青海西宁二十一中2025届数学高二上期末考试模拟试题含解析

青海西宁二十一中2025届数学高二上期末考试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设为坐标原点，抛物线的焦点为，为抛物线上一点．若，则的面积为（）A. B.C. D.2．把直线绕原点逆时针转动，使它与圆相切，则直线转动的最小正角度A. B.C. D.3．已知等比数列的首项为1，公比为2，则=（）A. B.C. D.4．己知命题；命题，则下列命题中为假命题的是（）A. B.C. D.5．如图，在四面体中，，，两两垂直，已知，，则直线与平面所成角的正弦值为（）A. B.C. D.6．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为（）A. B.C. D.7．点到直线的距离为A.1 B.2C.3 D.48．下列结论中正确的有（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则9．若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为A. B.或C. D.10．中，，，分别为三个内角，，的对边，若，，，则（）A. B.C. D.11．已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12．已知条件，条件表示焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若和或都是假命题，则的范围是__________14．已知双曲线的左焦点为F，点P在双曲线右支上，若线段PF的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，且直线PF的斜率为，则该双曲线的离心率是______15．某班名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，估计该班本次测试平均分为______16．如图：双曲线的左右焦点分别为，，过原点O的直线与双曲线C相交于P，Q两点，其中P在右支上，且，则的面积为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为4，离心率等于（1）求椭圆的方程（2）设，若椭圆E上存在两个不同点P、Q满足，证明：直线PQ过定点，并求该定点的坐标.18．（12分）在数列中，，，且对任意的，都有.（1）数列的通项公式；（2）设数列，求数列的前项和.19．（12分）某电脑公司为调查旗下A品牌电脑的使用情况，随机抽取200名用户，根据不同年龄段（单位：岁）统计如下表：分组频率/组距0.010.040.070.060.02（1）根据上表，试估计样本的中位数、平均数（同一组数据以该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；（2）按照年龄段从内的用户中进行分层抽样，抽取6人，再从中随机选取2人赠送小礼品，求恰有1人在内的概率20．（12分）如图，矩形ABCD，点E，F分别是线段AB，CD的中点，，，以EF为轴，将正方形AEFD翻折至与平面EBCF垂直的位置处.请按图中所给的方法建立空间直角坐标系，然后用空间向量坐标法完成下列问题（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.21．（12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，D是AC的中点.（1）证明：AB1//面BC1D；（2）若AA1=AB，求二面角B1-AC-C1的余弦值.22．（10分）已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点A（a，0），且|AF|＝1（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别与直线x＝4交于点P，Q，求∠PFQ的大小

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】先由抛物线方程求出点的坐标，准线方程为，再由可求得点的横坐标为4，从而可求出点的纵坐标，进而可求出的面积【详解】由题意可得点的坐标，准线方程为，因为为抛物线上一点，，所以点的横坐标为4，当时，，所以，所以的面积为，故选：D2、B【解析】根据直线过原点且与圆相切，求出直线的斜率，再数形结合计算最小旋转角【详解】解析：由题意，设切线为，∴.∴或.∴时转动最小∴最小正角为.故选B.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题3、D【解析】数列是首项为1，公比为4的等比数列，然后可算出答案.【详解】因为等比数列的首项为1，公比为2，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列所以故选：D4、A【解析】根据或且非命题的真假进行判断即可.【详解】当,故命题是真命题，，故命题是真命题.因此可知是假命题，是真命题，，均为真命题.故选:A5、D【解析】利用三线垂直建立空间直角坐标系，将线面角转化为直线的方向向量和平面的法向量所成的角，再利用空间向量进行求解.【详解】以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图所示），则，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，所以平面的一个法向量为；设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.故选：D.6、B【解析】求出，可知为等腰三角形，取的中点，可得出，利用勾股定理求得，利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】在椭圆中，，，则，所以，，由椭圆的定义可得，取的中点，因为，则，由勾股定理可得，所以，.故选：B.7、B【解析】直接利用点到直线的距离公式得到答案.【详解】，答案为B【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属于简单题.8、D【解析】根据基本初等函数的导数和运算法则分别计算函数的导数，即可判断选项.【详解】A.若，则，故A错误；B.若，则，故B错误；C.若，则，故C错误；D.若，则，故D正确.故选：D9、D【解析】“”是“”的充分不必要条件，结合集合的包含关系，即可求出的取值范围.【详解】∵“”是“”的充分不必要条件∴或∴故选：D.【点睛】本题考查充分必要条件，根据充要条件求解参数的范围时，可把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系，由此得到不等式（组）后再求范围.解题时要注意，在利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.10、C【解析】利用正弦定理求解即可.【详解】，，，由正弦定理可得，解得，故选：C.11、C【解析】利用两直线平行的等价条件求得m，再结合充分必要条件进行判断即可.【详解】由直线l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要条件，故选C.【点睛】本题考查两直线平行的条件，准确计算是关键，注意充分必要条件的判断是基础题12、A【解析】根据条件，求得a的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.【详解】因为条件表示焦点在x轴上的椭圆，所以，解得或，所以条件是条件q：或的充分不必要条件.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先由和或都是假命题，求出x的范围，取交集即可.【详解】若为假命题，则有或若或是假命题，则所以的范围是即的范围是胡答案：14、3【解析】如图利用条件可得，，然后利用双曲线的定义可得，即求.【详解】如图设双曲线的右焦点为，线段PF的中点为M，连接，则，又直线PF的斜率为，∴在直角三角形中，，∴，∴，即，∴.故答案：3.15、【解析】将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，即可得解.【详解】由频率分布直方图可知，该班本次测试平均分为.故答案为：.16、24【解析】利用双曲线定义结合已知求出，，再利用双曲线的对称性计算作答.【详解】依题意，，，又，解得，，则有，即，连接，如图，因过原点O的直线与双曲线C相交于P，Q两点，由双曲线的对称性知，P，Q关于原点O对称，因此，四边形是平行四边形，，所以的面积为24.故答案为：24三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）证明见解析，.【解析】（1）由题可得，即求；（2）设直线PQ的方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理法可得，即得.【小问1详解】由题可设椭圆的方程为，则，∴，∴椭圆的方程为；【小问2详解】当直线PQ的斜率存在时，可设直线PQ的方程为，设，由，得，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，又∴，∴直线PQ的方程为过定点；当直线PQ的斜率不存在时，不合题意.故直线PQ过定点，该定点的坐标为.18、（1）；（2）.【解析】（1）由递推式可得，根据等比数列的定义写出通项公式，再由累加法求的通项公式；（2）由（1）可得，再应用裂项相消法求前项和【小问1详解】由可得：，又，，∴，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，∴.∴.【小问2详解】∵，∴∴.19、（1）中位数为38.6，平均数为38.5岁；（2）.【解析】（1）由中位数分数据两边的频率相等，列方程求中位数；根据各组数据的中点数乘以频率即可得平均数；（2）由分层抽样确定从中各抽4人、2人，列举出随机选取2人的所有组合，得到恰有1人在的组合数，即可求概率.【详解】（1）中位数在中，设为，则，解得.平均数为岁.所以样本的中位数约为38.6，平均数为38.5岁.（2）根据分层抽样法，其中位于中的有4人，记为，，，；位于中的有2人，记为，.从6人中抽取2人，有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，恰有1人在内的有，，，，，，，，共8种情况，∴恰有1人在内的概率为.【点睛】关键点点睛：由中位数的性质以及平均数与各组数据中点值、频率的关系求中位数、平均数；根据分层抽样确定各组选取人数，利用列举法求概率.20、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出对应向量的坐标，根据向量垂直，即可证明线面垂直；（2）根据（1）中所求平面的法向量，利用向量法，即可容易求得结果.【小问1详解】矩形ABCD中，点E，F分别是线段AB，CD的中点，∴，∴翻折后∵平面平面，且面，面，故可得面，又面，∴，故两两垂直，∴分别以，，为，，轴建立如图所示空间直角坐标系：∵，则，，，，，，∵，，∴，∴，，又面，∴平面.【小问2详解】由（1）知，平面的法向量为，又向量，则向量与法向量为所成角的余角即是直线与平面所成角，设直线与平面所成角为，向量与法向量为所成角为，则.故直线与平面所成角正弦值为.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1），连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）说明平面，取的中点F，连接，以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【小问1详解】证明：记，连接，由直棱柱的性质可知四边形是矩形，则E为的中点.因为D是的中点，所以，又平面平面，所以平面；【小问2详解】因为底面是等边三角形，D是的中点，所以，由直棱柱的性质可知平面平面，平面平面，面，所以平面，取的中点F，连接，则两两垂直，故以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，从而，设平面的法向量为，则，令x=2，得，同理平面的一个法向量为，则cosm由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角B1-AC-C1的余弦值为.22、（1）（2）∠PFQ＝90°【解析】（1）由题意得求出a，c，然后求解b，即可得到椭圆方程（2）当直线l的斜率不存在时，验证，即∠PFQ＝90°．当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．联立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由题意，知Δ＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y