安徽省亳州市第三十二中学2025届数学高二上期末综合测试模拟试题含解析

安徽省亳州市第三十二中学2025届数学高二上期末综合测试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（）A. B.1C. D.22．已知，分别为椭圆的左右焦点，为坐标原点，椭圆上存在一点，使得，设的面积为，若，则该椭圆的离心率为（）A. B.C. D.3．已知数列的通项公式为，则“”是“数列为单调递增数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4．在数列中抽取部分项（按原来的顺序）构成一个新数列，记为，再在数列插入适当的项，使它们一起能构成一个首项为1，公比为3的等比数列.若，则数列中第项前（不含）插入的项的和最小为（）A.30 B.91C.273 D.8205．设等差数列的公差为d，且，则（）A.12 B.4C.6 D.86．如图，在长方体中，是线段上一点，且，若，则（）A. B.C. D.7．过抛物线C：的准线上任意一点作抛物线的切线，切点为，若在轴上存在定点，使得恒成立，则点的坐标为（）A. B.C. D.8．△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（）A. B.（y≠0）C. D.9．设，若直线与直线平行，则的值为（）A. B.C.或 D.10．已知F1(-5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|-|PF2|=2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别为()A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线11．抛物线的焦点到准线的距离是A. B.1C. D.12．已知等差数列的前n项和为，且，，则为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系xOy中,设军营所在平面区域为{(x,y)|x2+y2≤},河岸线所在直线方程为x+2y-4=0.假定将军从点P(,)处出发,只要到达军营所在区域即回到军营,当将军选择最短路程时,饮马点A的纵坐标为______.最短总路程为______14．如图，SD是球O的直径，A、B、C是球O表面上的三个不同的点，，当三棱锥的底面是边长为3的正三角形时，则球O的半径为______.15．在中，，，的外接圆半径为，则边c的长为_____.16．，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知点和直线.（1）求以为圆心，且与直线相切的圆的方程；（2）过直线上一点作圆的切线，其中为切点，求四边形PAMB的面积的最小值.18．（12分）在平面直角坐标系中，动点，满足，记点的轨迹为（1）请说明是什么曲线，并写出它的方程；（2）设不过原点且斜率为的直线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与交于两点，，请判断与的关系，并证明你的结论19．（12分）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率最大值.20．（12分）已知椭圆，离心率分别为左右焦点，椭圆上一点满足，且的面积为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作斜率为的直线交椭圆于两点.过点且平行于的直线交椭圆于点，证明：为定值.21．（12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求A和B的大小；若M，N是边AB上的点，，求的面积的最小值22．（10分）已知函数.（1）若，讨论函数的单调性；（2）当时，求在区间上的最小值和最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】由余弦定理求出，利用正弦定理将边化角，再根据二倍角公式得到，即可得到，最后利用面积公式计算可得；【详解】解：因为，又，所以，因为，所以，所以，因为，所以，即，所以或，即或（舍去），所以，因为，所以，所以；故选：C2、D【解析】由可得直角三角形，故，且，结合，联立可得，即得解【详解】由题意，故为直角三角形，，又，，又为直角三角形，故，，即，.故选：D.3、A【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合数列的单调性判断【详解】根据题意，已知数列的通项公式为，若数列为单调递增数列，则有（），所以，因为，所以，所以当时，数列为单调递增数列，而当数列为单调递增数列时，不一定成立，所以“”是“数列为单调递增数列”的充分而不必要条件，故选：A4、C【解析】先根据等比数列的通项公式得到，列出数列的前6项，将其中是数列的项的所有数去掉即可求解.【详解】因为是以1为首项、3为公比的等比数列，所以，则由，得，即数列中前6项分别为：1、3、9、27、81、243，其中1、9、81是数列的项，3、27、243不是数列的项，且，所以数列中第7项前（不含）插入的项的和最小为.故选：C.5、B【解析】利用等差数列的通项公式的基本量计算求出公差.【详解】，所以.故选：B6、A【解析】将利用、、表示，再利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式，进而可求得的值.【详解】连接、，因，因为是线段上一点，且，则，因此，因此，.故选：A.7、D【解析】设切点，点，联立直线的方程和抛物线C的准线方程可得，将问题转化为对任意点恒成立，可得，解出，从而求出答案【详解】设切点，点由题意，抛物线C的准线，且由，得，则直线的方程为，即，联立令，得由题意知，对任意点恒成立，也就是对任意点恒成立因为，，则，即对任意实数恒成立，所以，即，所以，故选：D【点睛】一般表示抛物线的切线方程时可将抛物线方程转化为函数解析式，可利用导数的几何意义求解切线斜率，再代入计算.8、D【解析】根据三角形的周长得出，再由椭圆的定义得顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，可求得顶点C的轨迹方程.【详解】因为，所以，所以顶点C的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，即，所以顶点C的轨迹方程是，故选：D.【点睛】本题考查椭圆的定义，由定义求得动点的轨迹方程，求解时，注意去掉不满足的点，属于基础题.9、C【解析】根据直线的一般式判断平行的条件进行计算.【详解】时，容易验证两直线不平行，当时，根据两直线平行的条件可知：，解得或.故选：C.10、D【解析】由双曲线定义结合参数a的取值分类讨论而得.【详解】依题意得，当时，，且，点P的轨迹为双曲线的右支；当时，，故点P的轨迹为一条射线.故选D.故选：D11、D【解析】，，所以抛物线的焦点到其准线的距离是，故选D.12、C【解析】直接由等差数列求和公式结合，求出，再由求和公式求出即可.【详解】由题意知：，解得，则.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.【解析】求出P(,)关于直线x+2y4=0对称点P'的坐标，再求出线段OP'与直线x+2y-4=0的交点A,再利用圆的几何性质可得结果.【详解】设P(,)关于直线x+2y4=0的对称点为P'(m,n),则解得因为从点P到军营总路程最短,所以A为线段OP'与直线x+2y4=0的交点,联立得y=(42y),解得y=.所以“将军饮马”的最短总路程为=，故答案为，.【点睛】本题主要考查对称问题以及圆的几何性质，属于中档题.解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且点在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.14、【解析】由三棱锥是正三棱锥，利用正弦定理得出三角形外接圆的半径，进而求出，再由余弦定理得出球O的半径.【详解】因为，所以平面，三棱锥是正三棱锥，设为三角形外接圆的圆心，则在上，连接，，由得出，所以，在中，，即，解得，则球O的半径为.故答案为：15、【解析】由面积公式求得，结合外接圆半径，利用正弦定理得到边c的长.【详解】，从而，由正弦定理得：，解得：故答案为：16、2020【解析】先证得，利用倒序相加法求得表达式值.【详解】解：由题意可知，令S=则S=两式相加得，故填：【点睛】本题考查借助倒序相加求函数值的和，属于中档题，解题关键是找到的规律三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）利用到直线的距离求得半径，由此求得圆的方程.（2）结合到直线的距离来求得四边形面积的最小值.【小问1详解】圆的半径，圆的方程为.【小问2详解】由四边形的面积知，当时，面积最小.此时...18、（1）椭圆，（2），证明见解析【解析】（1）结合椭圆第一定义直接判断即可求出的轨迹为；（2）设直线的方程为，，，联立椭圆方程，写出韦达定理；由中点公式求出点，进而得出直线方程，联立椭圆方程求出，结合弦长公式可求，可转化为，结合韦达定理可化简，进而得证.【小问1详解】设，，则因为，满足，即动点表示以点，为左、右焦点，长轴长为4，焦距为的椭圆，其轨迹的方程为；【小问2详解】可以判断出，下面进行证明：设直线的方程为，，，由方程组，得①，方程①判别式为，由，即，解得且由①得，，所以点坐标为，直线方程为，由方程组，得，，所以又所以.19、（1）；（2）最大值为.【解析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，所以该抛物线的方程为；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设，则，所以，由在抛物线上可得，即，所以直线的斜率，当时，；当时，，当时，因为，此时，当且仅当，即时，等号成立；当时，；综上，直线斜率的最大值为.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q的轨迹方程为设直线的方程为，则当直线与抛物线相切时，其斜率k取到最值．联立得，其判别式，解得，所以直线斜率的最大值为[方法三]：轨迹方程+换元求最值法同方法一得点Q的轨迹方程为设直线的斜率为k，则令，则的对称轴为，所以．故直线斜率的最大值为[方法四]参数+基本不等式法由题可设因，所以于是，所以则直线的斜率为当且仅当，即，时等号成立，所以直线斜率的最大值为【整体点评】方法一根据向量关系，利用代点法求得Q的轨迹方程，得到直线OQ的斜率关于的表达式，然后利用分类讨论，结合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到点Q的轨迹方程，然后利用数形结合法，利用判别式求得直线OQ的斜率的最大值，为最优解；方法三同方法一求得Q的轨迹方程，得到直线的斜率k的平方关于的表达式，利用换元方法转化为二次函数求得最大值，进而得到直线斜率的最大值；方法四利用参数法，由题可设，求得x,y关于的参数表达式，得到直线的斜率关于的表达式，结合使用基本不等式，求得直线斜率的最大值.20、（1）（2）证明见解析【解析】（1）方法一：根据离心率以及，可得出，将条件转化为点在以为直径的圆上，即为圆与椭圆的交点，将的面积用表示，求出，进而求出椭圆的标准方程；方法二：根据椭圆的定义，，再根据勾股定理和直角三角形的面积公式，即可解得，又由离心率求出，则可求出椭圆的标准方程；（2）设出直线的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理表示出，再将直线的方程代入椭圆方程，求出，则为定值.【小问1详解】方法一：由离心率，得：，所以椭圆上一点，满足，所以点为圆：与椭圆的交点，联立方程组解得所以，解得：，所以椭圆的标准方程为：.方法二：由椭圆定义；，因为，所以，得到：，即，又，得所以椭圆C的标准方程为：；【小问2详解】设直线AB的方程为：.得设过点且平行于的直线方程：.21、（1），（2）【解析】利用正余弦定理化简即求解A和B的大小利用正弦定理把CN、CM表示出来，结合三角函数的性质，即可求解的面积的最小值【详解】解：，由正弦定理得：，，，可得，即;,由由余弦定理可得：，，如图所示:设，,在中由正弦定理,得,由可知,,所以:,同理,由于,故，此时故的面积的最小值为【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，三角函数的有界限求解最值范围，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22、（1）在和上单调递增，在上单调递减.（2）答案见解析.【解析】（1）求解导函数，并求出的两根，得和的解集，从而得函数单调性；（2）由（1）得函数的单调性，从而得最小值，计算，再分类讨论与两种情况下的最大值.【