2025届高考数学统考二轮复习增分强化练五不等式推理与证明理含解析

PAGE增分强化练(五)考点一不等式的性质及解法1．(2024·安阳模拟)已知集合A＝{x|－2＜x≤5}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)≤－1))))，则A∩B＝()A．{x|x＜0} B．{x|x≤5}C．{x|－3≤x≤5} D．{x|－2＜x＜0}解析：∵集合A＝{x|－2＜x≤5}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3,x)≤－1))))＝{x|－3≤x<0}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜0}．故选D.答案：D2．若关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)<x<2))))，则m的取值范围是()A．m>0 B．0<m<2C．m>eq\f(1,2) D．m<0解析：(mx－1)(x－2)>0，mx2－2mx－x＋2>0，因为不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)<x<2))))，所以二次项的系数小于0，m<0.故选D.答案：D3．下列命题中正确的是()A．若a>b，则ac2>bc2B．若a>b，c<d，则eq\f(a,c)>eq\f(b,d)C．若a>b，c>d，则a－c>b－dD．若ab>0，a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)解析：对于A选项，当c＝0时，不成立，A选项错误；当a＝1，b＝0，c＝－2，d＝－1时，eq\f(a,c)<eq\f(b,d)，B选项错误；当a＝1，b＝0，c＝1，d＝0时，a－c＝b－d，C选项错误，D选项正确．故选D.答案：D4．不等式eq\f(1,x－1)＋2≥0的解集为________．解析：原不等式等价于eq\f(2x－1,x－1)≥0，解得x>1或x≤eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1或x≤\f(1,2)))))考点二简洁的线性规划问题1．(2024·汉中质检)若x，y满意约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≥2y－2≤02x－y≤2))，则x2＋y2的最大值为()A．4 B．8C．2 D．6解析：作出可行域如图：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝22x－y＝2))，解得A(2,2)，明显|AO|2＝8最大，故选B.答案：B2．(2024·成都质检)设实数x，y满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤4,x＋2y≤2x－1≥0))，则eq\f(y＋1,x)的最大值是()A．－1 B.eq\f(1,2)C．1 D.eq\f(3,2)解析：由约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤4,x＋2y≤2x－1≥0))，作出可行域如图，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝0,x＋2y－2＝0))，解得A(1，eq\f(1,2))，eq\f(y＋1,x)的几何意义为可行域内的动点与定点P(0，－1)连线的斜率，由图可知kPA＝eq\f(\f(1,2)＋1,1)＝eq\f(3,2)最大．答案：D3．若x，y满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0,x＋y－3≥0,3x－y－5≤0))，z＝2x＋y的最小值为________；z＝eq\f(y＋x,x)的最大值为________．解析：画出约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0,x＋y－3≥0,3x－y－5≤0))表示的可行域，如图，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0,x＋y－3＝0))，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝2))，将z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x＋z，由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A(1,2)时，直线在y轴上的截距最小，最小值为z＝2×1＋2＝4；z＝eq\f(y＋x,x)＝eq\f(y,x)＋1，eq\f(y,x)表示可行域内的点与原点连线的斜率，由图可知，eq\f(y,x)的最大值为kOA＝2，eq\f(y,x)＋1的最大值为2＋1＝3.答案：43考点三基本不等式1．设a>0，b>0，若a＋b＝1，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值是()A．4 B．8C．2 D.eq\f(1,4)解析：由题意eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))(a＋b)＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，当且仅当eq\f(b,a)＝eq\f(a,b)，即a＝b＝eq\f(1,2)时取等号．故选A.答案：A2．(2024·化州模拟)若正数x，y满意x＋3y＝5xy，当3x＋4y取得最小值时，x＋2y的值为()A.eq\f(24,5) B．2C.eq\f(28,5) D．5解析：∵x＋3y＝5xy，x＞0，y＞0，∴eq\f(1,5y)＋eq\f(3,5x)＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5y)＋\f(3,5x)))＝eq\f(13,5)＋eq\f(3x,5y)＋eq\f(4y,5x)×3≥eq\f(13,5)＋2eq\r(\f(3x,5y)·\f(12y,5x))＝5，当且仅当eq\f(3x,5y)＝eq\f(12y,5x)，即x＝2y＝1时取等号，x＋2y的值为2.故选B.答案：B3．(2024·凉山质检)函数y＝eq\f(2x2＋1,x)(x>0)的值域是________．解析：依题意y＝2x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(2x·\f(1,x))＝2eq\r(2)，当且仅当2x＝eq\f(1,x)，x＝eq\f(\r(2),2)时等号成立，故函数的值域为[2eq\r(2)，＋∞)．答案：[2eq\r(2)，＋∞)考点四推理与证明1．将棱长相等的正方体按图示的形态摆放，从上往下依次为第1层，第2层，……则第20层正方体的个数是()A．420 B．440C．210 D．220解析：视察可得，第1层正方体的个数为1，第2层正方体的个数为3，比第1层多2个，第3层正方体的个数为6，比第2层多3个…，可得，每一层比上一层多的个数依次为2,3,4,5，…故第20层的正方体个数为1＋2＋3＋4＋…＋20＝eq\f(1＋20×20,2)＝210，故选C.答案：C2．已知x>0，不等式x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)≥4，…，可推广为x＋eq\f(a,xn)≥n＋1，则a的值为()A．n2 B．nnC．2n D．22n－2解析：由题意，当分母的指数为1时，分子为11＝1；当分母的指数为2时，分子为22＝4；当分母的指数为3时，分子为33＝27；据此归纳可得：x＋eq\f(a,xn)≥n＋1中，a的值为nn.故选B.答案：B3．在平面几何中，正三角形的内切圆半径等于这个正三角形高的eq\f(1,3).拓展到空间几何中，类比平面几何的上述结构，得正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)解析：从平面