全国统考版2025届高考数学二轮复习专题四函数与导数梳理纠错预测学案文含解析

2024年高考“2024年高考“最终三十天”专题透析好教化云平台--教化因你我而变④若函数y=f(x)满意fa+x=-fb-x，则函数fx的图象关于直线对称．5．函数的零点问题（1）函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根，即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标．（2）确定函数零点的常用方法：①干脆解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解．二、导数1．导数的几何意义函数y=fx在x=x0处的导数f'x0就是曲线（1）曲线y=fx在点x0，（2）过点x0，y0作曲线y=fx的切线，点x0，切点不确定时，一般先设切点坐标，由导数得到切线斜率，写出切线方程后，再利用条件来确定切点坐标，从而得到切线的方程．2．单调性与导数的关系设函数y=fx在区间a（1）假如在a，b内，恒有f'（2）假如在a，b内，恒有f'（3）假如在a，b内，恒有f'3．利用导数推断函数单调性的步骤（1）确定定义域（易错点：漏写定义域）；（2）求导函数f'（3）解f'x>0（4）在定义域范围内取补集，得到减（增）区间．4．极值的定义（1）函数y=fx在点x=a的函数值比它在点x=a旁边的函数值都小，则把a叫做fx的fa叫做fx的若y=fx在点x=a处可导，f'x是其导数，就可以用导数描述函数在微小值点旁边而且在点x=a旁边的左侧f'x<0（2）函数y=fx在点x=b的函数值比它在点x=b旁边的函数值都大，则把b叫做ffb叫做f若y=fx在点x=b处可导，f'x是其导数，就可以用导数描述函数在极大值点旁边而且在点x=b旁边的左侧f'x>0留意：极值点指x的取值，极值指相应的fx的取5．求可导函数极值的步骤（1）求函数的定义域；（2）求导数，并推断函数的单调性；（3）画表推断函数的极值．6．求函数fx在区间a（1）求函数y=fx在a（2）比较函数y=fx的各极值与端点处的函数值f最小的一个是最小值．

精题集训精题集训（70分钟）经典训练题经典训练题一、选择题．1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-3xA．1，3 B．-3，-1，1【答案】D【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2-3x所以，由，解得x=1或x=3；由，解得x=-2-7或x=-2+7所以函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为-2-7，1，【点评】函数的奇偶性的运用，分段函数，函数的零点，一元二次方程的解法，难度中等．2．已知函数f(x)的周期为2，当x∈[-1，1]时，f(x)=xA．10个 B．9个 C．8个 D．1个【答案】A【解析】由题可知，如图所示：当x=10时，y=1，依据图象可知，交点个数为10，故选A．【点评】本题考查两函数图象的交点个数，利用数型结合，形象直观，属基础题．3．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与贮存温度x（单位：℃）满意函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．21小时【答案】C【解析】依题有：192=ⅇb，48=ⅇ解得，，那么，当x=33时，，故选C．【点评】本题考查指数函数的概念及其性质，考查函数模型在现实生活中的应用，考查整体思想，考查学生应用函数思想解决实际问题的实力．4．设函数，则满意ffa=2A． B． C． D．【答案】C【解析】令fa=t，则ft=2由gt=3t-1-2当t<1时，g't>0，gt在当时，2t=2t成立，由fa≥1，即3a-1≥1，解得2a≥1，解得a≥0，即为综上所述实数a的取值范围是，故选C．【点评】本题主要考查了分段函数的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性、利用导数探讨函数的单调性、函数的最值等学问点的综合考查，留意考查了分类探讨思想和转化与化归思想，以及学生分析问题和解答问题的实力，试题有肯定的难度，属于难题，本题的解答中构造新的函数gt5．已知函数关于x的方程，m∈R．有四个不同的实数解x1，x2，x3，x4A． B． C． D．【答案】B【解析】作函数f(x)的图象如图：结合图象可知，x1+x2=-2依据题意，m∈0，1，则，故则，依据对勾函数在(1，2)故在(1，2)所以，故选B．【点评】本题考查了函数零点与方程解的关系，考查数形结合思想，对勾函数性质，属于中档题．6．已知函数，且在内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】令hx=mx+1，分别作出f由图象知hx=mx+1当直线围着定点转动时，与fx当直线hx在x轴和直线AB及切线和直线AC之间时，与f此时或，故答案选A．【点评】本题考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．7．已知a<5且ae5=5eaA． B．b<c<a C．a<c<b D．a<b<c【答案】D【解析】因为ae5=5ea令，则，当0<x<1时，f'x<0；当x>1故fx在为减函数，在为增函数，因为ae5=5ea，a<5故0<a<1，同理0<b<1，0<c<1，f4=fb因为f5<f4所以0<a<b<c<1，故选D．【点评】导数背景下的大小比较问题，应依据代数式的特征合理构建函数，再利用导数探讨其单调性，此类问题，代数式变形很关键．8．函数fxA．a>0，b<0，C．a<0，b<0，【答案】A【解析】由图象知，因为f'(x)=3ax且f(x)在(-∞，x1所以a>0，，，所以b<0，c所以a>0，b<0，c>0，d>0，故选A【点评】此题考查导函数与原函数的图象关系，理解利用导函数与原函数的单调性和极值之间的关系是解题的关键，属于基础题．9．若直线l与曲线和都相切，则l的方程为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设直线l在曲线y=x上的切点为x0，函数y=x的导数为，则直线l的斜率，设直线l的方程为，即x-2x0由于直线l与圆相切，则，两边平方并整理得5x02-4x则直线l的方程为，即，故选D．【点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题．10．函数的大致图象是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】可得f(x)的定义域为xx≠0且，∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故A、C错误；当x>0时，，故当x∈0，e时，f'当x∈e，+∞时，f'x<0，f故选B．【点评】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，推断图象的左右位置；从函数的值域，推断图象的上下位置．（2）从函数的单调性，推断图象的改变趋势；（3）从函数的奇偶性，推断图象的对称性；（4）从函数的特征点，解除不合要求的图象．二、填空题．11．曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2【答案】y=2x【解析】设切线的切点坐标为，，，，所以切点坐标为(1，2)所求的切线方程为，即y=2x，故答案为y=2x．【点评】本题考查导数的几何意义，属于基础题．三、解答题．12．已知函数f(x)=ax+lnx+1(a（1）若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围；（2）设函数g(x)=x2-(x+1)lnx-sin假如不存在，请说明理由．【答案】（1）a≤-1；（2）无零点，理由见解析．【解析】（1）①当a≥0时，，不合题意；②当a<0时，，令f'(x)=0，单调递增；单调递减，，解得a≤-1，综上①②可得a≤-1．（2）由（1）可知，当a=-1时，f(x)=-x+ln即lnx≤x-1，当且仅当，(当且仅当x=1时等号成立)又，当且仅当时等号成立，所以对随意x>0，g(x)>0恒成立．所以函数g(x)=x【点评】通过得出，从而推断出g(x)>0恒成立是解决本题的关键．13．已知函数fx（1）求曲线在点x=2处的切线方程；（2）若过点A1，mm≠-2可作曲线【答案】（1）9x-y-16=0；（2）-3，【解析】（1）f'x=3x2∴曲线在x=2处的切线方程为y-2=9x-2，∴即9x-y-16=0．（2）过点A1，m向曲线作切线，设切点为则y0∴切线方程y-x即2x∴2x记gx令g'x=0，x=0或1，则x-∞01g+0-0+g↗极大↘微小↗当x=0，gx有极大值m+3；x=1，g因为过点A1，m则，即，解得-3<m<-2，所以m的范围是-3，【点评】函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数探讨函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，依据零点或图象的交点状况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．14．设函数f（1）求曲线在点0，f（2）设a=b=4，若函数fx有三个不同零点，求c（3）求证：是fx有三个不同零点的必要而不充分条件．【答案】（1）y=bx+c；（2）；（3）证明见解析．【解析】（1）由fx=x因为f0=c，所以曲线在点0，f0处的切线方程为（2）当a=b=4时，fx所以f'令f'x=0，得3x2fx与f'x在区间-∞f+0-0+f↗c↗↗所以，当c>0且时，存在，，，使得fx由fx的单调性知，当且仅当时，函数fx（3）当Δ=4a2-12b<0时，f此时函数fx在区间-∞，+∞上单调递增，所以f当Δ=4a2-12b=0时，f当x∈-∞，x0时，f'当x∈x0，+∞时，f'x所以fx不行能有三个不同零点综上所述，若函数fx有三个不同零点，则必有Δ=4故a2-3b>0是当a=b=4，c=0时，a2-3b>0，所以a2-3b>0不是因此a2-3b>0是【点评】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明．2．求参数范围问题的常用方法：（1）分别变量；（2）运用最值．3．方程根的问题可化为探讨相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的探讨．4．高考中一些不等式的证明须要通过构造函数，转化为利用导数探讨函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何依据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．高频易错题高频易错题一、解答题．1．已知函数．（1）若a=3，求fx（2）证明：fx【答案】（1）fx在-∞，3-23，3+2（2）证明见解析．【解析】（1）当a=3时，，f'x令f'x=0，解得x=3-2当x∈-∞，3-2当x∈3-23，故fx在-∞，3-23，（2）由于x2+x+1>0，所以fx=0设，则，仅当x=0时，，所以gx在-∞故gx至多有一个零点，从而f又，，故fx有一个零点综上，fx【点评】（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数f(x)的定义域；②求导数；③由f'(x)>0（或f'(x)<0）解出相应的x的取值范围，当当f'(x)<0时，（2）本题其次问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数g(x)有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证．2．函数fx（1）探讨函数fx（2）若函数fx在区间1，2【答案】（1）a≥1时，在-∞，+∞是增函数；0<a<1时，fx在，上是增函数，fx在上是减函数；（2）．【解析】（1）f'(x)=3ax2+6x+3①若a≥1，则f'(x)≥0，且f'(x)=0，当且仅当a=1，x=-1，故此时f②由于a≠0，故当a<1时，f'(x)=0有两个根：，，若0<a<1，则当或时，f'(x)>0，故fx在，上是增函数；当时，f'(x)<0故fx在上是减函数．（2）当a>0，x>0时，f'(x)>0，所以当a>0时，fx在区间若a<0时，fx在区间1，2是增函数，当且仅当且解得，综上，a的取值范围是．【点评】本题考查函数的导数的应用，推断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围，考查分类探讨思想的应用．精准精准预料题一、选择题．1．已知函数，若关于x的方程有5个不同的实数根，则实数t的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，则，由y'=0，解得x=e，当x∈(0，e)时，y'>0，函数为增函数；当x∴当x=e时，函数取得极大值也是最大值为．方程有5化为，解得或．如图画出函数图象：，故选A．【点评】本题考查根的存在性与根的个数推断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．2．定义在R上的函数f(x)满意，f(2-x)=f(x)，当x∈0，1时，f(x)=x2A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】由题意知：f(x)的周期为2，关于x=1对称，且f(2-(x+2))=f(-x)=f(x+2)=f(x)，∴f(x)为偶函数，即可得f(x)、g(x)的图象如下：即f(x)与g(x)交于(-1，1)，【点评】1．f(m+x)=f(x)有f(x)的周期为m；2．f(n-x)=f(x)有f(x)关于．二、填空题．3．已知a>0，函数，若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是_________．【答案】4【解析】分类探讨：当x≤0时，方程fx=ax，即整理可得：x2很明显x=-1不是方程的实数解，则；当x>0时，方程fx=ax，整理可得：x2很明显x=2不是方程的实数解，则，令，其中，，原问题等价于函数gx与函数y=a有两个不同的交点，求a结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数gx同时绘制函数y=a的图象如图所示，考查临界条件，结合a>0视察可得，实数a的取值范围是4，【点评】本题的核心在考查函数的零点问题，函数零点的求解与推断方法包括：（1）干脆求零点：令fx=0，（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连绵不断的曲线，且fa⋅fb<0，还（3）利用图象交点的个数：将函数变