19.10两点的距离公式

19.10两点的距离公式1.理解并初步掌握两点的距离公式2.会用两点的距离公式解决一些直角坐标平面内的简单问题知识点一两点的距离公式1.两点的距离公式如果直角坐标平面内有两点，,那么两点的距离.提示平面内两点之间的距离与这两个点的坐标有关;运用直角坐标平面内两点的距离公式计算时,代入要准确，无论还是都可以，只是我们习惯性使用，亦是如此;.2.特殊情况(1)当轴时,;所以;(2)当轴时,;所以;(3)当点A或点B为原点时,因为其中一个点的坐标为(0,0),所以即学即练阅读与思考，同学们通过“真阅读工程”活动接触到很多课外阅读，其中有一段文章与勾股定理的内容相关：在直角坐标系中，已知两点的坐标是，，求M、N两点之间的距离，可以通过变形为计算．试根据以上知识解决下列问题：

(1)若点，，则，两点间的距离为______；(2)若点与的距离为10，求m的值；(3)若点，，点O是坐标原点，试判断是什么三角形，并说明理由．【答案】(1)(2)5或(3)直角三角形，见解析【分析】（1）根据题目中两点间的距离公式，可以求出，两点间的距离；（2）根据题目中的距离公式和点与的距离为10，可以列出相应的方程，然后求解即可；（3）先根据两点间的距离公式求出，，，然后根据勾股定理的逆定理说明理由即可．【详解】（1）∵，，∴．故答案为：；（2）∵点与的距离为10，∴，两边平方得，，解得或，即m的值是5或（3）是直角三角形，理由如下：∵点，，点O是坐标原点，∴，则，同理得：，，∵，∴是直角三角形．【点睛】本题考查两点间的距离公式、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，求出相应的距离，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．坐标平面内三角形形状的判断方法：在直角坐标平面内,已知三点的坐标,判断联结这三点所构成的三角形形状，一般先由两点的距离公式计算三角形的三边长,再从三边之间的关系来判断它的形状,有时还要结合勾股定理的逆定理进行判断.题型一选址问题例1为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，于A，于B．已知，，，试问：图书室E应该建在距点A多少处，才能使它到两所学校的距离相等？

【答案】【分析】设图书室E应建在距A点x千米处，才能使它到两所学校的距离相等，则千米；由勾股定理建立方程即可求解．【详解】解：设图书室E应建在距A点x千米处，才能使它到两所学校的距离相等，则千米；∵，，∴，，∵，∴，即，解得：，答：图书室E应建在距A点千米处，才能使它到两所学校的距离相等．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理解直角三角形，建立方程解方程，是解决本题的关键．举一反三1如图，笔直公路上、两点相距千米，、为两居民区，于，于，已知千米，千米，现要在公路段上建一超市，使、两居民区到的距离相等，则超市应建在离处多远处．【答案】千米【分析】设千米，则千米，利用勾股定理求出两个直角三角形的斜边长，再利用两个三角形的斜边相等求出的长即可．【详解】设千米，则千米，因为，所以，解得：千米，经检验是原方程的解，故超市应建在离处千米处．【点睛】考查根据勾股定理确定相应长度，利用两直角三角形斜边相等是解答本题的关键．举一反三2如图，有两条互相垂直的公路，A厂离公路的距离为2千米，离公路的距离为5千米；B厂离公路的距离为11千米，离公路的距离为4千米；现在要在公路上建造一仓库P，使A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等，求仓库P的位置．【答案】仓库P在公路上，且在公路的右侧，离公路的距离为6千米处.【分析】以直线建立直角坐标系，根据题述可得A厂，B厂所在点的坐标，再设仓库P所在点的坐标为(x,0)，根据“A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等”列出方程，求解，根据方程的解可得出仓库P的位置．【详解】解：为两条互相垂直的公路，以建立平面直角坐标系，如下图，根据题意可知,设P(x,0)，则整理得：，解得．故仓库P在公路上，且在公路的右侧，离公路的距离为6千米处．【点睛】本题考查两点之间的距离公式．能建立合适的直角坐标系，并根据“A厂到P仓库的距离与B厂到P仓库的距离相等”列出方程是解决此题的关键．举一反三3列方程解应用题：如图，镇在镇的正西方向，两镇相距18千米，某公司位于镇的正南4千米处，从镇到公司的公路，途径、两镇之间的处，如要使镇到处，再到公司的总路程为20千米，那么处距离镇多少千米？【答案】15【分析】根据题意设AD=xkm，则BD=(18x)km，DC=(20x)km，进而利用勾股定理即可解答．【详解】解：设AD=xkm，则BD=(18x)km，DC=(20x)km，由题意可得：，解得：x=15，答：D处距离A镇15千米．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是读懂题意，表示出BD，CD的距离．一、单选题1．如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定【答案】B【分析】设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，利用勾股定理得到，则，解方程即可．【详解】解：设AE＝xkm，则BE＝（40﹣x）km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，C，D两村到煤栈的距离相等，∴，∴，∴，解得：x＝16，则煤栈E应距A点16km．故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键．2．如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，，于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：设，则，由勾股定理得：在中，，在中，，由题意可知：，所以：，解得：．所以，应建在距点处．故选：．【点睛】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．3．如图，在平面直角坐标系第一象限有一点P，其横坐标为3，在x轴上有一点A（﹣1，0）．已知PA两点间的距离为，则P的纵坐标为（）A．2 B．﹣2 C． D．1【答案】A【分析】设P点的纵坐标为y，则P（3，y），PA=，又PA两点间的距离为2，依此为等量关系列出方程求出y的值，即求出了点P的坐标．【详解】解：设P点的纵坐标为y（y＞0），则P（3，y），依题意得=2，解得y=2（舍去负值）．故选：A．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于利用两点间的距离公式，用y表示出PA的值，找出等量关系，列出方程求解．平面直角坐标系中的两点间的距离公式：如果A点的坐标为（x1，y1）、B点的坐标为（x2，y2），那么AB=．4．如图，高速公路上有,两点相距，,为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得,两村庄到站的距离相等，则的长是．

A．4 B．5 C．6 D．【答案】A【分析】根据题意设出的长为，再由勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：设km，则，在中，，在中，，由题意可知：，∴，解得：．所以，=．故选：A【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，根据题意构造方程，是本题的关键．二、填空题5．在平面直角坐标系中，已知点、，点在坐标轴上，且，写出满足条件的所有点的坐标．【答案】，，，【分析】本题考查了勾股定理与两点间距离公式，需要分类讨论：①当点C位于x轴上时，根据线段间的和差关系即可求出点C坐标；②当点C在y轴上时，根据两点间距离公式和勾股定理构成方程式，解答即可【详解】解：①当点C位于x轴上时，设点C坐标为（x，0），则，解得x=4或x=4；②当点C在y轴上时，由勾股定理得，解得y=±3综上所述，满足条件的所有点C的坐标为（4,0）（4,0）（0,3）（0，3）【点睛】本题的关键是掌握两点间距离公式和勾股定理6．若A(8，4)和点B(5，)间的距离是5，则＝．【答案】8或0【分析】根据两点的距离公式解答即可.【详解】根据两点的距离公式得（85）2+（k4）2=52，解得k=8或0，故答案为：8或0.【点睛】此题考查直角坐标系中点与点间距离的计算公式，勾股定理，正确掌握计算公式是解题的关键.7．已知点A、B都在轴上（点A在点B的左边），点A(3，0)，AB=6，则点Ｂ的坐标为．【答案】(3，0)或(9，0)【分析】数轴上两点间的距离即是两点间横坐标之间的距离，据此解题即可．【详解】xB=3或9故答案为：3或9【点睛】本题考查两点间的距离、数轴上两点间的距离等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．三、解答题8．“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等．(1)求市场E应建在距A多少千米处？(2)此时的形状是三角形，请直接写出答案，无需证明．【答案】(1)20(2)等腰直角【分析】本题考查了勾股定理的运用；（1）由得C、D两村庄到市场E的距离相等，可得，根据勾股定理列方程计算即可；（2）证明即可判断为等腰直角三角形．【详解】（1）设，则，∵于A，于B，已知，∴，，∵C、D两村庄到市场E的距离相等，∴，∴，解得，即∴市场应建在距千米处；（2）∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴为等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．9．爱思考的明明同学用下面的方法测量出家门前池塘两端A、B两点的距离．他是这样做的：选定一个点P，连接，在上取一点C，恰好有，，，，他立即确定池塘两端A、B两点的距离为．明明同学测量的结果正确吗？为什么？

【答案】明明同学测量的结果正确，理由见解析．【分析】由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，得出，再由勾股定理求出即可．【详解】明明同学测量的结果正确．理由如下：∵，，，，∴，，，∴，∴是直角三角形，，∴，∴．故明明同学测量的结果正确.【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的综合运用；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．10．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．【知识运用】(1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为米．(2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离．(3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为．【答案】(1)；(2)P点的位置见解析，的距离为16千米；(3)15．【分析】（1）连接，作于点E，根据，得到，，由平行线间的距离处处相等可得千米，千米，求出，然后利用勾股定理求得CD两地之间的距离；（2）连接，作的垂直平分线交于P，根据线段垂直平分线的性质可得，点P即为所求；设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后根据建立方程，解方程即可；（3）如图3，，，，，，设，则，然后根据轴对称求最短路线的方法求解即可．【详解】（1）解：如图1，