高考数学 考前3个月（上）专题复习 专题五 第三讲 直线与圆锥曲线配套限时规范训练

第三讲直线与圆锥曲线（推荐时间：50分钟）一、选择题1．由椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1的左焦点作倾斜角为45°的直线l交椭圆于A，B两点，设O为坐标原点，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))等于 ()A．0 B．1C．－eq\f(1,3) D．－32．设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ()A.eq\f(5,4) B．5C.eq\f(\r(5),2) D.eq\r(5)3．经过点(3,0)的直线l与抛物线y＝eq\f(x2,2)相交，两个交点处的抛物线的切线相互垂直，则直线l的斜率k等于 ()A．－eq\f(1,6) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)4．若抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴，若|AB|＝2eq\r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,8)5．若直线y＝x＋t与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，当t变化时，|AB|的最大值是()A．2 B.eq\f(4\r(5),5)C.eq\f(4\r(10),5) D.eq\f(2\r(10),5)6．(n)已知点M(eq\r(3)，0)，椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1与直线y＝k(x＋eq\r(3))交于点A、B，则△ABM的周长为 ()A．4 B．8C．12 D．167．过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1右焦点的直线交双曲线所得的弦长为2a，若这样的直线有且仅有两条，则离心率为 ()A.eq\r(3) B.eq\r(2)C．2 D.eq\r(5)8．已知点F、A分别为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，则双曲线的离心率为 ()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\f(1＋\r(3),2) D.eq\f(1＋\r(5),2)二、填空题9．斜率为eq\r(3)的直线l过抛物线y2＝4x的焦点且与该抛物线交于A，B两点，则|AB|＝________.10．椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)的位置关系是________．11．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AB⊥l，垂足为B，则四边形ABEF的面积为________．12．(·湖北)如图，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a，b>0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则(1)双曲线的离心率e＝________；(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值eq\f(S1,S2)＝________.三、解答题13．(·广东)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq\r(\f(2,3))，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程．(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．14．(·上海)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积．(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ.(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．

答案1．C2．D3．A4．A5．C6．B7．B8．D9.eq\f(16,3)10．相交11．6eq\r(3)12．(1)eq\f(\r(5)＋1,2)(2)eq\f(\r(5)＋2,2)13．解(1)∵e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(2,3)，∴a2＝3b2，∴椭圆方程为eq\f(x2,3b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，即x2＋3y2＝3b2.设椭圆上的点到点Q(0,2)的距离为d，则d＝eq\r(x－02＋y－22)＝eq\r(x2＋y－22)＝eq\r(3b2－3y2＋y－22)＝eq\r(－2y＋12＋3b2＋6)，∴当y＝－1时，d取得最大值，dmax＝eq\r(3b2＋6)＝3，解得b2＝1，∴a2＝3.∴椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)假设存在点M(m，n)满足题意，则eq\f(m2,3)＋n2＝1，即m2＝3－3n2.设圆心到直线l的距离为d′，则d′<1，d′＝eq\f(|m·0＋n·0－1|,\r(m2＋n2))＝eq\f(1,\r(m2＋n2)).∴|AB|＝2eq\r(12－d′2)＝2eq\r(1－\f(1,m2＋n2)).∴S△OAB＝eq\f(1,2)|AB|d′＝eq\f(1,2)·2eq\r(1－\f(1,m2＋n2))·eq\f(1,\r(m2＋n2))＝eq\r(\f(1,m2＋n2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,m2＋n2)))).∵d′<1，∴m2＋n2>1，∴0<eq\f(1,m2＋n2)<1，∴1－eq\f(1,m2＋n2)>0.∴S△OAB＝eq\r(\f(1,m2＋n2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,m2＋n2))))≤eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(1,m2＋n2)＋1－\f(1,m2＋n2),2)))2)＝eq\f(1,2)，当且仅当eq\f(1,m2＋n2)＝1－eq\f(1,m2＋n2)，即m2＋n2＝2>1时，S△OAB取得最大值eq\f(1,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋n2＝2，,m2＝3－3n2))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＝\f(3,2)，,n2＝\f(1,2)，))∴存在点M满足题意，M点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\f(\r(2),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，－\f(\r(2),2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),2)，\f(\r(2),2)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),2)，－\f(\r(2),2)))，此时△OAB的面积为eq\f(1,2).14．(1)解双曲线C1：eq\f(x2,\f(1,2))－y2＝1，左顶点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))，渐近线方程：y＝±eq\r(2)x.不妨取过点A与渐近线y＝eq\r(2)x平行的直线方程为y＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(2),2)))，即y＝eq\r(2)x＋1.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(2)x，,y＝\r(2)x＋1))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),4)，,y＝\f(1,2).))所以所求三角形的面积为S＝eq\f(1,2)|OA||y|＝eq\f(\r(2),8).(2)证明设直线PQ的方程是y＝x＋b.因为直线PQ与已知圆相切，故eq\f(|b|,\r(2))＝1，即b2＝2.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b，,2x2－y2＝1))得x2－2bx－b2－1＝0.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2b，,x1x2＝－1－b2.))又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(OQ,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.故OP⊥OQ.(3)证明当直线ON垂直于x轴时，|ON|＝1，|OM|＝eq\f(\r(2),2)，则O到直线MN的距离为eq\f(\r(3),3).当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(显然|k|>\f(\r(2),2)))，则直线OM的方程为y＝－eq\f(1,k)x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,4x2＋y2＝1))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al