2024-2025学年高中数学第三章推理与证明4反证法课后巩固提升含解析北师大版选修1-2

PAGE4反证法[A组基础巩固]1．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是()A．无解 B．两解C．至少两解 D．无解或至少两解解析：解是唯一的否定应为“无解或至少两解”．答案：D2．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角没有钝角”．其中正确的叙述有()A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：①错，应为a≤b；②对；③错，应为“三角形的外心在三角形内或三角形的边上”；④错，应为三角形的内角中有2个或2个以上的钝角．答案：B3．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析：“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．答案：B4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．答案：B5．用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实数C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.答案：A6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________________________________________________________________________.解析：“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角7．用反证法证明命题“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设为________．解析：对“且”的否定应为“或”，所以“x≠a且x≠b”的否定应为“x＝a或x＝b”．答案：x＝a或x＝b8．将“函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使f(c)>0”反设，所得命题为________________．解析：“至少存在”的反面为“不存在”．“不存在c，使f(c)>0”即“f(x)≤0恒成立”．答案：函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上恒有f(x)≤0.9．求证：一个三角形中至少有一个内角不小于60°.证明：已知：∠A、∠B、∠C为△ABC的三个内角．求证：∠A、∠B、∠C中至少有一个不小于60°.证明：假设△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C都小于60°，即∠A<60，∠B<60°，∠C<60°，三式相加得∠A＋∠B＋∠C<180°.这与三角形内角和定理冲突，∴∠A、∠B、∠C都小于60°的假设不能成立．∴一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.10．求证：抛物线上任取四点所组成的四边形不行能是平行四边形．证明：如图，设抛物线方程为y2＝ax(a>0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)是抛物线上不同的四点，则有yeq\o\al(2,i)＝axi，xi＝eq\f(y\o\al(2,i),a)(i＝1,2,3,4)，于是kAB＝eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(y2－y1,\f(y\o\al(2,2),a)－\f(y\o\al(2,1),a))＝eq\f(a,y2＋y1)，同理kBC＝eq\f(a,y3＋y2)，kCD＝eq\f(a,y4＋y3)，kDA＝eq\f(a,y1＋y4).假设四边形ABCD是平行四边形，则kAB＝kCD，kBC＝kDA，从而得y1＝y3，y2＝y4，进而得x1＝x3，x2＝x4，于是点A，C重合，点B，D重合，这与假设A，B，C，D是抛物线上不同的四点相冲突．故四边形ABCD不行能是平行四边形．[B组实力提升]1．假如△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则()A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形解析：易知△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，故△A1B1C1为锐角三角形，设△A2B2C2也为锐角三角形，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA2＝cosA1＝sin\f(π,2)－A1，,sinB2＝cosB1＝sin\f(π,2)－B1，,sinC2＝cosC1＝sin\f(π,2)－C1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠A2＝\f(π,2)－∠A1，,∠B2＝\f(π,2)－∠B1，,∠C2＝\f(π,2)－∠C1，))那么∠A2＋∠B2＋∠C2＝eq\f(π,2)，这与三角形内角和为180°冲突，所以假设不成立，所以△A2B2C2是钝角三角形．答案：D2．已知f(x)是R上的增函数，a，b∈R，下列四个命题：①若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；②若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0；③若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)；④若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.其中真命题个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：易知①③正确，②用反证法．假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)与条件冲突，故a＋b≥0，从而②为真命题，④类似于②用反证法．答案：D3．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a，b为实数)”，其反设为________．解析：“a，b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”，即a，b不全为0.答案：a，b不全为04．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°冲突，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确依次为________．解析：由反证法的一般步骤可知，正确的依次应为③①②.答案：③①②5．a、b∈R，用反证法证明a2＋ab与b2＋ab中至少有一个因式为非负数．证明：假设a2＋ab与b2＋ab都是负数，即a2＋ab<0，b2＋ab<0，则a2＋ab＋b2＋ab<0，即a2＋2ab＋b2<0，也就是(a＋b)2<0，这与(a＋b)2≥0冲突．所以假设错误，原结论正确．6．已知函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，设当x0≥1，f(x0)≥1时，有f[f(x0)]＝x0，求证：f(x0)＝x0.证明：假设f(x0)≠x0，则必有f(x0)>x0或f(x0)<x0.若f(x0)>x0≥