2024-2025学年高考数学一轮复习讲义(新高考)第08讲函数与方程(含新定义解答题)(分层精练)(学生版+解析)

第08讲函数与方程(分层精练）A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）A夯实基础一、单选题1．（2024上·天津·高一校联考期末）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．2．（2024上·安徽·高一校联考期末）用二分法求函数的零点时，初始区间可选为（

）A． B． C． D．3．（2024上·江西吉安·高一统考期末）下列区间内存在方程的根的是（

）A． B． C． D．4．（2024上·河南新乡·高一统考期末）已知函数在内的一个零点附近的函数值如下表：则该零点所在的区间为（

）A． B． C． D．5．（2024上·福建龙岩·高一校联考期末）美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为1.5米，要让该植物的高度超过2.8米，至少需要（

）年．A．3 B．4 C．5 D．66．（2024下·河北保定·高一河北安国中学校联考开学考试）函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2024下·山东济宁·高三校考开学考试）是定义在上的函数，对于任意的，都有且时，有，则函数的所有零点之和为（

）A．10 B．13 C．22 D．268．（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（）A． B． C． D．0二、多选题9．（2024下·广东湛江·高二校考开学考试）已知函数的图象与直线有两个不同交点，则正实数a的取值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．110．（2024上·河南安阳·高一林州一中校考期末）已知函数，，，，是函数的4个零点，且，则（

）A．的取值范围是 B．C．的取值范围为 D．的最大值是三、填空题11．（2024上·江西九江·高一江西省庐山市第一中学校考期末）已知函数，且时，，则的取值范围是.12．（2024上·河南驻马店·高一统考期末）给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若是的一个“点”，则实数的值为．若为“函数”，则实数的取值范围为．B能力提升1．（2024下·四川雅安·高三雅安中学校联考开学考试）已知函数，若存在，使得，则下列结论不正确的是（

）A． B．C．在内有零点 D．若在内有零点，则2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则函数的零点个数是（

）A．6 B．8 C．10 D．123．（2024·山西吕梁·校考模拟预测）用[]表示不大于实数a的最大整数，如[1.68]=1，设分别是方程及的根，则（

）A．2 B．3 C．4 D．54．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）已知，符号表示不大于的最大整数，比如，，若函数有且仅有个零点，则实数的取值范围是．5．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）已知定义在上的函数满足：①的图象关于直线对称，②函数为偶函数；③当时，，若关于x的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围是．C综合素养6．（2024上·安徽安庆·高一安庆一中校考期末）设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”．(1)若函数为“函数”，求实数的值；(2)证明：函数为“函数”；(3)若函数为“函数”，求实数的取值范围．7．（2024上·湖南郴州·高一统考期末）对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.若函数，，若存在，使得，则称为函数的稳定点.(1)证明：函数不动点一定是函数的稳定点.(2)已知函数，（Ⅰ）当时，求函数的不动点和稳定点；（Ⅱ）若存在，使函数有三个不同的不动点，求的值和实数的取值范围.8．（2024上·江苏徐州·高一统考期末）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”.(1)判断函数，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由；(2)若函数是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；(3)设，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，.证明：方程在区间上有解.第08讲函数与方程(分层精练）A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）A夯实基础一、单选题1．（2024上·天津·高一校联考期末）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在求得函数定义域上，根据函数的单调性和某区间的端点函数值异号即可判定.【详解】因函数的定义域为，且在上单调递增，由，根据零点存在定理该函数的零点所在的区间是.故选：A.2．（2024上·安徽·高一校联考期末）用二分法求函数的零点时，初始区间可选为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】计算出，结合零点存在性定理得到答案.【详解】，则，即初始区间可选．故选：D．3．（2024上·江西吉安·高一统考期末）下列区间内存在方程的根的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的零点个数与方程的实根个数的关系，利用零点存在定理结合图形判断即得.【详解】令，显然函数在R上连续，因，故在区间上存在零点，即方程在区间上有实数根．

如图，作出函数和的图象，由图可知和有两个交点，因，，即，所以在区间上存在零点，即方程在区间上有实数根，由选项可知只有C项符合题意.故选：C.4．（2024上·河南新乡·高一统考期末）已知函数在内的一个零点附近的函数值如下表：则该零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判定函数的单调性，然后将表中数据按照从小到大排列，根据函数零点存在性定理即可求解.【详解】因为函数和都是上的单调增函数，所以函数为单调递增函数.将表格中数据按照从小到大排列如下：由表格可得：.由函数零点存在性定理可得：函数有唯一零点，所在的区间为.故选：C.5．（2024上·福建龙岩·高一校联考期末）美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为1.5米，要让该植物的高度超过2.8米，至少需要（

）年．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由题设有，即可求参数、的值，进而判断的单调性且，即可判断植物的高度超过至少需要多少年.【详解】依题意可得，则，解得，∴，因为在定义域上单调递减，且，又在上单调递减，所以在上单调递增，而，，即，∴该植物的高度超过，至少需要年.故选：C.6．（2024下·河北保定·高一河北安国中学校联考开学考试）函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】当时，解二次方程得函数零点，当时，把函数零点个数转化为函数与函数的交点个数，即可求解.【详解】当时，令，解得或；当时，令，则，画出函数与函数的图象，可知在上有一个公共点.故的零点个数为3.故选：C7．（2024下·山东济宁·高三校考开学考试）是定义在上的函数，对于任意的，都有且时，有，则函数的所有零点之和为（

）A．10 B．13 C．22 D．26【答案】C【分析】根据函数的对称性可得函数的周期为4，进而根据函数图象，结合对称性即可求解.【详解】因为对于任意的，都有，，所以为的一条对称轴，为的一个对称中心，故所以为的周期，由得，又由时，有，可以画出与的图象，如图:由于也关于对称，且当时，，

由图象可得，函数共有11个零点，故所有零点之和为.故选:C8．（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间上的所有实根之和为（）A． B． C． D．0【答案】B【分析】首先利用函数的性质画出两个函数的图象，再结合对称性求所有实数根的和.【详解】由题意知，关于点对称，函数的周期为2，则函数，在区间上的图象如下图所示：由图形可知函数，在区间上的交点为，易知点的横坐标为,若设的横坐标为，则点的横坐标为，所以方程在区间上的所有实数根之和为.故选：B二、多选题9．（2024下·广东湛江·高二校考开学考试）已知函数的图象与直线有两个不同交点，则正实数a的取值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．1【答案】BC【分析】在同一坐标系中作出两函数的图象，观察图象可得到a的取值范围.【详解】在同一坐标系中作出函数与的大致图象，如图所示，两图象都经过，易知只有时才能在的区域有第二个交点，故的取值范围.故选：BC

10．（2024上·河南安阳·高一林州一中校考期末）已知函数，，，，是函数的4个零点，且，则（

）A．的取值范围是 B．C．的取值范围为 D．的最大值是【答案】BD【分析】作出函数的图象，结合图象判断A，对方程化简，利用基本不等式求出范围判断B，由对数的运算性质得出，利用函数单调性和基本不等式可判断C，D.【详解】作出函数的图象，如图所示：对选项A，由条件，函数有4个零点，即有4个不等实数根，即与的图象有四个交点，由图象知，故选项A错误；对选项B，因为，，，是函数的4个零点，且，所以，，所以，所以，，由，所以，即，所以，因为，当且仅当时等号成立，又因为，所以，即，所以，所以，即，故选项B正确；对选项C，因为，，，所以由图可知，，由，，得，因为，所以，所以，所以，

即，所以

，因为，且在单调递减，所以，即的取值范围不为，故选项C错误；对选项D，由选项B可得，，所以，由选项C可知，，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以的最大值是，故选项D正确.故选：BD.三、填空题11．（2024上·江西九江·高一江西省庐山市第一中学校考期末）已知函数，且时，，则的取值范围是.【答案】【分析】由题意画出图形，得出各自的范围以及关系，进一步即可求解.【详解】

，结合图形可得，，，∵，∴，∴，∴，∴.故答案为：.12．（2024上·河南驻马店·高一统考期末）给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数的一个“点”．设函数，若是的一个“点”，则实数的值为．若为“函数”，则实数的取值范围为．【答案】3【分析】对于第一空，由题可知，代入相应解析式可得答案；对于第二空，为“函数”，则函数，与函数图象有交点，据此可得答案.【详解】对于第一空，因是的一个“点”，则；对于第二空，由题可知为“函数”，即函数在定义域内的图像中，存在中心对称的两点，即函数的图象，与函数关于原点对称的函数的图象有交点，即方程有大于0的解.，当且仅当，即时取等号，故答案为：.故答案为：3；.四、解答题13．（2024上·广东茂名·高一统考期末）已知二次函数满足，且，为偶函数，且当时，．

(1)求的解析式；(2)在给定的坐标系内画出的图象；(3)讨论函数（）的零点个数．【答案】(1)(2)作图见解析(3)答案见解析【分析】（1）设出解析式，根据题目条件得到方程组，求出，得到解析式；（2）根据函数的奇偶性得到的解析式，从而画出函数图象；（3）在（2）的基础上，得到函数零点个数【详解】（1）设，则因为，故，所以，解得，因此；（2）当时，，当时，，则，为偶函数，故，故，综上，，画出函数图象如下：

（3）由图可知，，，当时，函数没有零点，当时，函数只有两个零点，当时，函数有四个零点，当时，函数有三个零点，当时，函数有两个零点14．（2024上·江苏南京·高一统考期末）已知函数.(1)若函数为奇函数，求的值；(2)当时，用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；(3)若函数有两个不同的零点，求的取值范围.【答案】(1)1(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据得到方程，求出，验证后得到答案；（2）定义法求解函数单调性步骤：取点，作差，判号，下结论；（3）换元后得到在有两个不同的实数解，由根的判别式和对称轴得到不等式，求出的取值范围.【详解】（1）的定义域为R，且为奇函数，由，得，此时.因为，所以为奇函数，故.（2）当时，.任取，且，则，因为，所以，所以，即，所以函数在上单调递增.（3）有两个不同的零点，等价于有两个不同的实数解.令，则在有两个不同的实数解，令，其中，所以，解得.所以的取值范围为.B能力提升1．（2024下·四川雅安·高三雅安中学校联考开学考试）已知函数，若存在，使得，则下列结论不正确的是（

）A． B．C．在内有零点 D．若在内有零点，则【答案】A【分析】根据函数的单调性结合零点存在定理逐项判断即可得结论.【详解】因为在上单调递增，且，，所以，，根据零点存在定理可得函数在内有零点，故C正确；又因为，所以，故B正确；又因为，则可能大于，故A不正确；若函数在内有零点，则，故D正确.故选：A.2．（2024·全国·高一专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，都有，当时，，则函数的零点个数是（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】由函数偶函数性质及结合得到函数的周期，然后求出的在上的解析式，则求的零点就等价于函数与函数图象的交点，作出相关图形，从而可求解.【详解】由函数为偶函数，所以，因为对任意，都有，即，所以函数的周期，当时，，则，对于函数的零点等价于函数与函数图象的交点，如图所示，一共有10个交点，故C正确.故选：C.3．（2024·山西吕梁·校考模拟预测）用[]表示不大于实数a的最大整数，如[1.68]=1，设分别是方程及的根，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】用零点存在性定理确定两个根的取值范围即可.【详解】因为分别是方程，的根，则分别是函数及的零点，而函数是单调递增函数，又，，则，函数在上单调递增，，，则，因此，所以.故选：C【点睛】方法点睛：利用零点存在性定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.4．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）已知，符号表示不大于的最大整数，比如，，若函数有且仅有个零点，则实数的取值范围是．【答案】【分析】问题转化为直线与函数在上的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围.【详解】当时，由可得，问题转化为直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示：

当直线经过点时，则有，可得；当直线经过点时，则有，可得.由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点.因此，实数的取值范围是.故答案为：.5．（2024上·河北石家庄·高一石家庄市第二十四中学校考期末）已知定义在上的函数满足：①的图象关于直线对称，②函数为偶函数；③当时，，若关于x的不等式的整数解有且仅有个，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据函数性质可知函数关于，对称，且周期为4，再利用上的解析式，画出函数图象，有数形结合即可求得实数的取值范围.【详解】由函数为偶函数可知，函数关于对称，且，即，又因为关于对称，所以，即，可得函数的周期，当时，可得其图象如下所示：由对称性可知，当时满足不等式的整数解有3个即可，根据图示可得，解得，即.故答案为：.【点睛】方法点睛：函数图象在方程、不等式中的应用策略(1)研究两函数图象的交点个数：在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解；(2)确定方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数图象与轴的交点的横坐标，方程的根就是函数与图象交点的横坐标；(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.C综合素养6．（2024上·安徽安庆·高一安庆一中校考期末）设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”．(1)若函数为“函数”，求实数的值；(2)证明：函数为“函数”；(3)若函数为“函数”，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)证明见详解；(3)【分析】（1）根据新定义函数的性质，写出f(x)满足的等式进而求解出结果；（2）令，得，设，，根据图象可知有解，得证；（3）根据题意得，，进而整理得存在实数使得，再结合和讨论求解即可.【详解】（1）由为“函数”，得，即，解得，故实数的值为；（2）由，则，，令，得，设，，如图可知，两函数由一个交点，即存在实数，使得成立，所以函数为“函数”；【详解】（1）证明：若实数是的一个不动点，则，所以，故函数不动点一定是函数的稳定点.（2）（Ⅰ）当时，，∴，解得：或所以函数的不动点为1和；又∴解得：或，或或所以函数的稳定点为1和；解法2：所以函数的不动点为1和；由得即，由（Ⅰ）可知函数的不动点1和一定是稳定点，故可令，从而由待定系数法可求得，，所以，解得或，或或所以函数的稳定点为1和；（Ⅱ）若存在，使函数有三个不同的不动点，当时，令，当且仅当时取等号，又，由，可化为，关于的方程有三个不等实根，令，，由于非负数，如果有两个不同正根，方程必有四个解即四个不同的不动点，与题设矛盾；如果有且只有一个正根，只有两个不动点，与题设矛盾；所以必有一根为正根和一个零