江苏省连云港市灌南华侨高级中学2025届高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析

江苏省连云港市灌南华侨高级中学2025届高二数学第一学期期末质量跟踪监视模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知O为坐标原点，，点P是上一点，则当取得最小值时，点P的坐标为（）A. B.C. D.2．若随机事件满足，，，则事件与的关系是（）A.互斥 B.相互独立C.互为对立 D.互斥且独立3．已知，，若不等式恒成立，则正数的最小值是（）A.2 B.4C.6 D.84．执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）A. B.C. D.5．已知直线的方向向量为，则直线l的倾斜角为（）A.30° B.60°C.120° D.150°6．“椭圆的离心率为”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件7．在棱长为4的正方体中，为的中点，点P在正方体各棱及表面上运动且满足，则点P轨迹围成的图形的面积为（）A. B.C. D.8．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为()A B.C. D.9．已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为（）A. B.C. D.10．已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，若以为始边，为终边的角，则等于（）A. B.C. D.11．若命题为“，”，则为（）A.， B.，C.， D.，12．在空间直角坐标系中，若，，则点B的坐标为（）A.（3，1，﹣2） B.（-3，1，2）C.（-3，1，-2） D.（3，-1，2）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知圆的方程为，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线为切点，则四边形面积的最小值为__________；直线__________过定点.14．已知为抛物线上的动点，，，则的最小值为________.15．已知春季里，甲地每天下雨的概率为，乙地每天下雨的概率大于0，且甲、乙两地下雨相互独立，则春季的一天里，已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为___________.16．已知茎叶图记录了甲、乙两组各名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为，乙组数据的平均数为，则的值为__________．甲组乙组三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）要设计一种圆柱形、容积为500mL的一体化易拉罐金属包装，如何设计才能使得总成本最低？18．（12分）已知数列的前n项和，（1）求数列的通项公式；（2）设，，求数列的前n项和19．（12分）正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4.E为棱上的动点，F为棱的中点.（1）证明：；（2）若E为棱上的中点，求直线BE到平面的距离.20．（12分）椭圆：（）的离心率为，递增直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于两点，若，求直线的斜率.21．（12分）已知数列是公比为2的等比数列，是与的等差中项（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n项和22．（10分）设圆的圆心为A，直线l过点且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E（1）判断与题中圆A的半径的大小关系，并写出点E的轨迹方程；（2）过点作斜率为，的两条直线，分别交点E的轨迹于M，N两点，且，证明：直线MN必过定点

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据三点共线，可得，然后利用向量的减法坐标运算，分别求得，最后计算，经过化简观察，可得结果.【详解】设，则则∴当时，取最小值为-10，此时点P的坐标为.故选：A【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，难点在于三点共线，审清题干，简单计算，属基础题.2、B【解析】利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可【详解】解：因为，，又因为，所以有，所以事件与相互独立，不互斥也不对立故选：B.3、B【解析】由基本不等式求出的最小值，只需最小值大于等于18，得到关于的不等式，求解，即可得出结论.【详解】，因为不等式恒成立，所以，即，解得，所以.故选:B.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.4、C【解析】按照程序框图的流程进行计算.【详解】，故输出S的值为.故选：C5、B【解析】利用直线的方向向量求出其斜率，进而求出倾斜角作答.【详解】因直线的方向向量为，则直线l的斜率，直线l的倾斜角，于是得，解得，所以直线l的倾斜角为.故选：B6、C【解析】讨论椭圆焦点的位置，根据离心率分别求出参数m，由充分必要性的定义判断条件间的充分、必要关系.【详解】当椭圆的焦点在轴上时，，得；当椭圆的焦点在轴上时，，得故“椭圆的离心率为”是“”的必要不充分条件故选：C.7、A【解析】构造辅助线，找到点P轨迹围成的图形为长方形，从而求出面积.【详解】取的中点E，的中点F，连接BE，EF，AF，则由于为的中点，可得，所以∠CBE=∠ECN，从而∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ECN=90°，所以BE⊥CN，又EF⊥平面，平面，所以EF⊥CN，又因为BEEF=E，所以CN⊥平面ABEF，所以点P轨迹围成的图形为矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面积为.故选：A8、C【解析】利用向量投影和勾股定理即可计算.【详解】∵，∴又，∴在方向上的投影，∴P到l距离故选：C.9、C【解析】根据题意求得直线l的方程，设，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求得，再利用弦长公式即可得出答案.【详解】由椭圆知，，所以，所以右焦点坐标为，则直线的方程为，设，联立，消y得，，则，所以.即弦AB长为.故选：C.10、D【解析】设点，取，可得，求出的值，利用抛物线的定义可求得的值.【详解】设点，其中，则，，取，则，可得，因为，可得，解得，则，因此，.故选：D.11、B【解析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】“，”的否命题为“，”，故选：B12、C【解析】利用点的坐标表示向量坐标，即可求解.【详解】设，，，所以，，，解得：，，，即.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.【解析】根据切线的相关性质将四边形面积化为，即求出最小值即可，即圆心到直线的距离；又可得四点在以为直径的圆上，且是两圆的公共弦，设出点坐标，求出圆的方程可得直线方程，即可得出定点.详解】由圆得圆心，半径，由题意可得,在中，，，可知当垂直直线时，，所以四边形的面积的最小值为，可得四点在以为直径的圆上，且是两圆的公共弦，设，则圆心为，半径为，则该圆方程为，整理可得，联立两圆可得直线AB的方程为，即可得当时，，故直线过定点.故答案为：；.14、6【解析】根据抛物线的定义把的长转化为到准线的距离为，进而数形结合求出最小值.【详解】易知为抛物线的焦点，设到准线的距离为，则，而的最小值为到准线的距离，故的最小值为.故答案为：615、##0.5【解析】根据条件概率求概率的方法即可求得答案.【详解】设A表示“甲地每天下雨”，B表示“乙地每天下雨”，乙地每天下雨的概率为p，则，因为甲乙两地下雨相互独立，所以，于是在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为.故答案为：.16、【解析】根据中位数、平均数的定义，结合茎叶图进行计算求解即可.【详解】根据茎叶图可知：甲组名学生在一次英语听力测试中的成绩分别；乙组名学生在一次英语听力测试中的成绩分别，因为甲组数据的中位数为，所以有，又因为乙组数据的平均数为，所以有，所以，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、当圆柱底面半径为，高为时，总成本最底.【解析】设圆柱底面半径为cm，高为cm，圆柱表面积为Scm2，进而根据体积得到，然后求出表面积，进而运用导数的方法求得表面积的最小值，此时成本最小.【详解】设圆柱底面半径为cm，高为cm,圆柱表面积为Scm2,每平方厘米金属包装造价为元，由题意得：，则，表面积造价，，令，得，令，得，的单调递减区间为，递增区间为，当圆柱底面半径为，高为时，总成本最底.18、（1）；（2）【解析】（1）将代入可求得.根据通项公式与前项和的关系,可得数列为等比数列,由等比数列的通项公式即可求得数列的通项公式.（2）由（1）可得数列的通项公式,代入中,结合裂项法求和即可得前n项和.【详解】（1）当时,由得；当时,由得是首项为3,公比为3的等比数列当,满足此式所以（2）由（1）可知,【点睛】本题考查了通项公式与前项和的关系,裂项法求和的应用,属于基础题.19、（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)根据给定条件建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明计算作答.(2)利用(1)中坐标系，证明平面，再求点B到平面的距离即可作答.【小问1详解】在正四棱柱中，以点D为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则，因E为棱上的动点，则设，，而，，即，所以.【小问2详解】由(1)知，点，，，，设平面的一个法向量，则，令，得，显然有，则，而平面，因此，平面，于是有直线BE到平面的距离等于点B到平面的距离，所以直线BE到平面的距离是.20、1【解析】根据离心率写出，设出直线为，把直线的方程与椭圆进行联立消，写出韦达定理，再利用，即可解出，进而求出直线的斜率.【详解】，.设递增直线的方程为，把直线的方程与椭圆进行联立：.①，②.③.把③代入①中得④.把④代入②中得...21、（1）；（2）.【解析】(1)根据给定条件列式求出数列的首项即可作答.(2)由(1)的结论求出，再借助裂项相消法计算作答.【小问1详解】因为数列是公比为2的等比数列，且是与的等差中项，则有，即，解得，所以.【小问2详解】由(1)知，，则，即有，所以.22、（1）与半径相等，（2）证明见解析【解析】（1）依据椭圆定义去求点E的轨迹方程事半功倍；（2）直线MN要分为斜率存在的和不存在的两种情况进行讨论，由设而不求法把条件转化为直线MN过定点的条件即可解决.【小问1详解】圆即为，可得圆心，半径，由，可得，由，可得，即为，即有，则，所以其与半径相等.因为，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆（不包括左右顶点），且有，，即，，，则点E的轨迹方程为；【小问2详