2不能进行因式分解，故本选项错误；B、x2-y不能进行因式分解，故本选项错误；C、x2-1能利用平方差公式进行因式分解，故本选项正确；D、x2+x+1不能进行因式分解，故本选项错误．故选C．本题主要考查了因式分解定义，因式分解就是把一个多项式写成几个整式积的形式，是基础题，比较简单．7、B【解析】

连接AC、CF，根据正方形的性质求出AC、CF，并判断出△ACF是直角三角形，再利用勾股定理列式求出AF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求解．【详解】如图，连接AC、CF，在正方形ABCD和正方形CEFG中，AC＝BC＝2，CF＝CE＝6，∠ACD＝∠GCF＝45°，所以，∠ACF＝45°+45°＝90°，所以，△ACF是直角三角形，由勾股定理得，AF＝＝4，∵H是AF的中点，∴CH＝AF＝×4＝2．故选：B．本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，难点在于作辅助线构造出直角三角形．8、D【解析】

观察函数图象得到，当x＞-1时，直线L1：y=x+3的图象都在L2：y=mx+n的图象的上方，由此得到不等式x+3＞mx+n的解集．【详解】解：∵直线L1：y=x+3与L2：y=mx+n交于点A（-1，b），

从图象可以看出，当x＞-1时，直线L1：y=x+3的图象都在L2：y=mx+n的图象的上方，

∴不等式x+3＞mx+n的解集为：x＞-1，

故选：D．本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，关键是从函数图象中找出正确信息．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、【解析】

作PM⊥AD于M，交BC于N，进而得到四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，继而可证明S△PEB=S△PFD，然后根据勾股定理及完全平方公式可求，，进而求出矩形的周长.【详解】解：作PM⊥AD于M，交BC于N，

则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴AM=PE=BN,AE=MP=DF,MD=PF=NC,BE=PN=FC,S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，∴S△DFP=S△PBE，且S△DFP+S△PBE=9，∴，且，∴，即，.∵，，∴，，∴，∴矩形ABCD的周长=2=.故答案为：.本题考查了矩形的性质，勾股定理，完全平方公式，三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB=S△PFD.10、x＜﹣1．【解析】

以交点为分界，结合图象写出不等式-2x＞ax+3的解集即可．【详解】解：∵函数y1=-2x和y2=ax+3的图象相交于点A（-1，2），∴不等式-2x＞ax+3的解集为x＜-1．故答案为x＜-1．此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．11、x＝1【解析】

由交点坐标就是该方程的解可得答案.【详解】关于x的方程k2x+b=k1x+a的解，即直线y1=k1x+a与直线y2=k2x+b的交点横坐标，所以方程的解为x=1.故答案为：1.本题考查的知识点是一次函数与一元一次方程，一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练的掌握一次函数与一元一次方程，一次函数的图象和性质.12、【解析】

设直线与x轴交于点C，由直线BC的解析式可得出结合可得出，通过解含30度角的直角三角形即可得出b值．【详解】设直线与x轴交于点C，如图所示:∵直线BC的解析式为y=x+b，∴∵∴当x=0时，y=x+b=b.在Rt△ABO中,OB=b，OA=5，∴AB=2b，∴∴故答案为：考查待定系数法求一次函数解析式,三角形的外角性质,含角的直角三角形的性质，勾股定理等，综合性比较强，根据直线解析式得到是解题的关键.13、或2【解析】

四边形ABCD为菱形，∠A=60，BD=3，得△ABD为边长为3等边三角形，分别讨论A，E在同侧和异侧的情况，在通过∠BED=120°算出即可【详解】画出示意图，分别讨论A，E在同侧和异侧的情况，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60，BD=3，∴△ABD为边长为3等边三角形，则AO=，∵∠BED=120°，则∠OBE=30°，可得OE=，则AE=，同理可得OE’=，则AE’=，所以AE的长度为或本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确画出图形，考虑问题要全面，属于中考常考题型．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）x1=，x2=1；（2）x1=4+，x2=4﹣【解析】

（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：（1）2x2﹣3x+1=1，（2x﹣1）（x﹣1）=1，2x﹣1=1，x﹣1=1，x1=，x2=1；（2）x2﹣8x+1=1，x2﹣8x=﹣1，x2﹣8x+16=﹣1+16，（x﹣4）2=15，x﹣4=±，x1=4+，x2=4﹣．本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．15、（1）完成表格，函数图象见解析；（2）①增大；②.【解析】

（1）选取合适的x的值，求出对应的y的值即可完成表格，再利用描点法可得函数图象；（2）根据函数图象解答可得．【详解】（1）完成表格如下：

x…-10123…

y…0-3-4-30…函数图象如下：（2）①由函数图象可知，当x＞1时，y随x的增大而增大；②不等式x2-2x-3＜0的解集是-1＜x＜3.本题主要考查二次函数与不等式，解题的关键是熟练将不等式的解集转化为二次函数的图象问题解决．16、2-【解析】

由正方形的性质可得AB=CD，∠COD=90°，OC=OD，∠ADB=∠ACD=∠CDO=45°，又因DE平分∠ODA，所以∠BDE=∠ADE=1．5°；在△ADE中，根据三角形的内角和定理可得∠CED=2．5°，所以∠CED=∠CDE=2．5°；根据等腰三角形的性质可得CD=CE=2；在等腰Rt△COD中，根据勾股定理求得OC=，由此即可求得OE的长．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，∠COD=90°，OC=OD，∠ADB=∠ACD=∠CDO=45°，∵DE平分，∴∠BDE=∠ADE=1．5°,∴∠CDE=∠BDE+∠CDO=2．5°；在△ADE中，根据三角形的内角和定理可得∠CED=2．5°，∴∠CED=∠CDE=2．5°，∴CD=CE=2，在等腰Rt△COD中，根据勾股定理求得OC=，∴OE=CE-OC=2-.故答案为2-.本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定及勾股定理，正确求得CE的长是解决问题的关键.17、（1）（2）2m-2n-1【解析】

(1)解关于x、y的不等式组，得﹣3＜m＜1.同理可以得出﹣5≤a≤.由于原不等式组恰好有三个整数解，则-3≤＜-2，解得-4≤n＜﹣.(2)由m、n的取值范围得出m+3＞0，1﹣m>0，2n+8>0，从而化简得出最后结果.【详解】（1），①+②得：2x=m+1，即x=＜1；①﹣②得：4y=1﹣m，即y=＜1，解得：﹣3＜m＜1；由a+2≥1得a≥﹣5，2n-3a≥1得a≤.所以﹣5≤a≤.原不等式组恰好有三个整数解，则-3≤＜-2，解得-4≤n＜﹣.（2）∵﹣3＜m＜1，∴m+3＞0，1﹣m>0，2n+8>0原式=m+3﹣(1-m)-(2n+8)=2m-2n-1．本题是考查解不等式组、绝对值的化简、算术平方根的化简、相反数的综合性题目,是中考常出现的题型.理解关于a的方程组恰好有三个整数解是解决本题的关键.18、（1）见详解；（2）见详解；（3）【解析】

（1）要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN．

（2）同（1），要证明AM=MN，可证AM与MN所在的三角形全等，为此，可在AB上取一点E，使AE=CM，连接ME，利用ASA即可证明△AEM≌△MCN，然后根据全等三角形的对应边成比例得出AM=MN．

（3）由（1）（2）可知，∠AMN等于它所在的正多边形的一个内角即等于时，结论AM=MN仍然成立．【详解】(1)证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME.∵正方形ABCD中,∠B=∠BCD=90°，AB=BC.∴∠NMC=180°−∠AMN−∠AMB=180°−∠B−∠AMB=∠MAB=∠MAE，BE=AB−AE=BC−MC=BM，∴∠BEM=45°,∴∠AEM=135°.∵N是∠DCP的平分线上一点，∴∠NCP=45°,∴∠MCN=135°.在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，∴△AEM≌△MCN(ASA)，∴AM=MN.(2)结论AM=MN还成立证明：在边AB上截取AE=MC，连接ME.在正△ABC中,∠B=∠BCA=60°，AB=BC.∴∠NMC=180°−∠AMN−∠AMB=180°−∠B−∠AMB=∠MAE，BE=AB−AE=BC−MC=BM，∴∠BEM=60°,∴∠AEM=120°.∵N是∠ACP的平分线上一点，∴∠ACN=60°,∴∠MCN=120°.在△AEM与△MCN中，∠MAE=∠NMC，AE=MC，∠AEM=∠MCN，∴△AEM≌△MCN(ASA)，∴AM=MN.(3)若将(1)中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD…X,则当∠AMN=时，结论AM=MN仍然成立.一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、【解析】

找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB+PE的最小值，求出即可．【详解】连接DE交AC于P，连接DB，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，∴PE+PB=PE+PD=DE，即DE就是PE+PB的最小值，∵∠ABC=120°，∴∠BAD=60°，∵AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∵AE=BE，∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）．在Rt△ADE中，DE==．∴PB+PE的最小值为．故答案为．本题主要考查轴对称-最短路线问题，菱形的性质，勾股定理等知识点，确定P点的位置是解答本题的关键．20、x＞1．【解析】试题解析：∵一次函数与交于点，∴当时，由图可得：．故答案为．21、1+2【解析】

取DE的中点N，连结ON、NG、OM．根据勾股定理可得．在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），M、O、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段MG的最大值．【详解】如图1，取DE的中点N，连结ON、NG、OM．∵∠AOB＝90°，∴OM＝AB＝2．同理ON＝2．∵正方形DGFE，N为DE中点，DE＝1，∴．在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），如图2，由于∠DNG的大小为定值，只要∠DON＝∠DNG，且M、N关于点O中心对称时，M、O、N、G四点共线，此时等号成立，∴线段MG取最大值1+2．故答案为：1+2．此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、O、N、G四点共线，则线段MG长度的最大是解题关键．22、≥1【解析】

根据非负数即“≥1”可得答案．【详解】解：“m2是非负数”，用不等式表示为m2≥1，故答案为：m2≥1．本题主要主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．23、【解析】

先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GE⊥BC时，AG最小，即最小，可计算的值，从而得结论．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵∠ACB=30°，BC=2，∴AB=2，AC=4，∵AG=，∴CG=，如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，Rt△CGH中，∠ACB=30°，∴GH=CG=，则点G到BC边的距离为，∵HM⊥BC，AD∥BC，∴HM⊥AD，∴∠AMG=90°，∵∠B=∠BHM=90°，∴四边形ABHM是矩形，∴HM=AB=2，∴GM=2﹣GH==，∴S△ADG，当最小时，△ADG的面积最小，如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，∵FG是AE的垂直平分线，∴AG=EG，∴，∴，∴△ADG的面积的最小值为，故答案为：，．本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、见解析【解析】

解：如图，以为原点，为轴，为轴建立坐标系，∵，，为长方形，∴，，，∵为中点，∴，直线过，，∴的表达式为．设表达式为，将，和，代入得：，解得：，∴表达式为，联立，解得：，∴，．25、（1）．（2）．（3）满足条件的点P坐标为，，，，．【解析】

（1）;（2）求出B’的坐标即可；（3）分五种情况，分别画出图形可解决问题.【详解】解：四边形ABCO是矩形，，，．如图1中，作轴于H．，，，，，，，，反比例函数的图象经过点，，．如图2中，作轴交于，以DQ为边构造平行四边形可得，；如图3中，作交于，以为边构造平行四边形可得，；如图4中，当，以为边构造平行四边形可得，综上所述，满足条件的点P坐标为，，，，．本题考核知识点：反比例函数，矩形，翻折，直角三角形等综合知识.解题关键点：作辅助线，数形结合，分类讨论.26、（1）CE+CF=12AB；（2）342；（3）CF−CE=【解析】

（1）如图1中，连接EF，在CO上截取CN=CF，只要证明△OFN≌△EFC，即可推出CE+CF=O