江苏省常州市溧阳市2025届数学高一上期末检测模拟试题含解析

江苏省常州市溧阳市2025届数学高一上期末检测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．幂函数，当时为减函数，则实数的值为A.或2 B.C. D.2．函数的最小值为（）A. B.C.0 D.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（）A. B.C. D.4．半径为1cm，圆心角为的扇形的弧长为（）A. B.C. D.5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.6．若函数的值域为，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.7．已知函数，，则（）A.的最大值为 B.在区间上只有个零点C.的最小正周期为 D.为图象的一条对称轴8．已知直线，若，则的值为（）A.8 B.2C. D.-29．已知向量，向量，则的最大值，最小值分别是（）A.，0 B.4，C.16，0 D.4，010．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学学习和研究中，我们要学会以形助数．则在同一直角坐标系中，与的图像可能是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数（且），若对，，都有．则实数a的取值范围是___________12．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是___________.13．已知，若方程恰有个不同的实数解、、、，且，则______14．已知，则的值为___________.15．已知，，则________.（用m，n表示）16．扇形半径为，圆心角为60°，则扇形的弧长是____________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知直线l与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，且△AOB的面积为6（Ⅰ）若直线l过点（3，1），求原点O关于直线l对称点的坐标；（Ⅱ）是否存在直线l同时满足点（1，1）到直线l的距离为1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由18．已知函数f（x）=2sin2（x+）-2cos（x-）-5a+2（1）设t=sinx+cosx，将函数f（x）表示为关于t的函数g（t），求g（t）的解析式；（2）对任意x∈[0，]，不等式f（x）≥6-2a恒成立，求a的取值范围19．已知函数是定义在上奇函数，且.（1）求，的值；（2）判断在上的单调性，并用定义证明.20．已知（）.（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）若f（x）是偶函数，求k的值；（3）在（2）条件下，设，若函数与的图象有公共点，求实数b的取值范围21．（Ⅰ）设x，y，z都大于1，w是一个正数，且有logxw=24，logyw=40，logxyzw=12，求logzw（Ⅱ）已知直线l夹在两条直线l1：x-3y+10=0和l2：2x+y-8=0之间的线段中点为P（0，1），求直线l的方程

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】∵为幂函数，∴，即．解得：或．当时，，在上为减函数；当时，，在上为常数函数（舍去），∴使幂函数为上的减函数的实数的值．故选C.考点：幂函数的性质.2、C【解析】利用对数函数单调性得出函数在时取得最小值【详解】，因为是增函数，因此当时，，，当时，，，而时，，所以时，故选：C3、D【解析】依次判断4个选项的单调性及奇偶性即可.【详解】对于A，在区间上单调递增，错误；对于B，，由得，单调递增，错误；对于C，当时，没有意义，错误；对于D，为偶函数，且在时，单调递减，正确.故选：D.4、D【解析】利用扇形弧长公式直接计算即可.【详解】圆心角化为弧度为，则弧长为.故选：D.5、D【解析】与中间值1和2比较．【详解】，，，所以故选：D.【点睛】本题考查幂与对数的大小比较，在比较对数和幂的大小时，能化为同底数的化为同底数，再利用函数的单调性比较，否则可借助中间值比较，如0，1，2等等．6、C【解析】因为函数的值域为，所以可以取到所有非负数，即的最小值非正.【详解】因为，且的值域为，所以，解得.故选：C.7、D【解析】首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；【详解】解：函数，可得的最大值为2，最小正周期为，故A、C错误；由可得，即，可知在区间上的零点为，故B错误；由，可知为图象的一条对称轴，故D正确故选：D8、D【解析】根据两条直线垂直，列方程求解即可.【详解】由题：直线相互垂直，所以，解得：.故选：D【点睛】此题考查根据两条直线垂直，求参数的取值，关键在于熟练掌握垂直关系的表达方式，列方程求解.9、D【解析】利用向量的坐标运算得到|2用θ的三角函数表示化简求最值【详解】解：向量，向量，则2（2cosθ，2sinθ+1），所以|22＝（2cosθ）2+（2sinθ+1）2＝8﹣4cosθ+4sinθ＝8﹣8sin（），所以|22的最大值，最小值分别是：16，0；所以|2的最大值，最小值分别是4，0；故选：D【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性10、B【解析】结合指数函数和对数函数的图像即可.【详解】是定义域为R的增函数，：-x>0，则x<0.结合选项只有B符合故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】由条件可知函数是增函数，可得分段函数两段都是增函数，且时，满足，由不等式组求解即可.【详解】因为对，且都有成立，所以函数在上单调递增.所以，解得.故答案为：12、【解析】计算出一个弓形的面积，由题意可知，勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，利用弓形和正三角形的面积可求得结果.【详解】由弧长公式可得，可得，所以，由和线段所围成的弓形的面积为，而勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，因此，该勒洛三角形的面积为.故答案为：.13、【解析】作出函数的图象以及直线的图象，利用对数的运算可求得的值，利用正弦型函数的对称性可求得的值，即可得解.【详解】作出函数的图象以及直线的图象如下图所示：由图可知，由可得，即，所以，，可得，当时，，由，可得，由图可知，点、关于直线对称，则，因此，.故答案为：.14、##【解析】根据给定条件结合二倍角的正切公式计算作答.【详解】因，则，所以的值为.故答案为：15、【解析】根据指数式与对数式的互化，以及对数的运算性质，准确运算，即可求解.【详解】因为，，所以，，所以，可得.故答案为：16、【解析】根据弧长公式直接计算即可.【详解】解：扇形半径为，圆心角为60°，所以，圆心角对应弧度为.所以扇形的弧长为.故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（I）（，）（Ⅱ）直线l的方程为4x+3y-12=0，或3x+4y-12=0【解析】（I）设A（a，0），B（0，b），则ab=6，即ab=12，（a，b＞0）．直线l的方程为：，直线l过点（3，1），代入可得．与ab=12联立解得：a，b．即可得出直线l的方程．设原点O关于直线l对称点的坐标为（m，n），利用中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出（Ⅱ）假设存在直线l同时满足点（1，1）到直线l的距离为1，可得，与ab=12联立解得a，b即可得出【详解】（I）设A（a，0），B（0，b），则ab=6，即ab=12，（a，b＞0）直线l的方程为：=1，∵直线l过点（3，1），∴=1与ab=12联立解得：a=6，b=2∴直线l的方程为：=1化为：x+3y-6=0设原点O关于直线l对称点坐标为（m，n），则×=-1，-6=0，化为：m+3n-12=0联立解得m=，n=∴原点O关于直线l对称点的坐标为（，）（Ⅱ）假设存在直线l同时满足点（1，1）到直线l的距离为1，则=1，与ab=12联立解得：，或可得：直线l的方程，4x+3y-12=0，或3x+4y-12=0【点睛】本题考查了中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18、（1），；（2）【解析】：（1）首先由两角和的正弦公式可得，进而即可求出的取值范围；接下来对已知的函数利用进行表示；对于（2），首先由的取值范围，求出的取值范围，再对已知进行恒等变形可得在区间上恒成立，据此即可得到关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围.试题解析：（1），因为，所以，其中，即，.（2）由（1）知，当时，，又在区间上单调递增，所以，从而，要使不等式在区间上恒成立，只要，解得：.点晴:本题考查是求函数的解析式及不等式恒成立问题.（1）首先，可求出的取值范围；接下来对已知的函数利用进行表示;(2)先求二次函数，再解不等式.19、（1），；（2）证明见解析【解析】（1）根据已知条件，为奇函数，利用可以求解出参数b，然后带入到即可求解出参数a，得到函数解析式后再去验证函数是否满足在上的奇函数即可；（2）由第（1）问求解出的函数解析式，任取，，做差，通过因式分解判断差值的符号，即可证得结论.【小问1详解】由已知条件，函数是定义在上的奇函数，所以，，所以，所以，检验，为奇函数，满足题意条件；所以，.小问2详解】在上单调递增，证明如下：任取，，；其中，，所以，故在上单调递增.20、（1）（2）1（3）【解析】（1）根据条件列指数不等式，直接求解即可；（2）利用偶函数定义列直接求解即可；（3）根据题意列方程，令，得到方程，构造，结合二次函数性质讨论方程的根即可.【详解】（1）因为所以原不等式的解集为（2）因为的定义域为且为偶函数，所以即所以.经检验满足题意.（3）有（2）可得因为函数与的图象有公共点所以方程有根即有根令且（）方程可化为（*）令恒过定点①当时，即时，（*）在上有根（舍）；②当时，即时，（*）在上有根因为，则（*）方程在上必有一根故成立；③当时，（*）在上有根则有④当时，（*）在上有根则有综上可得：的取值范围为【点睛】本题重点考查了函数方程的求解及二次函数根的分布，用到了换元和分类讨论的思想，考查了学生的计算能力，属于难题.21、（Ⅰ）60；（Ⅱ）x+4y-4=0【解析】（Ⅰ）logxw=24，logyw=40，logxyzw=12，将对数式改写指数式，得到.进而得出．问题得解（Ⅱ）设直线与的交点分别为，.可得，由的中点为，可得，.将，代入即可求解【详解】（Ⅰ）∵logxw=24，logyw=40，logxyzw=12，将对数式