人教版2024-2025学年八年级数学专题15.1分式的混合运算与化简求值(压轴题专项讲练)专题特训(学生版+解析)

专题15.1分式的混合运算与化简求值【典例1】阅读理解：材料1：已知x+1x=3解：活用倒数，∵x2∴xx材料2：将分式x2解：由分母x+1，可设x2−x+3=(x+1)(x+a)+b，则∵对于任意x上述等式成立，∴a+1=−1,a+b=3.解得∴x2根据材料，解答下面问题：（1）已知a+1a=5，则分式a（2）已知b−1b=−3，求分式b（3）已知x+1x−2=−73【思路点拨】（1）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；（2）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；（3）根据材料1和材料2，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【解题过程】（1）解：∵a+∴2∴a故答案为：110（2）∵b−∴b−1b2∴b则：3∴b故答案为：129（3）3由分母x−2，可设x2则：x对于任意x上述等式成立，∴a−2=−3−2a+b=3，解得，a=−1∴3又∵x+1x−2∴3∴x−23故答案为：−11．（2022秋·八年级课时练习）已知实数x，y，z满足1x+y+1y+z+1z+x＝76，且zx+y+xA．12 B．14 C．727 2．（2022秋·八年级课时练习）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+A．-1 B．−12 C．2 3．（2022·福建·九年级统考竞赛）若正数a，b，c满足abc1，a+1b=3,b+4．（2022秋·上海徐汇·七年级上海市田林第三中学校考阶段练习）（1）计算：a2（2）2x−45．（2022·广东深圳·统考一模）先化简：（2a+2+a2−4a26．（2022春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考自主招生）先化简，后求值：x3+xy2+1x37．（2023春·八年级单元测试）先阅读，再答题：12×313×4……一般地，有1n（1）计算：1x+1（2）计算：1x8．（2022秋·全国·七年级期末）xyx+y=1，9．（2022春·八年级课时练习）已知3x−2y−4z=0，2x+y−5z=0且xyz≠0，求1z10．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知x,y为整数，且满足1x+111．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b12．（2022·福建·九年级专题练习）已知x=a1b+1c（1）当a=1，b=1，c=2时，求1x−1（2）当ab+bc+ac≠0时,求1x+113．（2022·七年级单元测试）已知a、b、c为实数，且满足下式：①a2②a1求a+b+c的值.14．（2023春·江苏·八年级专题练习）Sn为n的各位数字之和，例S（1）当10≤n≤99时，求nS（2）当100≤n≤999时，求nS（3）当1000≤n≤9999时，求nS15．（2022秋·全国·八年级专题练习）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x=|a|a+|b|b的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b解：①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，③当两个字母a，b中有0个正，2个负时．（1）根据小明的分析，求x=|a|（2）若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，求代数式|a+b|c16．（2023春·浙江·七年级专题练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是（填序号）．①2x+3x

②3+x3

③x+4x+3（2）将“和谐分式”a2（3）应用：先化简3x+6x+1−x−117．（2023春·八年级课时练习）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M−N=MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．（1）已知分式2a2−1，试说明2（2）小聪在求分式1x设1x2+y2∴1x2+请你仿照小聪的方法求分式x+y2x−3y（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式ab−a②若n−2mx+m2+n是18．（2023春·八年级课时练习）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：x2x+1⋅x−1x+1这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：1x+1，（1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式：−x2−2xx2+2x+1（2）解分式方程：x2（3）当x取什么整数值时，分式x4（4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能整除这个两位数，求满足条件的三位数m．19．（2023春·八年级课时练习）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．例1：分解因式x解：将“x2+2x原式=y例2：已知ab=1，求11+a解：1请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：（1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式x2（2）计算：1−2−3−⋯−2021×（3）①已知ab=1，求11+②若abc=1，直接写出5aab+a+120．（2022·全国·九年级专题练习）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．例：已知：xx2+1解：∵xx2+1=∴x+1x材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”，将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若2x=3y=4z，且xyz≠0，求xy+z解：令2x=3y=4z=k(k≠0)则x=k2，y=k3根据材料回答问题：（1）已知xx2−x+1（2）已知a5=b（3）若yzbz+cy=zxcx+az=xyay+bx=x2+

专题15.1分式的混合运算与化简求值【典例1】阅读理解：材料1：已知x+1x=3解：活用倒数，∵x2∴xx材料2：将分式x2解：由分母x+1，可设x2−x+3=(x+1)(x+a)+b，则∵对于任意x上述等式成立，∴a+1=−1,a+b=3.解得∴x2根据材料，解答下面问题：（1）已知a+1a=5，则分式a（2）已知b−1b=−3，求分式b（3）已知x+1x−2=−73【思路点拨】（1）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；（2）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；（3）根据材料1和材料2，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．【解题过程】（1）解：∵a+∴2∴a故答案为：110（2）∵b−∴b−1b2∴b则：3∴b故答案为：129（3）3由分母x−2，可设x2则：x对于任意x上述等式成立，∴a−2=−3−2a+b=3，解得，a=−1∴3又∵x+1x−2∴3∴x−23故答案为：−11．（2022秋·八年级课时练习）已知实数x，y，z满足1x+y+1y+z+1z+x＝76，且zx+y+xA．12 B．14 C．727 【思路点拨】把zx+y+xy+z+yz+x=11两边加上3，变形可得x+y+zx+y【解题过程】解：∵z∴1+z即x+y+zx+y∴1而1x+y∴14∴x+y+z=12．故选：C．2．（2022秋·八年级课时练习）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b2+A．-1 B．−12 C．2 【思路点拨】观察所给算式可得c−1=1−a−b,a−1=1−b−c,b−1=1−a−c,代入整理之后对算式进行通分即可．【解题过程】解：由a+b+c=2可得：c−1=1−a−b,a−1=1−b−c,b−1=1−a−c，则1====∵a+b+c=2,∴a+b+c∴ac+bc+ab=1故原式=−1故选：D．3．（2022·福建·九年级统考竞赛）若正数a，b，c满足abc1，a+1b=3,b+【思路点拨】计算a+1bb+1c【解题过程】解：解法一：因为a+==abc+a+c+=所以3×17×c+解得c+1故答案为：1125解法二：由abc=1a+1b因此17−b=3b−1，b=9由此可得a=259，所以c+故答案为：11254．（2022秋·上海徐汇·七年级上海市田林第三中学校考阶段练习）（1）计算：a2（2）2x−4【思路点拨】（1）先分解因式，再化简计算；（2）先计算括号里面的，再分解因式，计算除法.【解题过程】解：（1）a2===（2）2x−4===−x5．（2022·广东深圳·统考一模）先化简：（2a+2+a2−4a2【思路点拨】直接将括号里面进行加减运算，再利用分式的除法运算法则计算得出答案，注意分式的有意义．【解题过程】解：2====1∵a−2≠0,aa−2∴a≠−2,0,2，当a=1时，原式=16．（2022春·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考自主招生）先化简，后求值：x3+xy2+1x3【思路点拨】利用因式分解和整式运算法则逐步化简整式，再借助已知条件计算x，y的值，代入求解即可．【解题过程】解：原式=x=xy(=====∵x−2+∴x−2+即x−2+∵x−2≥0，(y−3)∴x−2=0，y−3=0，解得：x=2，y=3，将其代入，可得原式=2×37．（2023春·八年级单元测试）先阅读，再答题：12×313×4……一般地，有1n（1）计算：1x+1（2）计算：1x【思路点拨】（1）根据题目提供结论化简为1x+1（2）根据题目提供结论将原式变形为121x再进行同分母分式加减，最后进行异分母分式加减，化简即可求解．【解题过程】（1）解：1====2（2）1======10118．（2022秋·全国·七年级期末）xyx+y=1，【思路点拨】对已知等式求倒数变形，整理求出1x+1y+1z的值，进而分别求出1x、1y、1z的值，从而确定x，【解题过程】解：∵xyx+y∴x+yxy=1，y+z∴21x+∴1z∴x=12∴x+y+z=129．（2022春·八年级课时练习）已知3x−2y−4z=0，2x+y−5z=0且xyz≠0，求1z【思路点拨】先根据已知，求得x=2z，y=z，之后再化简式子，化简之后将我们求到的值代入即可求到最后的答案．【解题过程】解：由3x−2y−4z=0，2x+y−5z=0得x=2z，y=z．∴原式====将x=2z，y=z代入得9410．（2022秋·全国·八年级专题练习）已知x,y为整数，且满足1x+1【思路点拨】根据平方差公式和约分法则把原式化简，根据取整法则解答即可．【解题过程】解：∵(1∴(1∴(1∴(1∴1x+1∴x+y=0或1x由1x−1由于x，y为整数，当y=1时，x为整数-2，则x+y=-1；当y=-1时，x为-25当y=2时，x为整数-1，则x+y=1；当y=-2时，x为-12综上，x+y的值为0或±1．11．（2022秋·湖南岳阳·八年级统考期末）已知abc=1，a+b+c=2，a2+b【思路点拨】先根据完全平方公式得到a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=4，进一步推出ab+bc+ac=−6，由ca+3b+3=c−3a−3，由此代入所求式子中并化简得到【解题过程】解：∵a+b+c=2，∴a+b+c2∴a2∵a2∴ab+bc+ac=−6，∵a+b+c=2，∴c=2−a−b，∴3c+3=9−3a−3b，∴ab+3c+3=ab+9−3a−3b==a=a−3同理可得：bc+3a+3=b−3ca+3b+3=c−3∴=======−712．（2022·福建·九年级专题练习）已知x=a1b+1c（1）当a=1，b=1，c=2时，求1x−1（2）当ab+bc+ac≠0时,求1x+1【思路点拨】（1）分别对x、y进行化简，然后求值即可；（2）分别求出x＋1、y＋1、和z＋1【解题过程】解：（1）∵x=ac+ab当a=1,b=1,c=2时，∴x−1=∴y−1=∴（2）x+1=ac+aby+1=bc+abz+1=bc+ac∵ab+bc+∴1==1.13．（2022·七年级单元测试）已知a、b、c为实数，且满足下式：①a2②a1求a+b+c的值.【思路点拨】先对②式进行变形，主要是给等式左边每一大项一个1，再整理成两式积等于0的形式，讨论每个式子等于0的情况，最后可求出a＋b＋c的所有值．【解题过程】解：将②式因式分解变形如下：a1即a1所以a+b+c1即a+b+cbc+ac+ab所以a+b+c=0或bc+ac+ab=0，若bc+ac+ab=0，则a+b+c2=a2所以a+b+c=±1，所以a+b+c的值为0、1、−1.14．（2023春·江苏·八年级专题练习）Sn为n的各位数字之和，例S（1）当10≤n≤99时，求nS（2）当100≤n≤999时，求nS（3）当1000≤n≤9999时，求nS【思路点拨】（1）设两位数的十位数字为a，个位数字为b，则nSn=10a+ba+b（2）设这个三位数的百位数字是a，十位数字是b，个位数字为c，根据（1）中的方法进行求值即可；（3）设这个四位数的千位数字是a，百位数字是b，十位数字为c，个位数字是d，参照（1）中的方法进行求解即可．【解题过程】解：（1）设两位数的十位数字为a，个位数字为b，则nS要使nSn的值最小，则则∵10≤n≤99，∴a=1,b=9，∴nSn最小为（2））设这个三位数的百位数字是a，十位数字是b，个位数字为c；要使nSn=∵100≤n≤999，∴a=1,c=9，∴nS∴b=9，∴（3）设这个四位数的千位数字是a，百位数字是b，十位数字为c，个位数字是d；则nS则a=1,d=9，∴nSn=∴nSn的最小值为15．（2022秋·全国·八年级专题练习）数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x=|a|a+|b|b的值．小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b解：①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，③当两个字母a，b中有0个正，2个负时．（1）根据小明的分析，求x=|a|（2）若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，求代数式|a+b|c【思路点拨】（1）根据a，b，是非零实数，分三种情况进行讨论：①两正零负；②一正一负时；③零正2负时；分情况讨论求值即可．（2）根据a，b，c是非零实数，分两种情况进行讨论：①分两正一负；②一正两负；分情况讨论求值即可．【解题过程】解：（1）①当a，b中有2个正，0个负时，原式x=|a|②当a,b中有1个正，1个负时，原式x=|a|③当a,b中有0个正，2个负时，原式x=|a|综上所述，x的值为−2或0或2．（2）∵a+b+c=0，∴a+b=−c，b+c=−a，c+a=−b，a，b，c不可能都为正或都为负，∴|a+b|c①当a，b，c中有两正一负时，原式=|−c|②当a，b，c中有一正两负时，原式=|−c|综上所述|a+b|c+|b+c|16．（2023春·浙江·七年级专题练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1（1）下列分式中，不属于“和谐分式”的是（填序号）．①2x+3x

②3+x3

③x+4x+3（2）将“和谐分式”a2（3）应用：先化简3x+6x+1−x−1【思路点拨】（1）把给出的各式进行处理，根据和谐分式的定义判断；（2）把分式先变形为a2（3）先算除法，把分式转化成和谐分式，再确定x的值．【解题过程】解：（1）①2x+3x=2+3x；②3+x3∴①③④属于和谐分式，②不属于和谐分式；故答案为：②；（2）原式=a（3）原式====2x+4根据题意得：原式=2(x+1)+2当原式的值为整数时，x+1应该是2的因数，∴x+1=1或x+1=−1或x+1=2或x+1=−2解得：x=0或x=−2或x=1或x=−3，∵x≠0且x≠−1且x≠1且x≠−2，∴当x=−3时，该式的值为整数．17．（2023春·八年级课时练习）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M−N=MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．（1）已知分式2a2−1，试说明2（2）小聪在求分式1x设1x2+y2∴1x2+请你仿照小聪的方法求分式x+y2x−3y（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式ab−a②若n−2mx+m2+n是【思路点拨】（1）根据“关联分式”的定义进行判断即可；（2）仿照小聪的方法进行求解即可；（3）①根据解析（2）找规律求出ab−a②根据关联分式分子，分母规律可知，n−2=m+2①【解题过程】（1）解：∵2a2a∴2a2+1（2）解：设x+y2x−3y的关联分式是N，则：x+y∴x+y2x−3y∴3x−2y2x−3y∴N=x+y（3）解：①根据解析（2）可知，ab−aab−a故答案为：ab②∵n−2mx+m2∴n−2=m+2①由①得m−n=−4，由②得：m2即m+nm−n把m−n=−4代入得：−4m+n解得：m+n=1故答案为：1218．（2023春·八年级课时练习）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：x2x+1⋅x−1x+1这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：1x+1，（1）参考上面的方法，将下列分式化为带分式：−x2−2xx2+2x+1（2）解分式方程：x2（3）当x取什么整数值时，分式x4（4）一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能整除这个两位数，求满足条件的三位数m．【思路点拨】（1）两式根据材料中的方法变形即可得到结果；（2）原式利用材料中的方法变形化简方程即可求解；（3）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时，整数x的值；（4）设三位数的百位数字为x，十位数字为y，然后表示出m，n的表达式，再计算m2【解题过程】解：（1）−3（2）xx3−2∴x2-x-6=x2-4x+4，∴3x=10，∴x=10经检验：x=10（3）x=∴当x=0时，原式=2为整数；（4）设三位数的百位数字为x，十位数字为y，则个位数字为2x，n=10x+y，m=100x+10y+2x=102x+10y，∵2x＜10，∴x＜5，m===100(10x+y)+40x+∵m2∴4x∵0＜x＜5且x为整数，0＜y＜10且y为正整数，当x=3，y=6时，4x∴m=366．19．（2023春·八年级课时练习）知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．例1：分解因式x解：将“x2+2x原式=y例2：已知ab=1，求11+a解：1请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题：（1）根据材料，请你模仿例1尝试对多项式x2（2）计算：1−2−3−⋯−2021×（3）①已知ab=1，求11+②若abc=1，直接写出5aab+a+1【思路点拨】（1）将x2−6x+8看成一个整体，令（2