2024-2025学年高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用1教学教案新人教A版必修4

PAGE《三角函数模型的简洁应用》教学内容解析本节课是一般中学新课程标准试验教科书《数学》（必修4）中第一章《三角函数》第六节“三角函数模型的简洁应用”的其次课时。“三角函数模型的简洁应用”一节教材共设置了4个例题，按部就班地从四个层次来介绍三角函数模型的应用。教学共分两个课时，通过第一课时的学习，学生已经初步驾驭了由函数图象建立解析式的方法，这为其次课时的学习做好了学问上的铺垫。其次课时由拖地什么状况比较省力引入，实现从详细事例中抽象出三角函数模型的过程，再由学生动手解决无论推力多大，拖把都不会动的问题，让学生经验由实际问题到数学模型，再还原到实际问题的过程。紧接着第4个例题，即给出宁波港随着潮汐改变时水深与时刻的改变数据，通过作散点图，选择恰当的函数模型，建立函数模型，并用得到的函数模型解决有关问题。这一课时的内容是一个比较完整的建立三角函数模型解决实际问题的例子，可以让学生经验运用三角函数模型描述周期现象、解决实际问题的全过程。教科书《三角函数》这章特地设置“三角函数模型的简洁应用”一节，目的是让学生感受到三角函数在解决具有周期改变规律的问题中的作用，体验三角函数与日常生活和其他学科的联系。以使学生体会三角函数的价值和作用，增加应用意识，同时还使学生加深对有关学问的理解．通过例4的教学，可以使学生经验用三角函数模型刻画周期现象的全过程，驾驭从实际问题抽象出数学模型的一般方法，进一步体会三角函数是刻画周期改变规律的重要模型。三角函数模型的建立和应用，蕴含着丰富的数学思想。首先，是函数建模思想。本节内容须要对给出的数据细心视察，找寻规律，发觉表格中的数量关系；画出散点图，用曲线拟合这些数据，并找出恰当的函数模型，求其解析式；最终利用所求得的函数模型解决实际问题，这体现了数学建模的思想。其次，是数形结合思想。在用代数方法处理一些问题遇到困难时，常通过对图象的分析，采纳数形结合的思想，使问题得以解决。三角函数模型其本身就是“数”与“形”的统一体。就本节所涉及的实际问题，依据所供应的数据很难一目了然地视察到其改变的规律，而画出它的散点图，可直观地反映出数据的周期性改变规律，这样将“数”与“形”结合，使得模型“形”的建立水到渠成．虽然“数形结合”的思想在之前学习分段函数、指数函数、对数函数等详细函数模型时，学生已经接触过，但结合本课内容，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解。此外，在运用三角函数模型解决数学问题的过程中，“函数与方程”的数学思想也得到了体现。三角函数模型是在学习了分段函数、指数函数、对数函数等详细函数模型之后学习的又一详细函数模型，在学问的形成过程中，突出体现了建立模型和应用模型两个核心环节．二、教学目标设置（一）教学目标1．利用收集到的数据作出散点图，依据散点图进行函数拟合，建立三角函数模型，驾驭利用三角函数模型解决实际问题的方法。2．经验由实际问题选择数学模型、探讨数学模型、解决实际问题的数学建模过程，感悟“数形结合”、“函数与方程”的数学思想，并能理解应用“数形结合”、“函数与方程”思想解决有关具有周期运动规律的实际问题。3．培育学生的视察、分析、探究、归纳及概括实力以及运用图形计算器等信息技术手段解决实际问题的实力，增加学生的应用意识。（二）目标解析1．学生在学习了分段函数、指数函数、对数函数等函数模型后，对建立函数模型的基本步骤有所了解，但对数据呈现周期性改变规律的数学建模还是初次接触，特殊是对如何依据实际背景及问题的条件，留意考虑实际意义，对问题的解进行详细分析，学生的理解并不深刻．因此如何建立和应用数学建模是本节的学习目标之一。2．数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期四个阶段，而非通过简洁如“复制与灌输”手段得以实现．所以通过数学建模的过程，让学生领悟到“数学建模思想”、“数形结合思想”、“函数思想”等，并能运用这些数学思想分析三角函数的图象，通过解决一些具有实际背景的综合性问题，培育他们综合应用数学和其他学科学问解决问题的实力。3．通过数学建模的过程，使学生在视察、分析、探究、归纳、概括等思维活动中获得新知，这不仅可以提高学生的思维实力，培育学生运用图形计算器等信息技术手段解决实际问题的实力，同时也可以增加学生的应用意识，促进学生良好思维品质的形成。教学重点：用三角函数模型解决一些具有周期性改变规律的实际问题；从实际问题中发觉周期改变的规律，并将所发觉的规律抽象为恰当的三角函数模型。教学难点：分析、整理、提取和利用信息，将实际问题抽象转化成三角函数模型，并综合运用相关学问解决实际问题。三、学生学情分析

在学习了分段函数、指数函数、对数函数等基本函数模型后，学生已经验过视察散点图，抽象成函数模型，分析图象的特征，运用图形计算器等信息技术手段求解的数学建模过程，部分学生对模型的建立和应用往往还停留在操作层面上，对其中的数学意义和蕴含的数学思想的理解并不深刻；当面对三角函数解决实际问题的生疏背景、困难的数据处理等，学生会感到困难；尤其是明确问题的实际背景、分析问题的困难条件，考虑问题的实际意义，及对问题的解的分析等都会有肯定的困难。因此在教学时，应重视审题环节，通过有针对性的引导，让学生仔细阅读，抓住关键的词和句子，弄清题意；留意帮助学生在分析问题中提取其中的数量关系；借助散点图，引导学生从“形”的特征发觉各个量之间的关系及他们的改变规律；同时留意指导学生依据问题的实际意义对问题的解进行详细的分析。四、教学策略分析依据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以EXCEL绘制散点图等，变抽象为直观；同时辅之以计算器强大的计算功能，为学生的数学探究与数学思维供应支持。五、教学过程设计

（一）开宗明义——呈现问题同学们，我们已经知道函数的解析式、图像、性质三者紧密相连。本节课我们要来探讨解决一些生活生产中的实际问题。首先来看拖地的问题，拖把匀速前进时什么状况下比较省力?

抽象出数学关系，三角函数学问解决引导学生分析出实际问题中蕴含着受力平衡这个实际模型，转化为数学关系式，既水平和竖直方向受力平衡，进而运用数学运算求出F的表达式，运用函数思想求出F的最小值。师：当拖杆与竖直方向的角度越大时，越省力，也就是说角度越小越费劲。当推力垂直地面对下时，拖把不会动，在这个改变过程中有个临界角，不管推力多大，拖把都不会动，现在我们要解决这个问题。生：沟通探讨出F水平分解力比最大静摩擦力小，拖把不会动，从手里角度动身，列出数学关系式求解。老师课堂巡察，指导，学生扮演，讲解过程，最终还原回实际问题，今后拖地过程中如何有效的拖地。【设计意图】通过学生动手再练习，可以有效巩固这个实际问题中的三角学问，同时解决避开拖地死角出现的实际问题。(三）阅读材料，分析实际问题材料一：宁波港地处我国大陆海岸线中部，南北和长江“T”型结构的交汇点上，地理位置适中，是中国大陆闻名的深水良港。宁波港由北仑港区、镇海港区、宁波港区、大榭港区、穿山港区组成，是一个集内河港、河口港和海港于一体的多功能、综合性的现代化深水大港。现有生产性泊位309座，其中万吨级以上深水泊位60座。材料二：海水受日月的引力，在肯定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常状况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋。材料三：按平安条例规定，宁波港进港航道水深在18.2米以上，20万吨以下船舶自由进港，25万吨30万吨船舶可候潮进出港。问题1：平安规定的依据是什么？题组形式，激发学生抽取实际模型的实力。有效引导学生进入解决模型的过程。（四）视察数据——建立模型材料四：下面是宁波港口在某季节每天的时间与水深关系表:时刻 水深/米 时刻 水深/米 时刻 水深/米0:00 25.0 9:00 20.0 18:00 25.03:00 30.0 12:00 25.0 21:00 20.06:00 25.0 15:00 30.0 24:00 25.0问题2：假如从函数角度思索，哪个是自变量，哪个是因变量？问题3：选用一个适当的函数来近似描述这个水深和时间的函数关系，并给出整点时间的水深近似值？（精确到0.01)问题4：视察散点图，你发觉了一些什么结论？师生活动：老师提问，学生思索、回答，老师依据学生回答的状况加以补充，主要从变量间的关系、水深的最值、水深随时间改变有无规律等方面去探讨．【设计意图】通过视察表格中的数据，先发觉水深有改变，尽可能发觉或猜想这种改变呈现一种周期性改变规律，为用散点图来表示这些数据做好铺垫．问题2：怎么画这些数据的散点图？用EXCEL工具。

【设计意图】让学生复习用描点法画出散点图的方法．问题3：假如我们用一条光滑的曲线把这些点连接起来，依据曲线的形态和走势，能用什么样的函数来近似拟合这个图象？师生活动：老师引导学生利用图形计算器的连线功能将散点连接起来，如下图.视察、分析绘出的曲线的形态和特征，思索、推断、选择函数模型．老师依据学生回答的状况加以补充，突出对“周期性”的引导，最终确定可以用形如的正弦型函数来近似拟合.

【设计意图】引导学生依据由散点图连成的曲线呈周期性的特点选择正弦型函数模型，培育学生的视察、分析、推理、推断、抽象概括等实力.问题4：如何求出函数中的，，，和的值，从而确定函数模型的解析式呢？师生活动：师生通过问答的形式，结合图象，求出,,,。（1）求振幅。由图象可以得到最大值是7.5，最小值是2.5，最大值与最小值之差的一半是振幅，=5（2）求。的值跟周期有关，从图象可以看到，完成一次往复运动要用12小时，所以周期是12.所以,。（3）求。图象向上平移了25个单位。（4）求。代入一个特殊点，得到。【设计意图】让学生结合函数图象以及已知表格中的数据，求出各参数的值，体会“数形结合”的数学思想，利用图形计算器验证所求结果，并两人合作求出整点时刻的水深。(三）回来现实——提出问题我们已经知道港口在某季节每天的时间与水深关系可以近似用函数模型来刻画，下面利用该模型解决有关货船进出港的一些实际问题.问题5：（进出港时间问题）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为24.5m，平安条例规定至少要有1.5m的平安间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？在港口能呆多久？师生活动：老师通过以下问题，引导学生探究.（1）货船能够进入港口所须要满意的条件是什么？（实际水深≥平安水深）（2）怎样用数学表达式来表述这一条件？（3）如何解不等式？（4）若把不等式两端看成是两个函数，分别作出它们的函数图象，用数形结合的思想解决问题，那么满意我们条件的解是图象的哪部分？（5）在[0，24]内满意条件的解集是什么？（6）结合图象，货船应当选择什么时间进港，什么时间出港？（7）货船在港口能呆多久？（8）如何运用图形计算器帮助我们解决其中的问题？学生利用图形计算器分别画出和y=26的图象，找出两图象的交点，通过数形结合得到不等式的解集.【设计意图】通过问题串，帮助学生弄清晰题目的意思，引导学生建立函数模型，借助图形计算器，利用数形结合思想解决问题.得出答案后，通过检验它是否与实际意义相符，对答案的合理性做出说明.问题6：（游客登船问题）一条客船停靠在宁波港口，潮汐作用下，当水深达到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。已知地面与甲板的高度差不超过10cm时，游客能舒适地登船。视察此表，客船什么时候起先登船检票比较合适？乘客有多少舒适的登船时间？师生活动：老师启发学生类比、思索，组织学生探讨如下问题：（1）“舒适登船”的含义是什么？你能用一个关系式来表述吗？（2）舒适水深如何表示呢？（3）如何解不等式？学生在这些问题的引导下思索探究，对于要求解的不等式，学生依据刚才解题的经验，相互探讨寻求解决的途径，利用图形计算器通过刚才类似方法求出不等式的解集。【设计意图】引导学生用函数模型刻画货船平安水深与时间的关系，将实际问题转化为不等式问题.让学生进一步体验“数形结合”思想和“函数与方程”思想在解决数学问题中的作用.师生活动：在老师的引导下，学生独立思索、探讨，然后给出回答。下午发船的话，游客在14:40左右到15:20可以登船，有40分钟左右登船时间。【设计意图】将所得的数学说明转化为实际问题的说明.（四）课时小结，相识深化问题9：通过这节课的学习，大家有什么收获吗？

（师生一起归纳）1.通过本节课的学习，学会了数据处理的基本方法和步骤：（1）视察收集到的数据，找寻规律，发觉数据间的数量关系；（2）依据已知数据绘制散点图；（3）用光滑的曲线连接散点图；（4）通过比较，选择恰当的函数模型拟合数据；（5）求函数模型的解析式.

在数据处理的过程中，运用了函数的三种不同的表示方法，分析问题并解决问题．2.在解决实际问题时运用了“数学建模思想”、“数形结合思想”、“函数与方程思想”等数学思想方法．【设