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文档简介

“模块”复习专题精讲

——送教108中学高考数学复习“专题”讲座大连八中：周鹏家必修五复习专题一：

“互余、互补”与“正、余弦定理”在解三角形时，运用正弦定理、余弦定理再结合角的互余关系、互补关系来解决的一类问题，常使人思维短路，得分率较低。究其原因主要是隐含条件挖掘不够，重要的“两互”关系常常被忽略，思想方法的运用不够协调所致。让我们共同来探究一番。例1：如图：要在一座山中打一个涵洞，在山周围取四个点A，B，C，D，使又测得CA=3，AD=7，BD=（单位均为km）求：涵洞AB的长ABCD分析解答：（方法一）设AB=，设，则其余角

由正弦定理，得

-----（1）

再由余弦定理，得

由（1）（2）可得：

答：涵洞的长为7km。解得（方法二）过点作延长线的垂线，交延长线于点，利用平面几何中的相关知识，也可以解决此题。请大家尝试一下例2：如图：已知正方形内有一个点，，求正方形的边长。设设正方形的边长为x(1<x<3)

由，得即而故

例2：

例3：如图:有一个人在V型码头EOF内位于P点的一艘船上，要想到达O地上岸，现有三种方案:自P直接航行到O；②自P与OE垂直航行到A点登陆，再由陆路乘车直达O;③自P与OF垂直航行到B点登陆，再由陆路乘车直达O;现已知陆路车速为船速的2倍，PA=2km,PB=5km,问：选择那种方案用时最省？并通过计算加以说明。，由余弦定理

km分析解答：由已知得即由正弦定理得

由勾股定理得设船速为,则方案②用时为方案③用时为；

方案①用时为所以方案②用时最省，故选择方案②。例4：在ΔABC中，已知AC边上的中线BD=求的值分析解答：解法（一）设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且设，在ΔBDE中利用余弦定理可得：，，解得或（舍去）

故BC=2，从而解得

再由得，由正弦定理得：

解得

解法（二）：如右图

添加辅助线后

由已知可求得；；由勾股定理得；

再由正弦定理得。此法辅助线不好添，计算也并不简便。解法（三）：首先利用中线定理，再运用余弦定理，最后运用正弦定理得到结果。此法相对比较繁琐一些。解法（四）：首先由向量运算：两边平方得到再利用余弦定理求得最后由正弦定理得结论（过程略），此法较便捷，希望同学们一定亲手试一试。

总结：方法一比较好，但添加辅助的平行线，创设出的互补关系，并利用互补关系是解题的关键也是难点。本来过中点添平行线比较常见，但利用同旁内角互补，再结合正、余弦定理这就要看平时是否训练到位了，方法四也比较好，若能从中点想到向量加法，再经过平方、数量积运算得到边长，是非常好的，这就要求平时多进行思维的灵活性、创造性、深刻性、敏捷性训练，真正去培养自己的解题能力，在尝试、探究、解决问题的过程中体验成功逐渐提升能力，在此提醒大家一定要“锲而不舍”，决不能“浅尝辄止”。例5：(06年湖南高考题)

如图：是直角三角形斜边上一点，，记证明：（2）若求角。

解:(1)由已知得，

故

(2)

又在三角形由正弦定理得中再结合可得

即

解得或(舍)所求角

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