高中数学选修4-4导学案

学案1

§4.1.2极坐标系（1）

学习目的：1、理解极坐标的概念；

2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系

中刻画点的位置的区别；

学习重点：理解极坐标的意义

学习难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置

学习过程：

一、新知导入：

情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？

情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

⑴他向东偏60方向走120加后到达什么位置？该位置惟

一确定吗？r-------1憎|命|

⑵如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？

//I

办公号/

问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎

样的坐标系呢？"°\"三/一、

A60Ml""IT力，

问题2：如何刻画这些点的位置？

二、建构数学：

1,极坐标系的建立：

在平面上取一个定点。，自点。引一条射线OX,同时确定一个单位长度和计算角度

的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中。称为,射线ox称为。）

2,极坐标系内一点的极坐标的规定

3、负极径的规定

般地，如果（夕,6）是点M的极坐标，那么点M也可表示

成：_______________________________

三、例题讲解

例1:写出下图中各点的极坐标

思考：

①平面上一点的极坐标是否唯一？

②若不唯一，那有多少种表示方法？

③坐标不唯一是怎么引起的？

④不同的极坐标是否可以写出统一表达式?

变式训练：在上面的极坐标系里描出下列各点

jrS77"

A（3,0）,3（6,2兀）,C（3,三），r＞（5,/），E（3,手）,广（4,不）

236

例2：在极坐标系中，

57r7t

⑴己知两点。（5,——）,2（1,-）,求线段PQ的长度；

44一

7T

⑵己知M的极坐标为（夕,6）且6=说明满足上述条件的点M所组成的图形。

变式训练：若两点的极坐标为（乃，仇）,（22，%）求AB的长以及AA08的面积。（。为

极点）

例3已知P（p,6）,分别按下列条件求出点P的极坐标。

⑴P是点。关于极点。的对称点；

TT

⑵P是点。关于直线e=］的对称点；

⑶P是点。关于极轴的对称点。

变式训练：在极坐标系中，与点(-8,二TT)关于极点对称的点的一个坐标是________________

6

四、布置作业P163,5,10

§4.1.2极坐标系(2)

学习目的：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式

学习重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解

学习难点：互化关系式的掌握

学习过程：

一、新知引入：

1、怎样建立极坐标系？极径和极角的几何意义是什么？

情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便；

情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便

问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？

问题2：平面内的一个点的直角坐标是这个点如何用极坐标表示?

二、建构数学

直角坐标系的原点。为极点，X轴的正半轴为极轴，且在

两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的直角坐

标与极坐标分别为(x,y)和(0,。)，则由三角函数的定义可以

得到如下两组公式：

(X=PCOS0122=%2+、2

[y=/7sin<9jtan

注：1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式

2、通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取02(),0<8<2万。

3、互化公式的三个前提条件

(1)极点与直角坐标系的原点重合；

(2)极轴与直角坐标系的无轴的正半轴重合;

(3)两种坐标系的单位长度相同。

三、例题讲解

例1、把下列点的极坐标化为直角坐标：

(1)M(8,—)(2)6,—

I4

例2、把下列点的直角坐标化成极坐标：

(1)P(V6,V2);(2)e(-V6,-V2);(3)R(>/2,-V2)

例3、若以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系.

5万

(1)已知4的极坐标(4,三)，求它的直角坐标；

⑵已知点B和点C的直角坐标为(一2,疑Y0,，求它们的极坐标.

(/?>0,0<^<2%)

TTTT

(3)在极坐标系中，已知42,—),3(2,-一)，求A,3两点的距离.

66

n27r

例4、在极坐标系中，己知两点46,一),8(6,—)。求A,B中点的极坐标.

63

四、布置作业

课本P176,7,8,11

§4.2.1曲线的极坐标方程的意义

学习目的：

1、掌握极坐标方程的意义

2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程

学习重、难点：

掌握极坐标方程的意义

学习过程：

一、新知导入：

1、引例：以极点0为圆心，5为半径的圆上任意一点极径为5,反过来，极径为5的点都

在这个圆上。

因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程0=5来表示。

2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？

二、新知学习：

1、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有极坐标适合方程/(p,8)=0,且极

坐标适合方程f{p,夕)=()的点在曲线上,那么这个方程称为这条曲线的极坐标方

程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。

2、求曲线的极坐标方程的步骤：

第一步建立适当的极坐标系；

第二步在曲线上任取一点P(Q,。)；

第三步根据曲线上的点所满足的条件写出等式；

第四步用极坐标夕,"表示上述等式，并化简得极坐标方程；

第五步证明所得的方程是曲线的极坐标方程。

三、新知运用：

例1.求经过点A(3,0)且与极轴垂直的直线/的极坐标方程。

变式训练：已知点P的极坐标为(1,万)，那么过点P且垂直于极轴的直线极坐标方程。

例2.求圆心在A(3,0)且过极点的圆A的极坐标方程。

变式训练：求圆心在A(3,T1T)且过极点的圆A的极坐标方程。

例3.(1)化在直角坐标方程，+y2—8y=。为极坐标方程,

(2)化极坐标方程p=6cos(e-?)为直角坐标方程。

四、课堂作业：课本第32页4、5题。

§4.2.1常见曲线的极坐标方程

学习目标：1、了解掌握极坐标系中直线和圆的方程

2、巩固求曲线方程的方法和步骤

学习重点：求直线与圆的极坐标方程

学习过程：

一、新知导入：

3

情境1：夕cose=3,p=5,夕sin6=2,。=巳7分别表示什么曲线？

''4

情境2：上述方程分别表示了直线与圆，把这些直线与圆一般化，它们的方程分别是什

么？

二、新知学习：

1、若直线/经过M(QOBO)，且直线/的倾斜角为a,求直线/的极坐标方程。运用此结果

可以推出哪些特殊位置的直线的极坐标方程。

2、若圆心的坐标为时(夕0，综)，圆的半径为「，求圆的极坐标方程。运用此结果可以推出

哪些特殊位置的圆的极坐标方程。

二、新知运用：

例1、按下列条件写出直线的极坐标方程：

(1)经过极点和点C(3,上)的直线；

6

(2)经过点8(4,万)，且垂直于极轴的直线；

7T

(3)经过点C(8,—),且平行于极轴的直线；

6

(4)经过点。(2G,o),且倾斜角为2万的直线。

例2、按下列条件写出圆的极坐标方程：

(1)以4(3,0)为圆心，且过极点的圆;

(2)以B(8,5)为圆心，且过极点的圆；

(3)以极点O与点。(-4,0)连接的线段为直径的圆;

(4)圆心在极轴上，且过极点与。(2/工)的圆。

例3在圆心的极坐标为A(4,0),半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹方程。

四、课堂作业：课本第32页1,2题。

§4.4.1参数方程

学习目的：i.了解参数方程的定义，了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义；

2.理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆(椭圆的中心在原点)的参数

方程及其简单应用；

学习重点：理解参数方程的概念；

学习难点：理解直线、圆、椭圆的参数方程及其应用。

学习过程：

一、新知导入：

设炮弹发射角为Q,发射初速度为以，怎样求弹道曲线的方程(空气阻力不计)？

二、新知学习：

1、参数方程的定义:

一般地，在取定的坐标中，如果曲线C上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个变

量r的函数：

x=fit)

J=g«)

反过来，对于♦的每个允许值，由函数式：

J=g")

所确定的点P(x,y)都在曲线C上，那么方程

x=fQ)

y=g(f)

叫做曲线c的参数方程，变量，是参变数，简称参数

2、关于参数几点说明：

(1)参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。

(2)同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样

(3)在实际问题中要确定参数的取值范围

3、参数方程的意义：

参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式,它借助于中间变量把曲线上的动点的两个

坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个

方程组，其中x,y分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。

4、参数方程求法

(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为(x,y)

(2)选取适当的参数

(3)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式

5、关于参数方程中参数的选取

选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。

与运动有关的问题选取时间f做参数

与旋转的有关问题选取角6做参数

或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。

三、新知应用

例1.求椭圆的参数方程(见教材P.43例1)

x=3cos8

变式训练1、已知椭圆1(。为参数)

y=2sin。

7T

求(1)。=—时对应的点P的坐标

6

(2)直线0P的倾斜角

§4.4.2参数方程与普通方程的互化

学习目的：会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。

学习重点：参数方程与普通方程的互化

学习难点：如何进行互化，参数的取值范围的确定

学习过程：

例1:化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线。

（1）{（t是参数）（2）”（t是参数，p是正常数）

y——It+1[y-2pt

'为参数）⑷仁./

b为正常数,

注：①参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：

（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数3然后代入消去参数

（2）三角法：利用三角恒等式消去参数

（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。

②化参数方程为普通方程为F（x,y）=O：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一

致性，必须根据参数的取值范围，确定/⑺和g（f）值域得x、y的取值范围。

例2、已知直线过点「（玉）,为），且倾斜角为。写出直线的普通方程，并选择适

当的参数将它化为参数方程。

例3、选择适当的参数，将圆的方程（x—。）2+（丁一。）2=产化为参数方程。

布置作业：课本第56页2,3,4,6

§4.4.3参数方程的应用

学习目的：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题。

学习重点：参数方程的应用。

学习难点：合理地选择参数求点的轨迹。

学习过程：

一、新知导入：

如何利用曲线的参数方程来研究曲线的相关性质？

二、新知学习：

1,应用参数方程来求最值的一般步骤是：

2、应用参数法求轨迹方程的一般步骤是:

3,常见的几种参数的选择方法:

三、新知应用

22

例1：已知M是椭圆'+芯=l（a>6>0）上在第一象限的点，A（a,O）和3（0力）是椭

圆的两个顶点，。为原点，求四边形肱4。8的面积的最大值。

变式：(1)AB为过椭圆三+匚=1中心的弦，耳，B为焦点，求△AM面积的最大值。

(2)已知椭圆三+)二=1和直线/:2+上=1,试在椭圆的第一象限内求一点M，使得M

251654

到直线/的距离最大，并求出最大距离。

例2：已知0A是圆C的直径，且04=2。，射线。8与圆交于。点，和经过A点的切线

交于8点，过Q作Q£＞，Q4,Q3〃Q4,两直线交于P点，试求点P的轨迹方程。

例3：水库排放的水流从溢流塔下泄时，通常采用挑流的方法消除水流的部分动能，以保护

水坝的坝基，如图是运用鼻坝进行挑流的示意图，已知水库的水位与鼻坝的落差为9米，鼻

坝的鼻坎角为30，鼻坝下游的基底比鼻坝低18米，求挑出水流的轨迹方程，并计算挑出

的水流与坝基的水平距离。

9米

盘坝5

18米

四、布置作业：课本第57页7,8,9

学案2

第一课时极坐标系的的概念

学习目标

1.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.

2.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.

学习过程

一、学前准备

情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆?

情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置唯一确定吗?

（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？

问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢?

问题2：如何刻画这些点的位置？

二、新课导学

♦探究新知（预习教材R〜Pm找出疑惑之处）

1、如右图，在平面内取一个0,叫做；

自极点。引一条射线Ox,叫做；再选定一个

一个（通常取）及其（通常取

方向），这样就建立了一个。

2、设M是平面内一点，极点。与M的距离|OM|

叫做点M的,记为；以极轴Ox为始

边，射线为终边的角叫做点”的

记为。有序数对叫做点M的

记作O

3、思考：直角坐标系与极坐标系有何异同？

♦应用示例

例题1：（1）写出图中A,B,C,D,E,F,G各点的极坐标（0>0,048<2万）.

（2）：思考下列问题，给出解答。

①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？

③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？

⑤本题点G的极坐标统一表达式。

♦反馈练习

在下面的极坐标系里描出下列各点

小结：在平面直角坐标系中，一个点对应_____个坐标表示，一个直角坐标对应_________个

点。极坐标系里的点的极坐标有种表示，但每个极坐标只能对应_____个点。

三、总结提升1.已知下列所给出的能表示该点的坐标的是

A.B.C.

5苫等

2、在极坐标系中，与（P,8）关于极轴对称的点是（）

A、（夕力）B、｛p-0)C、（夕,夕+%）D、（。,万一，）

第二课时极坐标与直角坐标的互化

学习目标

1.掌握极坐标和直角坐标的互化关系式。2.会实现极坐标和直角坐标之间的互化。

学习过程

一、学前准备

情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便；

情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便。

问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？

问题2：平面内的一个点的直角坐标是（1,Q）,这个点如何用极坐标表示？

二、新课导学

♦探究新知（预习教材P“〜P”，找出疑惑之处）

直角坐标系的原点0为极点，X轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平

面内任意一点P的指教坐标与极坐标分别为(x,y)和(0,，则由三角函数的定义可以得到

如下两组公式:

p2=x2+y2

(x=pcosO

y=Psin。tan。=—

说明：1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式

2、通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取020,

o万。

3、互化公式的三个前提条件

(1).极点与直角坐标系的原点重合；(2).极轴与直角坐标系的X轴的正半轴重合;

(3).两种坐标系的单位长度相同.

♦应用示例

例L将点M的极坐标(5,』)化成直角坐标。

3

解：

例2.将点M的直角坐标(M,—1)化成极坐标解:

♦反馈练习

1.点尸(1,-6)，则它的极坐标是

2.点M的直角坐标是(一1,、万)，则点M的极坐标为()

JT-Jr27r7T

A.(2,-)B.(2,一一)C.(2,——)D.Q,2k兀+上)<kwZ)

第三课时圆的极坐标方程

本课提要：本节课的重点是掌握一些特殊位置下的圆（如过极点或圆心在极点的圆）的极坐

标方程.

尊物J渺）蒲师概嗣1

1.圆/+9=1的极坐标方程是.2.曲线。=cos。的直角坐标方是.

畛重点、难点都在这里

【问题1］：求以点C（a,0）（a>0）为圆心，a为半径的圆C的极坐标方程.

3.求圆心在点（3,0）,且过极点的圆的极坐标方程.

7T

4.求以（4,一）为圆心，4为半径的圆的极坐标方程.

2

【问题2］：已知圆心的极坐标为M（Qo，d），圆的半径为尸，求圆的极坐标方程.

【问题3］：已知一个圆的极坐标方程是Q=56cos6>-5sin。，求圆心的极坐标与半径.

三练习5.在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程：

TT37r

（1）圆心在4（1,一），半径为1的圆；（2）圆心在半径为。的圆.

42

6.把下列极坐标方程化为直角坐标方程：（1）2=2；（2）2=5cos6.

7.求下列圆的圆心的极坐标：（1）p-4sin0；（2）p=V2cos（—-.

8.求圆p1-20（co矽+V5sin。）一5=0的圆心的极坐标与半径.

四」盍式例名.电试试你的身手呀

9.设有半径为4的圆，它在极坐标系内的圆心坐标是（4,万），则这个圆的极坐标方程

是.

10.两圆Q=2COS。和p=4sin6的圆心距是.

11.在圆心的极坐标为3,0）（。＞0）,半径为。的圆中，求过极点的弦的中点的轨迹.

第四课时直线的极坐标方程

本课提要：本节课的重点是掌握一些特殊位置下的直线（如过极点或垂直于极轴的直线）的

极坐标方程.

磔渤3部）睢件假霸潞琳1

1.直线x+y=l的极坐标方程是.

2.曲线°cos6=l的直角坐标方程是.

二、典型例题

【问题1］：求经过极点，从极轴到直线/的夹角是。的直线/的极坐标方程.

4

练一练：

3.经过极点，且倾斜角TT是々的直线的极坐标方程是.

4.直线夕==(0wR)的直角坐标方程是_________.

4

【问题2】：设点P的极坐标为(8,4)，直线/过点P且与极轴所成的角为a,求直线/的

极坐标方程.

三、技能训练Y?懂了，不等于会了

5.在极坐标系中，求适合下列条件的直线的极坐标方程：

(1)过极点，倾斜角是(的直线；(2)过点(2,2),并且和极轴垂直的直线.

6.把下列极坐标方程化为直角坐标方程:

(1).sin。=2；(2)夕=2sin6.

、冗7T

7.求下列直线的倾斜角：(1)0=——(pe7?)；(2)夕sin(6——)=1.

64

8.已知直线的极坐标方程为°sin(6+?)=等，求点4(2,个)到这条直线的距离.

四、变式训练贝？试试你的身手呀

7T

9.过点(2,一)，且平行于极轴的直线的极坐标方程为_________.

4

TT

10.直线夕cos。=2关于直线0=-对称的直线的极坐标方程为一

第五课时柱坐标系与球坐标系简介

本课提要：本节课的重点是了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并掌握柱坐标、

球坐标与直角坐标的互化.

一、课前小测温故而知新

1.如何确定一个圆柱侧面上的点的位置？

2.如何确定一个球面上的点的位置？

二、典型例题重点、难点都在这里

【问题1]：(1)点A的柱坐标是(2,TT2,7),则它的直角坐标是__________；

6

(2)点B的直角坐标是(1,、6,4),则它的柱坐标是.

-7T

3.点P的柱坐标是(4,§,-2),则它的直角坐标是.

4.点Q的直角坐标是(1,—百,2),则它的柱坐标是.

【问题2】：(1)点A的球坐标是(2,工,工)，则它的直角坐标是__________；

44

(2)点B的直角坐标是(一2,2,2啦)，则它的球坐标是.

【问题3]：建立适当的球坐标系，表示棱长为2的正方体的顶点.

三、畤懂了，不等于会了

技能旬依

5.傅下列客直的柱坐标化为直角坐标:P(2,-,l),(2(4,——-3).

6.将下列各点的球坐标化为直角坐标：A(4T,T]5,7]r-),8(573,乃=j).

7.将下列各点的直角坐标化为球坐标：后),N(-40,O,毋反).

8.建立适当的柱坐标系与球坐标系，表示棱长为3的正四面体的四个顶点.

四、e试试你的身手呀

变氨钠&

9.设M的球坐标为（2T,T2,把），则它的柱坐标为

10.在球坐标系中，P（3,C，）与。（3二,四）两点间的距离是________.

6464

11.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么？并将此方程化为直角坐标方程.

教案1

高中数学选修4-4全套教案

第一讲坐标系

平面直角坐标系

课题：1、平面直角坐标系

教学目的：

知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置.的方法

能力与与方法：体会坐标系的作用

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：体会直角坐标系的作用

教学难点：能够建立适当的直角坐标系，解决数学问题

授课类型：新.授.课

教学模式：启发、诱导发现教学.

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

情境1:为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务

后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞

船在空中的位置机器运动的轨迹。.

情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案

是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出

现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。

问题1：如何刻画一个几何图形的位置？

问题2：如何创建坐标系？

二、学生活动

学生回顾

刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系

1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定

2、平面直角坐标系

在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和

这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由

惟一的实数对（x,y）确定

3、空间直角坐标系

在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点

为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。.它

使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定

三、讲解新课：

1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：

任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点

的位置

2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标

四、数学运用

例1选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。

*变式训练

如何通过它们到点0的距离以及它们相对于点0的方位来刻画，即用“一距离

和方向”确定点的位置？

例2已知B村位于A村的正西方1公里处，原计划经过B村沿着北偏东60"的方

向设一条地下管线m.但在A村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据

初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区.试问:埋设地

下管线m的计划需要修改吗？

*变式训练

1.一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸的时间比在B处晚2s,已知A、B两

地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程

2..在一面积为1的中，tan/PMN=LtanNMNP=-2,建立适当的

2

坐标系，求以M,N为焦点并过点P的椭圆方程

例3已知Q(a,b)，分别按下列条件求出P的坐标

(1)P是点Q关于点M(m,n)的对称点

(2)P是点Q关于直线l:x-y+4=0的对称点(Q不在直线1上)

*变式训练

用两种以上的方法证明：三角形的三条高线.交于一点。

思考

通过平面变换可以把曲线往里匚+”』=1变为中心在原点的单位圆，请求出

94

该复合变换？

四、巩固与练习

五、小结：本节课学习了以下内容：1.如何建立直角坐标系；

2.建标法的基本步骤；

3.什么时候需要建标。

五、课后作业：课本P14页1,2,3,4

六、课后反思：

建标法，学生学习有印象，但没有主动建标的意识，说明学生数学学习缺乏

系统性，需要加强训练。

课题：2、平面直角坐标.系中的伸缩变换

教学目标：

知识与技能：平面直角坐标系中的坐标变换

.过程与方法：体会坐标变换的作用

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意

识

教学重点：理解平面直角坐标系中的坐标变换、伸缩变换

教学难点：会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题

授课类型：新授课

教学措施与方法：启发、诱导发现教学.

教学过程：

一、阅读教材P4—P8

问题探究1：怎样由正弦曲线丁=4内得到曲线工耳!^》？

思考：“保持纵坐标不变横坐标缩为原来的一半”的实质是什么？

问题探究2：怎样由正弦曲线丁=5由]得到曲线y=3sinx?

思考：.“保持横坐标不变纵坐标缩为原来的3倍”的实质是什么？

问题探究3：怎样由正弦曲线丁=51!1%得到曲.线y=3sin2x?

二、新课.讲解：

定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换

x*=(2>0)

(P:«

[y,=^y(〃>0)

的作用下，点P(x,y)对应P，(x，,y)称。为平面直角坐标系中的伸缩变换

注(L兄>0,〃>0

(2)把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用座标伸缩变换

得到；

(3)在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩

变换。

Y-2V

例1、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换,■后的图

y=3y

形。

(1)2x+3y=0;(2)x2+y2=l

—3y

例2、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换,'后，曲线C变为曲线

.y=y

X，2+9y，2=9,求曲线C的方程并画出图象。

三、知识应用：

1、已知力(x)=sinx,/^(x)=sinoir(<y>0)上。)的图象可以看作把力(幻的图象

在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的1倍(.纵坐标不变)而得到的，则。

3

为()

A.-B.2C.3D.-

23

Y'—SY

2、在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线

7=3y

2x,2+8/2=1,则曲线C的方程为（）

8

2+y2=

A.25X2+36/=1B.9x2+100y2=1C.10X2+24/=1D.—X29-

£——x

3、在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形.经过伸缩变换2后的

图形。

(1)5x+2y=0;

(2)/+y2=]。

四、知识归纳：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换

°：厂：2.羽的作用下，点P(x,y)对应到点P(Ey'),称尹为平面直角

[y=〃』(4〉0),

坐标系中的坐标伸缩变换

五、作业布置：

xr=­x

1、抛物线y2=4x经过伸缩变换:后得到

y=-y

2、把圆V+y2=]6变成椭圆A：”+上=1的伸缩变换为

16

3、在同一坐标系中将直线3x+2y=l变成直.线2x+y=2的伸缩变换为

',1

4、把曲线y=3sin2x的图象经过伸缩变换/一=5”得到的图象所对应的方程为_

ly=4〉

xf=2x

5、在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换，1后，曲线C变为

y2-16/2—4V=0,则曲线C的方程

六、反思:

极坐标系

课题：1、极坐标系的的概念

教学目的：

知识目标：理解极坐标的概念

能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平.面

直角坐标系中刻画点的位置的区别.

德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：理解极坐标的意义

教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

情境1:军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将

它们引爆?

情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位

置惟一确定吗？

（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描

述？

问题1：.为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎

样的坐标系呢？

问题2：如何刻画这些点的位置.？

这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度

来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础.

二、讲解新课：

从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。

这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。

1、极坐标系的建立：

在平面上取一个定点0,自点0引一条射线0X,同时确定一个单.位长度和

计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中0称为极点，射线0X称为极轴。）

2、极坐标系内一点的极坐标的规定

对于平面上任意一点M,用p表示线段OM的长度，

用0表示从OX到OM的角度，p叫做点M的极径，0

叫做点M的极角，有序数对（p,0）就叫做M的极坐标。

特别强调：由极径的意义可知p20；当极角。的取值范

围是［0,2m）时，平面上的点（除去极点）就与极坐标（p,0）建立一一对应的关系.

们约定，极点的极坐标是极径p=o,极角是任意角.

3、负极径的规定

在极坐标系中，极径p允许取负值，极角。也可以去任意的正角或负角

当pvo时，点M(p,0)位于极.角终边的反向延长线上，且OM=|月。

M(p,。)也.可以表示为(0,。+2%1)或(一夕,0+(2k+1)%)(k€z)

4、数学应用

例1写出下图中各点的极坐标(见教材14页)

A(4,0)B(2)C()

D()E()F()

G()

①平面上一点的极坐标是否唯一？

②若不唯一，那有多少种表示方法？

③坐标不唯一是由谁引起的？

③不同的极坐标是否可以写出统一表达式

约定：极点的极坐标是0=0,。可以取任意角。

变式训练

在极坐标系里描出下列各点

7T47r

A(3,0)B(6,2))C(3,-)D(5,—)E(3,)(4万)G(6,

23TF

51

3

点的极坐标的表达式的研究

例2在极坐标系中，(1)已知两点P(5,—Q(l,-),求线段PQ的长度;

44

(2)已知M的极坐标为(p,9)且决工，peR,说明满足上述条件的点M的位

3

置。

变式训练

1、若AABC的的三个顶点为A(5,红),8(8,包),C(3,包)，判断三角形的形状.

266

2、若A、B两点的极坐标为(回,优),(22,%)求AB的长以及A4O8的面积。(O

为极点)

例3已知Q(p,0),分别按下列条件求出点P的极坐标。

(1)P是点Q关于极点O的对称点.；

(2)P是点Q关于直线6=5的对称点；

(3)P是点Q关于极轴的对称点。

.变式训练

1.在极坐标系中，与点(-8,卫)关于极点对称的点的一个坐标是()

IT、冗、冗TT

A(8,-),B(8--),C(-8,—),0(-8--)

6666

2在极坐标系中，如果等边AABC的两个顶点是A(2,工),B(2±),求第三个顶点C

44

的坐标。

三、巩固与练习

四、小结：本节课学习了以下内容：1.如何建立极坐标系。2.极坐标系

的基本要素是：极点、极轴、极角和度单位。3.极坐标中的点与坐标的对应关

系。

五、课后作业：

六.课后反思：本节学.习内容对学生来说是全新的，因而学生学习的兴趣很浓，

课堂气氛很好。部分学生还未能转换思维，感到有点吃力。后续教学还要加强基

础训练。

课题：2、极坐标与直角坐标的互化

教学目的：

知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式

能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化

德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解

教学难点：互化关系式的掌握

授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学.

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

情一境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便；

情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便

问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？

问题2：平面内的一个点的直角坐标是(1,75),这个点如何用极坐标表示？

学生回顾

理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义

正确.画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解

二、讲解新课：

直角坐标系的原点。为极点，龙轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同

的长度单位。平面内任意一点P的指教坐标与极坐标分别为(x,y)和(p,。)，则由

三角函数的定义可以得到如下两组公式：

222

X-PCOS0P一入+)

y=psm0tan6=2

x

说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式

2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取020,0W8W2万。

3互化公式的三个.前提条件

1.极点与直角坐标系的原点重合；

2.极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；

3.两种坐标系的单位长度相同.

三.举例应用：

0rr

例1.(1)把点M的极坐标(8,m)化成直角坐标

(2)把点P的直角坐标(迷,-血)化成极坐标

变式训练

在极坐标系中，已知A(2,-),B(2,--),求A,B两点的距离

66

例2.若以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立直角.坐标系.

57T

(1)已知A的极坐标(4,苧)，求它的直.角坐标，

(2)已知点B和点C的直角坐标为(2,-2)和(0,-15)

求它们的极坐标.(/7>0,<2.乃)

变式训练

把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定P>o,oweV2万)

5(0-2),C(3,4),D(-3,-4)

例3.在极坐标系中，已知两点A(6,匹),3(6,至).

63

求A,B中点的极坐标.

变式训练

在极坐标系中，已知三点例(2,-马,N(2,0),P(2g,J).判断M,N,P三点是否在一

36

条直线上.

四、巩固与练习：课后练习

五、小结：本节课学习了以下内容：

1.极坐标与直角坐标互换的前提条件;

2.互换的公式；

3.互换的基本方法。

五、课后作业:

六、课后反思：在教师的引导下，学生能积极应对互化的原因、方法，也能较

好地模仿操作，但让学生独立自主完成新的问题的解答，明显有困难，需要教师

的点拨引导。这点可采取的措施是：小组讨论，共同寻找解决问题的方法，彳艮

有效。但教学时间不足。

三简单曲线的极坐标方程

课题：1、圆的极坐标方程

教学目标：

1、掌握极坐标方程的意义

2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程

教学重点、极坐标方程的意义

教学难点：极坐标方程的意义

教学方法：启发诱导，讲练结合。

教.具：多媒体、实物投影仪.

教学过程：

一、复习引入：

问题情境

1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？

2、直角坐标.系的建立可以求曲线的方程

极坐标系的建立是否可以求曲线方程？

学生回顾

1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？

2、曲线的方程和方程的曲线(直角坐标系中)定义

3、求曲线方程的步骤

4、极坐标与直角坐标的互化关系式：

二、讲解新课：

1、引例.如图，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为

(a,0)(a>0),你能用一个等式表示圆上任意一点，

的极坐标(p,0)满足的条件？/

解：设Mg4)是圆上0、A以外的任意一点，连接/I

则有.：OM=OAcos9,即：P=2acos6①，0^

2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？\

可以验证点0(0,K⑵、A(2a,0)满足①式.

等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件.

反之，适合等式①的点都在这个圆上.

3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程

/(夕,。)=0的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方

程，这条曲线.称为这个极坐标方程的曲线。

例1、已知圆O的半径为r,建立怎样的坐标系，

可以使圆的极坐标方程更简单？

①建系；

②设点；M(P,0)

③列式；OM=r,.即：P=r

④证明或说明.

变式练习：求下列圆的极坐标方程

(1)中心在CQ0),半径为a；

(2)中心在3,加2),半径为a；

(3).中心在©(。。〃)，半径为a

答案：(l)p=2acos.0(2)p=2asin0(3)p=2acos(。一名)

例2.(1)化在直角坐标方程/+,2一刀=()为极坐标方程，

(2)化极.坐标方