数学教案：直线方程的几种形式直线方程的一般式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精示范教案eq\o（\s\up7（）,\s\do5（整体设计））教学分析通过讨论直线的斜截式方程与二元一次方程的关系，归纳、总结出了结论：关于x、y的二元一次方程都表示一条直线,接着给出了直线的一般式方程的概念．同时，我们还可以得到结论:直线的方程都是关于x，y的二元一次方程，即对于每一条直线都可求出它的方程，而且是二元一次方程．三维目标1．掌握直线方程的一般式;了解直角坐标系中直线与关于x和y的一次方程的对应关系;培养学生树立辩证统一的观点；培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．2．会将直线方程的特殊形式化成一般式;会将一般式化成斜截式和截距式，培养学生归纳、概括能力;渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想．重点难点教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化．教学难点：归纳出直线的一般式方程．课时安排1课时eq\o（\s\up7()，\s\do5（教学过程）)导入新课设计1。前面所学的直线方程的几种形式,有必要寻求一种更好的形式，那么怎样的形式才能表示一切直线的方程呢?这节课我们就来研究这个问题．设计2。由下列各条件，写出直线的方程，并画出图形．(1）斜率是1,经过点A（1，8）；（2）在x轴和y轴上的截距分别是－7，7；（3)经过两点P1(－1,6)、P2（2，9)；(4)在y轴上的截距是7,倾斜角是45°.由两个独立条件，请学生写出直线方程的“特殊”形式分别为y－8＝x－1、eq\f（x，－7)＋eq\f(y，7）＝1、eq\f(y－6，9－6）＝eq\f（x＋1,2＋1)、y＝x＋7,教师利用计算机动态显示，发现上述4条直线在同一坐标系中重合．原来它们的方程化简后均可统一写成：x－y＋7＝0。这样前几种直线方程有了统一的形式，这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式．推进新课eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题）)eq\a\vs4\al(1写出二元一次方程的形式.,2斜率存在的直线y＝kx＋b，斜率不存在的直线x＝x1都能写成二元一次方程的形式吗？)eq\a\vs4\al（3二元一次方程Ax＋By＋C＝0A，B不同时为0表示直线吗？，4总结直线与二元一次方程之间有什么关系？）讨论结果：（1)二元一次方程的形式：Ax＋By＋C＝0.(2）直线y＝kx＋b化为kx－y＋b＝0。直线x＝x1化为x－0·y－x1＝0.因此都能化为二元一次方程的形式，即有以下结论：直线的方程都是关于x,y的二元一次方程．（3)关于x，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，①其中A，B不同时为0.下面分B≠0和B＝0两种情况加以讨论：①当B≠0时，方程①可化为y＝－eq\f（A,B)x－eq\f（C,B）。这是直线的斜截式方程．它表示斜率为－eq\f（A，B），在y轴上的截距为－eq\f(C，B)的直线．②当B＝0时，由于A，B不同时为0，必有A≠0，于是方程①可化为x＝－eq\f（C,A）。它表示一条与y轴平行或重合的直线．根据以上讨论，我们又得到下面的结论：关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．（4）直线与二元一次方程的关系：①直线的方程都是关于x，y的二元一次方程；②关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．因此，关于x，y的二元一次方程是直线的方程，我们把方程Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0)叫做直线的一般式方程．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例)）思路1例1已知直线通过点（－2,5)，且斜率为－eq\f(3,4），求此直线的一般式方程．解：由直线方程的点斜式,得y－5＝－eq\f(3,4）（x＋2),整理,得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.变式训练1．过点A(4，－3）,且斜率为－eq\f(2,3）的直线的一般式方程是______．答案：2x＋3y＋1＝02．过A（1,1)，B(－1,3）的直线的一般式方程是______．答案：x＋y－2＝0例2求直线l：2x－3y＋6＝0的斜率及在y轴上的截距．解：已知直线方程可化为y＝eq\f(2，3)x＋2.所以直线l的斜率k＝eq\f(2,3），在y轴上的截距是2。点评:本题主要考查将直线的一般式方程化为斜截式方程．变式训练1．直线x－eq\r（3）y＋4＝0的斜率为______，倾斜角＝______.答案：eq\f（\r(3),3)30°2．已知直线mx＋ny＋12＝0在x轴、y轴上的截距分别是－3和4,求m、n的值．解法一:由截距意义，知直线经过A(－3,0）和Q（0,4)两点,因此有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(m×－3＋n×0＋12＝0，,m×0＋n×4＋12＝0，)）解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m＝4,，n＝－3。）)解法二：由截距已知,也可将mx＋ny＋12＝0化为截距式得eq\f(x,－\f（12，m)）＋eq\f（y,－\f(12,n)）＝1.因此有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f（12，m)＝－3,,－\f(12，n）＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m＝4,，n＝－3。))

思路2例3设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1）y＝2m－6,根据下列条件确定m的值．（1)l在x轴上的截距为－3;(2)l的倾斜角为135°;（3)直线l与x轴平行．解:（1）由于l在x轴上的截距为－3，则l过点（－3,0)，∴（m2－2m－3）(－3）＝2m－6,解得m＝－eq\f（5,3）或m＝3(舍去),∴m＝－eq\f（5,3).(2)由l的倾斜角α＝135°,则斜率k＝tan135°＝－1，∴－eq\f(m2－2m－3，2m2＋m－1)＝－1，解得m＝－2，或m＝－1（舍去）．（3）由于l∥x轴,则l的斜率k＝0，∴－eq\f（m2－2m－3,2m2＋m－1）＝0解得m＝3或m＝－1（舍去）．点评:本题（1)易错认为m＝3也符合题意,通过（3)可以看出m＝3时，l与x轴平行，此时，l在x轴上不存在截距．变式训练1．直线Ax＋By＋C＝0，经过第一、二、三象限，则（）A．AB>0B．AB〈0C．AB＝0D．A与B的符号不确定解析：由题意，知直线的倾斜角为锐角，则k＝－eq\f(A，B)>0，则AB〈0。答案：B2．已知直线Ax＋By＋C＝0,（1)系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；（3)系数满足什么条件时只与x轴相交；(4）系数满足什么条件时是x轴；（5）设P(x0，y0）为直线Ax＋By＋C＝0上一点，证明这条直线的方程可以写成A(x－x0)＋B（y－y0）＝0。答案：(1)C＝0;（2)A≠0且B≠0；（3）即B＝0且A≠0；（4)A＝C＝0且B≠0;(5)证明：∵P（x0，y0）在直线Ax＋By＋C＝0上，∴Ax0＋By0＋C＝0，C＝－Ax0－By0.∴A(x－x0）＋B(y－y0)＝0.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练））1．经过点A(8，－2)，且斜率为3的直线的一般式方程为______．答案:3x－y－26＝02．经过点M(－3,0)，且与x轴垂直的直线的一般式方程为______．答案：x＋3＝03．斜率为－4,且在y轴上的截距为7的直线的一般式方程为______．答案:4x＋y－7＝04．在x、y轴上截距分别为3，－2的直线的一般式方程为______．答案：2x－3y－6＝05．直线x－2y＋2＝0化为斜截式方程为______，化为截距式方程为______．答案：y＝eq\f(1,2）x＋1eq\f（x，－2）＋eq\f(y，1)＝16．已知直线ax＋my＋2a＝0(a≠0)过点（1,－eq\r(3）)，求此直线的斜率k.解:由题意，得a－eq\r（3）m＋2a＝0,则m＝eq\r（3)a.∴直线方程为ax＋eq\r（3)ay＋2a＝0，又∵a≠0,∴整理,得x＋eq\r（3)y＋2＝0,化为斜截式，得y＝－eq\f(\r(3)，3）x－eq\f（2，3)eq\r(3),∴k＝－eq\f(\r(3）,3）。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升）)已知直线l的方程为y＝mx＋（2m＋1），若x∈（－1,1）时，y〉0恒成立，求m的取值范围．解：设f（x）＝mx＋(2m＋1），当x∈（－1,1）时，f(x）〉0恒成立，即当x∈(－1,1)时，f(x）的图象位于x轴上方,只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1≥0，,f1≥0，)）即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－m＋2m＋1≥0，,m＋2m＋1≥0，))解得m≥－eq\f(1，3)，即m的取值范围是[－eq\f（1，3),＋∞）．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结）)本节课学习了：1．直线的一般式方程；2．直线的方程化为一般式方程；一般式方程化为斜截式方程和截距式方程．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作业)）本节练习B2,3题．eq\o（\s\up7（）,\s\do5（设计感想))本节课的教学流程是这样设计的：激活旧知→归纳猜想→获得新知→转化巩固→重组网络→变式训练→迁移应用→小结归纳．两点可以确定一条直线，给出一点和直线的方向也可以确定一条直线，由两个独立条件选用恰当形式求出直线方程后，均应统一到一般式．直线的一般式方程中系数A、B、C的几何意义不很鲜明，常常要化为斜截式和截距式,所以各种形式应会互化．引导学生观察直线方程的特殊形式，归纳出它们的方程的类型都是二元一次方程，推导直线方程的一般式时渗透分类讨论的数学思想,通过直线方程各种形式的互化，渗透化归的数学思想，进一步研究一般式系数A、B、C的几何意义时，渗透数形结合的数学思想．安排变式练习，培养学生解决问题的技能．eq\o(\s\up7（),\s\do5(备课资料））直线方程的一般式是在学生学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式后的第5种形式．前4种形式都有其各自的优点，那么为什么还要学习一般式呢？实际上直线方程的一般式有其他4种形式无法实现的一个优点，它能表示平面内的任意一条直线．针对这个特点就想到先让学生寻找4种形式的不完备之处，那就是它们都有一定的应用范围，进而提出问题：平