2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第02讲函数的单调性与最大(小)值(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

A． B． C． D．8．（2024下·全国·高二专题练习）若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（）A． B．C．或 D．二、多选题9．（2024·全国·高一专题练习）已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值可以是（

）A． B．1 C．2 D．310．（2023上·湖北恩施·高二恩施市第一中学校联考阶段练习）已知，，若对任意，存在，使，则实数的取值可以是（

）A． B．2 C．3 D．4三、填空题11．（2024上·广东茂名·高一高州市第四中学校考期末）已知函数，若，则实数的取值范围是.12．（2024上·云南昆明·高二校考期末）已知关于的不等式在上有解，则的取值范围为．四、解答题13．（2024上·天津·高一校联考期末）若函数为幂函数，且在单调递减．(1)求实数的值；(2)若函数，且，（ⅰ）写出函数的单调性，无需证明；（ⅱ）求使不等式成立的实数的取值范围．14．（2024上·广东茂名·高一统考期末）已知函数.(1)若，求实数的值，并求此时函数的最小值；(2)若为偶函数，求实数的值；(3)若在上是减函数，求实数的取值范围.15．（2024上·陕西安康·高一校考期末）已知函数（为常数）是奇函数.(1)求的值与函数的定义域；(2)若恒成立，求实数的取值范围.B能力提升1．（2024下·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2024上·江苏常州·高一统考期末）已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2024上·辽宁大连·高一统考期末）已知函数，对于任意且，都有，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（2024上·河北沧州·高一统考期末）已知函数，若，则实数a的取值范围为．5．（2024上·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）若幂函数为偶函数，则不等式的解集为.6．（2024上·云南·高一统考期末）若不等式对任意恒成立，则的取值范围为．C综合素养7．（2024上·江西抚州·高一统考期末）对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数的定义域为时，值域也为，则称区间为函数的“保值”区间．(1)求函数的所有“保值”区间．(2)函数的一个“保值”区间为，当变化时，求的最大值．8．（2024上·江苏盐城·高一盐城市第一中学校考期末）定义：若对定义域内任意，都有，（为正常数），则称函数为“距”增函数.(1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由；(2)若，，其中（）为常数.若是“2距”增的数，求的最小值.第02讲函数的单调性与最大（小）值(分层精练）A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）A夯实基础一、单选题1．（2024上·广东茂名·高一统考期末）下列函数中，在上为减函数的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据幂指对函数的增减性的判定即可得出答案．【详解】，因为，所以在上为增函数，故A错误；在上为减函数，所以在上为增函数，故B错误；，所以在上为减函数，故C正确；，所以在上为增函数，故D错误；故选：C．2．（2024上·四川凉山·高一统考期末）如果函数在区间上单调递减，那么实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列式计算即得.【详解】函数的单调递减区间是，依题意，，则，解得，所以实数k的取值范围是.故选：D3．（2024上·山东枣庄·高三枣庄八中校考阶段练习）记函数f(x)=在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M和m，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将函数分离常数变形后，判断出其单调性，根据单调性求出最值即可得解.【详解】因为f(x)==2+，所以f(x)在[3，4]上是减函数.所以m=f(4)=4，M=f（3）=6.所以=.故选：D.【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断，考查了利用函数单调性求函数最值，属于基础题.4．（2024上·浙江金华·高一统考期末）若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，求出函数在上的最大值即得.【详解】令函数，显然在上单调递减，，因为任意，不等式恒成立，于是，所以.故选：A5．（2024上·江西九江·高一九江一中校考期末）已知函数，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先确定函数的奇偶性与单调性，然后由奇偶性和单调性解不等式．【详解】由已知，∴是偶函数，又时，是增函数，所以不等式化为，则，解得，故选：C．6．（2024上·浙江湖州·高一统考期末）已知函数，则使成立的实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判断函数的单调性，再根据函数的单调性转化不等式，再求解不等式.【详解】函数单调递增，函数单调递减，所以函数单调递增，所以，即，，得，解得：所以不等式的解集为.故选：C7．（2024上·湖北·高一校联考期末）若函数在区间内单调递增，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用对数函数及复合函数的单调性计算即可.【详解】由已知得，解之得，即的定义域为，又在区间内单调递增，根据复合函数的单调性，可得：，解得．故选：D8．（2024下·全国·高二专题练习）若是区间上的单调函数，则实数的取值范围是（）A． B．C．或 D．【答案】C【分析】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于的不等式组，解出即可．【详解】由题意，，令，解得，令，解得或，所以在上单调递减，在，上单调递减，若函数在区间上单调，则或或，解得或或，即或.故选：C.二、多选题9．（2024·全国·高一专题练习）已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值可以是（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】CD【分析】由题意可知函数在定义域上单调递减，由分段函数的单调性可运算求得答案.【详解】由对任意，，可得函数在定义域上单调递减，则，即，可得，结合选项可知AB错误，CD正确.故选：CD.10．（2023上·湖北恩施·高二恩施市第一中学校联考阶段练习）已知，，若对任意，存在，使，则实数的取值可以是（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】ABC【分析】结合函数单调性求得的最小值，由题意可推出，故得到相应不等式，求出a的范围，即可求得答案.【详解】由题意时，，即；而，故在上单调递减，在上单调递增，所以，由于对任意，存在，使，过，即，结合选项，故实数的取值可以是，故选：ABC三、填空题11．（2024上·广东茂名·高一高州市第四中学校考期末）已知函数，若，则实数的取值范围是.【答案】【分析】先由解析式的和式结构判断函数的单调性，再利用函数单调性解抽象不等式.【详解】的定义域为，又在上单调递增，所以在上单调递增，由，得，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.12．（2024上·云南昆明·高二校考期末）已知关于的不等式在上有解，则的取值范围为．【答案】【分析】由参变量分离法可知，在有解，则，利用双勾函数的单调性求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】原不等式等价于在有解，则，又因为函数在上单调递增，则，所以．故答案为：.四、解答题13．（2024上·天津·高一校联考期末）若函数为幂函数，且在单调递减．(1)求实数的值；(2)若函数，且，（ⅰ）写出函数的单调性，无需证明；（ⅱ）求使不等式成立的实数的取值范围．【答案】(1)1(2)（ⅰ）在区间单调递增；（ⅱ）【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值再由题设条件取舍；（2）（ⅰ）根据单调性相同的两函数在公共区间上具有相同的单调性性质即得；（ⅱ）利用（ⅰ）的结论求解抽象不等式即得.【详解】（1）由题意知，解得：或，当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意；当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意；所以实数的值为1．（2）（ⅰ），在区间单调递增.证明如下：任取，则，由可得：，，则，即，故在区间单调递增.（ⅱ）由（ⅰ）知，在区间单调递增，又由可得：则，解得.14．（2024上·广东茂名·高一统考期末）已知函数.(1)若，求实数的值，并求此时函数的最小值；(2)若为偶函数，求实数的值；(3)若在上是减函数，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）由求出的值，再利用二次函数的性质可求出其最小值；（2）根据偶函数的定义可求出的值；（3）先求出的减区间，再根据在上是减函数，可求出实数的取值范围.【详解】（1）由题可知，，即，此时函数，故当时，函数.（2）若为偶函数，则有对任意，都有，即，故.（3）函数的单调减区间是，而在上是减函数，，即，故实数的取值范围为.15．（2024上·陕西安康·高一校考期末）已知函数（为常数）是奇函数.(1)求的值与函数的定义域；(2)若恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，函数的定义域为(2)【分析】（1）根据求出参数的值，再根据对数函数的性质求出函数的定义域；（2）由（1）可得，则对任意的恒成立，根据对数函数的性质计算可得.【详解】（1）因为函数（为常数）是奇函数，所以，则，即，所以，即，解得，当时，则令，解得，即函数的定义域为，且，所以为奇函数，符合题意，当时函数无意义，故舍去；综上可得，函数的定义域为.（2）因为，则，因为恒成立，所以对任意的恒成立，又在上单调递增，所以，所以，即的取值范围是.B能力提升1．（2024下·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】判断函数的奇偶性以及单调性，从而将不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，参变分离，再结合构造函数，利用导数求得函数的最小值，即可得答案.【详解】由于函数，定义域为R，满足，得是奇函数，且在R上为减函数.在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立.令，则，当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，，即a的取值范围为，故选：D.2．（2024上·江苏常州·高一统考期末）已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知结合函数的单调性可求的最大值与最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解.【详解】令，且在单调递减，所以的最小值为，可得，且，所以在上单调递增，所以因为存在，满足，则，所以解得：，故选：D.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集.3．（2024上·辽宁大连·高一统考期末）已知函数，对于任意且，都有，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意通过构造函数，说明其在上单调递减，对分类讨论即可得解.【详解】由题意不妨设，又对于任意且，都有，即对于任意且，都有，即，所以在上单调递减，当时，则在上单调递减，满足题意；当时，在上单调递减，此时对称轴为，若，则，即，故满足题意；若，则，即满足题意；综上所述，实数a的取值范围是.故选：D.4．（2024上·河北沧州·高一统考期末）已知函数，若，则实数a的取值范围为．【答案】【分析】定义法证明为偶函数，结合对勾函数的性质可得在上单调递增，不等式等价于，即，求解即可.【详解】因为的定义域为R，又，所以为偶函数．设，当时，，则，由对勾函数性质知，在上单调递增，当，即，只需，可得；综上，.故答案为：C综合素养7．（2024上·江西抚州·高一统考期末）对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数的定义域为时，值域也为，则称区间为函数的“保值”区间．(1)求函数的所有“保值”区间．(2)函数的一个“保值”区间为，当变化时，求的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）求出函数的单调区间，利用“保值”区间的定义分类讨论求解即得.（2）分析函数的单调性，利用“保值”区间的定义建立方程，再转化为一元二次方程求解即可.【详解】（1）函数在上单调递增，在上单调递减，令区间为函数的“保值”区间，则在上单调，即有或，当时，在区间上单调递增，则，即，于是是方程，即的两个不同的非正实根，显然，方程两根异号，与矛盾，即不符合题意；当时，在区间上单调递减，则，即，则有，所以函数的“保值”区间为.（2）令，显然函数在上单调递增，由是函数的一个“保值”区间，得或，且在上单调递增，则，即是方程，即的两个同号的不等根，于是，解得，且，因此，当且仅当时取等号，所以当时，取得最大值.【点睛】关键点睛：根据新定义构造满足条件的方程（组），将新定义转化为熟悉的数学模型求解是解题的关键.8．（2024上·江苏盐城·高一盐城市第一中学校考期末）定义：若对定义域内任意，都有，（为正常数），则称函数为“距”增函数.(1)若，，判断是否为“1距”增函数，并说明理由；(2)若，，其中（）为常数.