2024-2025学年高一上学期期中模拟考试数学试题（湘教版2019必修第一册第1-3章集合与逻辑 不等式 函数）（全解全析）

2024-2025学年高一数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：湘教版必修第一册第1章集合与逻辑+第2章一元二次函数、方程和不等式+第3章函数的概念与性质。5．难度系数：0.72。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，而，所以.故选：D2．设，则=（

）A．3 B．5 C．-1 D．1【答案】A【解析】，则.故选：A3．下列函数中在定义域上既是奇函数又是增函数的为（

）A．y＝x＋1 B．y＝－x2 C．y＝x3 D．【答案】C【解析】y＝x＋1是非奇非偶函数，y＝－x2是偶函数，y＝x3由幂函数的性质，是定义在R上的奇函数，且为单调递增，在定义域上为奇函数，不是定义域上的单调增函数，故选：C4．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，所以是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B．5．若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为函数的定义域为，所以，解得或，故函数的定义域为，故选：A.6．已知，下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】对于A，当时，，A错误；对于B，当时，，B错误；对于C，由，得，即成立，C正确；对于D，当时，，D错误.故选：C7．已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函数在上单调递减，根据分段函数单调性的判定方法，则满足且，解得，实数的取值范围为.故选：D.8．设函数，，若对任意的，存在，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意可得函数的值域为函数的值域的子集，当时，，即的值域为，若，则，即的值域为，而，符合要求；若，则由一次函数的性质可得，则有，解得，又，故；若，则由一次函数的性质可得，则有，解得，又，故；综上所述，.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知集合，则下列关系式表示正确的有（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】，对选项A：，错误；对选项B：，错误；对选项C：，正确；对选项D：，正确；故选：CD10．已知正数，满足，则下列选项正确的是（

）A．的最小值是2 B．的最小值是1C．的最小值是4 D．的最大值是【答案】AD【解析】A.，当且仅当，即时等号成立，故选项A正确.B.，当且仅当时等号成立，故选项B错误.C.，当且仅当时等号成立，故选项C错误.D.因为，所以，当且仅当时等号成立，故选项D正确.故选：AD11．已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于直线对称，，下列说法正确的是（

）A．g2+x=g2−x B．图像关于点C． D．【答案】ABD【解析】对于A，因为y=gx的图象关于直线对称，所以对于B，因为，所以，又因为，联立得，所以y=gx对于C，因为，所以，即，因为，代入得，即，因为，所以，因为，所以，所以，故C错误；对于D，由B选项可知，因为，所以.因为，所以，，所以，故D正确.故选：ABD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．命题“，”的否定是．【答案】，【解析】命题“，”的否定是，，，故答案为：，．13．已知，设，则函数的最大值是．【答案】1【解析】令，解得；令，解得或；所以，当时，在上单调递增，则；当时，在上单调递增，在上单调递减，且，，所以；综上所述：函数的最大值为1.故答案为：1.14．奇函数满足：对任意，，都有且，则不等式的解集为【答案】【解析】对任意，，都有，所以函数在上单调递减，又是定义在上的奇函数，所以在上单调递减，而，则，不等式化为，即，所以，有或，解得或，所以不等式解集为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）设全集，集合，.(1)若集合恰有一个元素，求实数的值；(2)若，，求.【解析】（1）∵集合恰有一个元素，，解得：；............................................................4分（2），；............................................................7分又，；............................................................10分即，............................................................13分16．（15分）已知集合．(1)求．(2)已知集合，若满足______，求实数的取值范围．请从①，②，③“”是“”的充分不必要条件中选一个填入（2）中横线处进行解答．【解析】（1）因为，，....................4分所以，所以或........................................................7分（2）选①，因为，所以，若，则，解得；............................................................10分若，则，解得，综上，，即的取值范围为.............................................................15分选②，因为，所以，若，则，解得；若，则，解得，综上，，即的取值范围为.............................................................15分选③，“”是“”的充分不必要条件，所以，若，则，解得；若，则且等号不能同时成立，解得，综上，，即的取值范围为.............................................................15分17．（15分）已知函数.(1)求关于的不等式的解集；(2)若，求函数在上的最小值.【解析】（1）由，得，即，当时，不等式，解得，不等式的解集为；当即时，不等式的解集为或；当即时，不等式的解集为或；.....................................................6分综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或.............................................................7分（2）由，得，解得，所以.............................................................9分因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立.所以当时，函数在上的最小值为.....................15分18．（17分）杭州亚运会田径比赛于2023年10月5日收官．在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．现一60kg的马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间）．疲劳阶段由于体力消耗过大变为的减速运动（表示该阶段所用时间），疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力．已知该运动员初始体力为，不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题：(1)请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；(2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？【解析】（1）由题可先写出速度关于时间的函数，..................................3分代入与公式可得解得；............................................................8分（2）①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值；.....................11分②疲劳阶段，则有当且仅当，即时，“”成立，所以疲劳阶段中体力最低值为5200kJ，............................................................15分由于，因此，在时，运动员体力有最小值5200kJ．.............................17分19．（17分）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且．(1)求的值，并证明：当时，；(2)判断的单调性，并证明；(3)若，求不等式的解集．【解析】（1）令，则，又，所以．............................................................2分证明：当时，，所以，又，所以，所以；............................................................5分（2）在R上单调递减．证明：设，则，又，所以，所