2024-2025学年北京171中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京171中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线x+3y−2=0的倾斜角为A.π6 B.π4 C.π32.若A(−1,−2)，B(4,8)，C(5,x)，且A，B，C三点共线，则x=(

)A.−2 B.5 C.10 D.123.在空间直角坐标系O−xyz中，点A2,−1,1关于y轴的对称点为B，则AB=(

)．A.22 B.26 C.4.某居民小区户主人数和户主对住房户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用比例分配的分层随机抽样方法抽取25%的户主作为样本进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为(

)

A.400，32 B.400，36 C.480，32 D.480，365.如图，在三棱锥O−ABC中，D是BC的中点，若OA=a，OB=b，OC=c，则A.−a+b+c

B.−a6.已知a∈R，b∈R，则“a=3”是“直线ax+2y−1=0与直线(a+1)x−2ay+1=0垂直”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.若数据x1+m、x2+m、⋯xn+m的平均数是5，方差是4，数据3x数是4，标准差是s，则下列结论正确的是(

)A.m=2，s=36 B.m=2，s=6 C.m=4，s=36 D.m=4，s=68.如图，在四棱锥P−ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB=AB=2BC=4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为(

)A.23 B.C.2 D.9.如图所示，在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中，AB=1，AD=2，AA′=3，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，则A′C的长为(

)A.5

B.23

C.5

10.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的中点．若点P为侧面正方形ADD1A1内(A.52

B.1

C.12二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知空间向量a=(0,1,−1)，b=(x,y,2)，若a//b，则实数x=______，12.直线l，m的方向向量分别为a=(0,2,2)，b=(4,−4,0)，则直线l，m的夹角为______．13.已知空间三点A(1,−1,−1)，B(−1,−2,2)，C(2,1,1)，则AB在AC上的投影向量的坐标是______．14.已知两点A(1,−2)，B(2,1)，直线l过点P(0,−1)与线段AB有交点，则直线l斜率取值范围为______．15.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱B1C1的中点．动点P沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论：

①存在点P，使得PA1=PE；

三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

(1)经过点B(3,0)，且与直线2x+y−5=0垂直的直线一般式方程．

(2)求过点(−2,4)，且与直线2x+y+1=0平行的直线的一般式方程；

(3)求过点(−2,4)，且在x轴上的截距与在y17.(本小题14分)

对某校高三年级学生参加社区服务的次数进行统计，随机抽取M名学生，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出如下频率分布表和频率分布直方图．分组频数频率[10,15)100.20[15,20)24n[20,25)mp[25,30]20.04合计M1(1)求出表中M，p及图中a的值；

(2)若该校有高三学生300人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数；

(3)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数、中位数及平均数.(保留一位小数)18.(本小题14分)

文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)求样本成绩的第75百分位数；

(3)已知落在[50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数z−和总方差s2．19.(本小题15分)

如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=2，BD1和B1D交于点E，F为AB的中点．

(Ⅰ)求证：EF//平面ADD1A1；

(Ⅱ)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求

(i)平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值；

(ii)点A到平面CEF的距离．

条件①：CE⊥20.(本小题15分)

已知底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA//DQ，PA=3DQ=3，AD=2AB=2，且∠ABC=60°．

(1)求证：平面PAC⊥平面CDQ；

(2)线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是155，若存在，求出PM21.(本小题15分)

已知集合Sn={x|x=(x1,x2,…,xn)，xi∈{0,1}，i=1，2，…，n}(n≥2)，对于A=(a1,a2,…,an)∈Sn，B=(b1,b2,…,bn)∈Sn，定义A与B的差为A−B=(|a1−b1|,|a2−b2参考答案1.D

2.C

3.C

4.A

5.C

6.A

7.D

8.A

9.C

10.A

11.0

−2

12.60°

13.(214.[−1,1]

15.①②③

16.解：(1)设与直线2x+y−5=0垂直的直线方程为x−2y+m=0，

又该直线过点B(3,0)，

则3−2×0+m=0，解得m=−3，

所以所求直线方程为：x−2y−3=0；

(2)设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+n=0(n≠1)，

又该直线过点(−2,4)，则2×(−2)+4+n=0，解得n=−2，

所以所求直线方程为：2x+y−2=0；

(3)显然直线不过原点，设其方程为xa+yb=1，

则a+b=2−2a+4b17.解：(1)由分组[10,15)对应的频数是10，频率是0.20，可得10M=0.20，

解得M=50，

所以10+24+m+2=50，解得m=14，

所以p=mM=1450=0.28,a=2450×5=0.096；

(2)估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数为2450×300=144；

(3)估计该校高三学生参加社区服务次数的众数是15+202=17.5，

因为n=2450=0.48，

18.解：(1)∵每组小矩形的面积之和为1，

∴(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，

∴a=0.030．

(2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，

落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9，

设第75百分位数为m，

由0.65+(m−80)×0.025=0.75，得m=84，故第75百分位数为84；

(3)由图可知，成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=10，

成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20，

故z−=10×54+66×2010+20=62．

所以两组市民成绩的总平均数是62，

s2=119.证明：(Ⅰ)如图，连接AD1，B1D1，BD．

因为长方体ABCD−A1B1C1D1中，BB1/​/DD1且BB1=DD1，

所以四边形BB1D1D为平行四边形，

所以E为BD1的中点，

在△ABD1中，因为E，F分别为BD1和AB的中点，

所以EF/​/AD1，

因为EF⊄平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，

所以EF/​/平面ADD1A1；

解：(Ⅱ)选条件①：CE⊥B1D.

(i)连接B1C.

因为长方体中AA1=AD=2，所以B1C=22，

在△CBD1中，因为E为B1D的中点，CE⊥B1D，

所以CD=B1C=22，

如图建立空间直角坐标系D−xyz，因为长方体中A1A=AD=2,CD=22，

则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,22,0),B(2,22,0),F(2,2,0)，

B1(2,22,2),E(1,2,1)，

所以CE=(1,−2,1),CF=(2,−2,0)，CB=(2,0,0)，

设平面CEF的法向量为m=(x1,y1,z1)，

则m⋅CE=0m⋅CF=0，即x1−220.(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

所以PA⊥CD，

AD=2AB=2，可得AD=2，AB=1，∠ABC=60°，底面ABCD是平行四边形，

所以BC=AD=2，

由余弦定理可得AC=BC2+AB2−2AB⋅Bcos∠ABC=4+1−2×2×1×12=3，

可得AB2+AC2=BC2，

所以∠BAC=π2，即AC⊥AB，

可得AC⊥CD，

而AC∩PA=A，

所以CD⊥平面PAC，

因为CD⊂平面QCD，

所以平面PAC⊥平面CDQ；

(2)由(1)可得，以A为坐标原点，以AB，AC，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，PA=3DQ=3，可得DQ=1，

则A(0,0,0)，P(0,0,3)，C(0,3,0)，D(−1,3,0)，Q(−1,3,1)，

设平面PCQ的法向量为n=(x,y,z)，

CP=(0,−3,3)，CQ=(−1,0,1)，

则n⋅CP=0n⋅CQ=0，即−3y+3z=0−x+z=0，

令x=1，

可得n=(1,3,1)，

设线段PC上存在点M，满足条件，

设PM=λPC=λ(0,3,−3)=(0,3λ,−3λ)，