函数的最大(小)值

5.3.2.2函数的最大(小)值

【考点梳理】

考点一函数最值的定义

1.一般地，如果在区间［a,J上函数v=/U)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最

大值和最小值.

2.对于函数人x),给定区间/,若对任意X©/,存在%()e/,使得於)涿＞0),则称为函

数./(x)在区间/上的最小值；若对任意xe/,存在x()e/,使得"x)W/Uo),则称y(xo)为函数

y(x)在区间/上的最大值.

考点二求函数的最大值与最小值的步骤

函数4X)在区间睥，句上连续，在区间(“，切内可导，求大X)在口，句上的最大值与最小值的

步骤如下：

(1)求函数,")在区间3,%)上的极值;

(2)将函数段)的各极值与端点处的函数值3比较，其中最大的一个是最大值，最小的

一个是最小值.

技巧训练总结：含参数的函数最值问题的两类情况

(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题.

(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、

小于0三种情况.若导函数恒不等于0,则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取

得；若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.

【题型归纳】

题型一：函数的最值与极值的关系

1.(2021・全国•高二)已知函数y=/(x)的导函数图像，如图所示，那么函数y=/(x)()

A.在(—,-1)上单调递增B.在x=0处取得极小值

C.在x=l处切线斜率取得最大值D.在x=2处取得最大值

2.(2021秋•河北石家庄.高二河北新乐市第一中)已知函数f(x)=-21nx+x2+or在(I,2)

上有最值，则。的取值范围是()

A.(—3,0)B.(-<»,—3)C.(0,+oo)D.(0,3)

3.(2022秋・福建泉州•高二校联考期中)已知函数=以下结论中错误的是()

A.是偶函数B..“X)有无数个零点

C.“X)的最小值为D.f(x)的最大值为1

题型二：不含参函数的最值问题

4.(2022秋•四川乐山.高二统考期末)已知函数〃x)=x+eT,则函数在［-1,1］的最小

值为()

A.1B.1H—C.—1+eD.1—

ee

5.(2022春•陕西渭南•高二统考期末)已知函数/(力=/-3依-1在x=-1处取得极值.

(1)求实数〃的值；

⑵求函数/(x)在上的最大值和最小值.

6.(2022•全国•高二假期作业)已知函数/(x)=e*(x2_6x+l).

⑴求函数的单调区间与极值；

(2)求函数fM在区间［0,6］上的最值.

题型三：含参函数的最值问题

7.(2022春•江西宜春•高二上高二中校考阶段练习)已知函数〃x)=lnx+ar2+(a+2)x+l,

其中aeR.

⑴求函数/(x)的单调区间；

⑵设aeZ,若对任意的x>0,/(x)40恒成立，求”的最大值.

.2

8.(2022秋•陕西西安•高二统考期末)已知函数/(x)=—+alnx.

x

⑴若a=l,求曲线y=/(x)在(1J⑴)处的切线方程；

(2)若函数/(x)在U,e]上无零点，求实数a的取值范围.

9.(2022秋•四川凉山•高二统考期末)已知函数〃x)=lnx-三

⑴讨论“X)的单调性；

(2)若f(x)20,求a的取值范围.

题型四：由函数的最值求参数问题

10.(2022秋•四川雅安・高二统考期末)若不等式+在xe(O,R>)上恒成立,

则实数a的取值范围是()

A.[0,1]B.[0,e]C.[-1,1]D.[0,+a>)

11.(2022秋.四川成都.高二四川省成都市新都一中校联考期末)若关于x的不等式

x2e'Na(21nx+x)+l对Vxe(O,”)恒成立，则实数a的取值范围为()

A.{1}B.[l,e)C.[l,+oo)D.[e,+oo)

12.(2022秋.湖北武汉•高二校联考阶段练习)若函数/(力=?3-以、x+l在

[-3a,3a](a>0)上的最大值与最小值之和不小于则实数a的取值范围为()

A.(0,；B.(0,；C.(0,1]D.(0,2]

题型五：函数的单调性、极值和最值的综合问题

13.(2022春.陕西西安•高二西安中学校考期中)已知函数〃x)=9-x+alnx,aeR.

⑴若f(x)在区间(3,一)上单调递减，求实数。的取值范围；

(2)若a>0,f(x)存在两个极值点为，X,,证明："」一/「)<〃-2.

玉F

14.(2022秋・上海宝山•高二上海市行知中学校考期末)己知函数/(x)=e'(x+2).

⑴求函数/(x)的极值；

⑵若函数g(x)=/(x)-5e，-机有两个零点，求实数”?的取值范围.

15.(2022秋•湖北武汉•高二武汉市第一中学校考阶段练习)已知函数f(x)=x-lnx-2.

⑴求曲线产/'(x)在处的切线方程；

13

⑵记函数g(x)=]x2-bx-2-/(x),设X1,马(凡〈士)是函数g(x)的两个极值点，^b>-,

且展演)—后恒成立，求实数女的最大值.

【双基达标】

一、单选题

16.(2022春.陕西延安.高二校考阶段练习)若函数〃X)=2HIU-$3+3X在区间(0,2]上单

调递减，则实数。的最大值是()

A.1B.-1C.0D.-2

17.(2022春•江苏连云港•高二校考期末)函数/(x)的导函数尸(x)的图象如图所示，则()

为函数)的零点

A.x=J"XB.1=2为函数/(x)的极大值点

C.函数“X)在上单调递减D.〃-2)是函数/(x)的最小值

18.(2022秋・广东潮州•高二饶平县第二中学校考开学考试)若函数

ln(x4-l)-ox-2,x>0

fM=\i八的最大值为。-2,则实数。的取值范围为()

x+—+«,x<0

x

A.(―<x>,e]B.

C.D.[e,+oo)

19.(2022春•浙江♦高二校联考阶段练习)若函数f(x)=kw-ox2+(“-2)x(x«l,+8))有最

小值，则实数〃的取值范围为()

A.B.(-<»,—1)C.(0,1)D.(-1,1)

20.(2022秋•浙江杭州•高二杭州四中校考期中)设函数/(x)=lnx+2ex2,

g(x)=d+阳4eR),若函数y=/(x)-g(x)只有1个零点，则函数g(x)在［O,e］上的最大

值为()

A.0B.3+lC.2e3+1D.2e3+-

ee

21.(2022春•新疆巴音郭楞•高二新疆和静高级中学校)已知函数/(司=/+笈+2在x=-2

处取得极值-14.

⑴求a,2的值；

⑵求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

⑶求函数/（x）在［-3,3］上的最值.

22.（2022春•陕西渭南•高二统考期末）已知函数/（"=；.必+如2-3/乩

（1）当。=1时，求函数f（x）在［0,2］上的最大值和最小值；

⑵若函数“X）在区间（1,2）内存在极小值，求实数。的取值范围.

【高分突破】

一、单选题

23.（2022・高二课时练习）已知函数〃x）=lnx,若对任意的，e（O,-K»）,都有

［.（xj-/（w）］（Y-¥）“卜/+石）恒成立，则实数%的最大值是（）

A.-1B.0C.1D.2

24.（2022秋•黑龙江哈尔滨•高二哈尔滨市第六中学校校考期末）若对任意xc（-1,田），不

等式ae'-ln（x+l）+lnaNl恒成立，则实数”的最小值是（）

A.1B.2C.eD.3

25.（2022秋•贵州贵阳•高二校联考期末）若函数/（x）=e'+lnx+x/E+a在X4翳上

的最小值为e+1,则a的值为（）

26.（2022秋・江西上饶•高二校联考期末）己知不等式3取3一_1+/2/，对任意x«0,l）恒成

X

立，则实数4的最小值为（）.

A.—eB.—C.eD.—

32

27.(2022秋・北京海淀•高二统考期末)已知函数"x)=lnx-ksinx,xe(0,7i],给出下列

三个结论：

①/(x)一定存在零点；

②对任意给定的实数Z,7(x)一定有最大值；

③/(x)在区间(0㈤上不可能有两个极值点.

其中正确结论的个数是()

A.0B.1C.2D.3

28.(2022秋•重庆江北.高二重庆十八中校考期末)若函数八“二丁一工在区间(2“,a+3)上

有最小值，则实数。的取值范围是()

A.1-2,g)B.(-2,1)C.T,g)D.(-2,-1]

二、多选题

2

29.(2022春.江苏盐城.高二江苏省响水中学校考阶段练习)已知函数/(x)=lnr+1,则下

列判断正确的是()

A.存在xe(0,+8),使得/(x)＜0

B.函数y=.f(x)-x有且只有一个零点

C.存在正数%,使得了(尤)-丘＞0恒成立

D.对任意两个正实数小三，且%＞玉，若〃xJ=〃W)，则为+々＞4

30.(2022秋•辽宁辽阳•高二辽阳市第一高级中学校联考期末)已知函数f(x)=e'(x-ae'),

则下列说法正确的是()

A.当a=0时，〃x)在点(oj(o))的切线方程是x-y=o

B.当时，f(x)在R上是减函数

C.若/(x)只有一个极值点，则或

D,若f(x)有两个极值点，则0＜“＜；

31.(2022秋・河北石家庄•高二统考期末)已知"x)=^；-lnx,/(x)在x=x。处取得最大

值，则().

A.〃瓦)〈为B./($)=毛C.D./(%)>；

32.(2022秋.福建漳州.高二校联考期末)已知〃x)=(x+l)e=g(x)=x(lnx+l),则()

A.函数〃x)在R上有两个极值点

B.函数g(x)在(0,+8)上的最小值为

C.若对任意xeU,2],不等式g(ar"g(x2+l)恒成立，则实数"的最小值为：

D.若/(xj=g(x2)=f(1>0),则9(西+1)”的最小值为一

33.(2022秋•山东烟台•高二统考期末)关于函数/(x)=ln(e2*+l)-x,下列说法正确的有

()

A../(X)为奇函数

B.yw为偶函数

c.7W的最小值为In2

D.对％,々e(0,+8),都有答习

34.(2022秋・广东清远•高二统考期末)已知函数/(x)=e*+x-2和g(x)=lnx+x-2,若

ra)=g(x2)=o,则()

A.x,+x2=2B.0<X,

C.-X,>VeD.-<—x2Inx2

三、填空题

35.(2022・全国•高二)已知函数/(x)=lnx+2,设函数/z(x)=〃x+l)-x-2,则从x)的最

大值是.

36.(2022.全国•高二假期作业)已知函数8(力=夫3-]/+2犬+].若8⑴在内不

单调，则实数。的取值范围是.

37.(2022秋•山东泰安•高二统考期末)已知函数〃x)=e'-eT-sin2x+l,xe[-7t,0],则

/(x)的最大值为.

38.(2022•全国•高二专题练习)已知函数=+J在区间(0,y)上有且只有一

个极值点，则实数f的取值范围为.

39.(2022•全国•高二专题练习)已知函数/(x)=ar+1+(a-l)lnx(aeR)的最小值为2,则

实数a的值是.

40.(2022秋•四川绵阳•高二统考期末)已知函数〃x)=寸-3x,g(x)=e*一见+2,对于

任意方,天目0,2],都有/(xJVgU)成立，则实数”的取值范围是

41.(2022秋•山东淄博•高二统考期末)已知函数f(x)=x(lnxT)一履2,若对于定义域内任

意不相等的实数小三，都有＜0,则实数％的取值范围是.

四、解答题

42.(2022•全国•高二假期作业)已知函数/(x)=lnx-；以2+。

⑴当。=1时,求/(X)的最大值；

⑵若f(x)£手恒成立，求a的取值范围.

43.(2022秋•黑龙江哈尔滨•高二哈尔滨市第一二二中学校校考期末)己知函数

f(x)=ex-ax-1.

(1)当a=l时，求函数〃x)的图象在点(1,/⑴)处的切线方程；

⑵讨论函数f(x)的单调性；

(3)若/(x)20恒成立，求实数〃的取值集合.

44.(2022春•陕西延安•高二校考阶段练习)已知函数〃x)=d+加一x+c且。=(

(1)求“的值;

⑵求函数/(x)的单调区间；

⑶设函数g(x)=[/(x)+x2]e',若函数g(x)在xe[-3,2]上单调递增，求实数c的范围.

45.(2022秋・河南驻马店•高二新蔡县第一高级)已知函数f(x)」+“呼二X).(x＜0).

e

⑴设g(x)=e"(x)+/在[-2,0)上单调递减，求a的取值范围；

⑵当时，证明：Vxe(-e,-e],/(外＞1恒成立.

46.(2022春•北京•高二清华附中校考阶段练习)已知函数/(x)=x-：-2xlnx.

⑴求函数/(x)在口,”)上的最大值；

⑵若对于任意的xe(l,e),总有〃＜上三＜6,分别求出a,6的取值范围.

x-1

47.(2022春・浙江•高二校联考阶段练习)设函数"x)=e'_]+ax(aeR),其中e是自然对

数的底数.

(1)若/(力单调递增，求。的取值范围；

⑵设曲线y="x)在尸西(%＞0)处的切线与曲线y=f(x)交于另一点(々/(2)，若W4为恒

成立，求，的取值范围.

参考答案：

1.C

【分析】本题首先可根据导函数图像分析出函数y=/(x)的单调性与极值，即可判断出A、B、D错误，然后根据

导函数值的几何意义即可得出C正确.

【详解】结合图像易知，

当1)时，函数y=/(x)是减函数，

当彳=-1时，函数y=/(x)取极小值，

当1,2)时，函数y=/(x)是增函数,

当x=2时，函数y=f(x)取极大值，不一定是最大值，

当xe(2,4co)时,函数y=是减函数，

结合上述易知，A、B、D错误，

因为函数在某点处的导函数值即函数在这点处的切线斜率，

所以由图像易知，在x=l处切线斜率取得最大值，C正确，

故选：C.

2.A

2

【分析】首先求出导函数./''(x)=-1+2x+a(x>0),只需在(1,2)上不单调即可.

2

【详解】由题意可得/'(X)=—+2x+a(x>0),

x

f(x)在(1,2)上单调递增，若/(X)在(1,2)上有最值，

则.f(x)在(1,2)上不单调，

‘伉2)=4+3>0,

解得-3<”0.

故选：A

3.C

【分析】由奇偶性定义可判断出A正确；令〃x)=0可确定B正确；根据/(x)定义域为R,=可知若最

小值为-g,则x=l是的一个极小值点，根据/'⑴片0可知C错误；由x=0时，cosn取得最大值，一+1取

得最小值可确定D正确.

II

…5—.八COS(F)COS7TX\

【详解】对于A,/(x)定义域为R,/(—)=(_]+；=-^p=/(x),

\/(x)为偶函数,A正确;

对于B,令/(x)=0,即cosnr=0,/.7tx=^+k7r{keZ),解得：x=^+k^keZ),

\/(x)有无数个零点,B正确;

对于C,./(1)=-1,若〃x)的最小值为则x=l是〃力的一个极小值点，则/⑴=0;

(%X24-sin71X4-2^COS71X

2;rsin/r+2cos乃

f'(x)=-=-■-丰0,

i^r/0)=42

：.x=l不是/(x)的极小值点，C错误;

对于D,.-1<COS^-X<1,x2+1>1；

则当COS7TX=1,X2+1=1.即X=0时，f(x)取得最大值1,D正确.

故选：C.

4.A

【分析】利用导函数求得函数/(x)在卜U]上的单调区间，进而求得函数/(x)在[-1』的最小值

【详解】/(x)=x+e-\xe[-l,l],则尸(x)=i-e-"=M，、目一川

当T4x<0时，r(x)=^<0,/(x)单调递减；

当0<xVl时，/(力=*>0,f(x)单调递增.

贝If(x)在x=0时取得最小值/(0)=0+e0=1

故选：A

5.(1)«=1

⑵小)"，

【分析】(1)求导，根据极值的定义可以求出实数。的值；

(2)求导，求出xe[-2,l]时的极值，比较极值和〃-2),/⑴之间的大小关系，最后求出函数的最大值和最小值.

【详解】(1)f'(x)=3x2-3a,

••,函数/(x)在x=-l处取得极值,

12

/(-］)=3-3a=0,

即a=l(经检验符合题意)，

•,•<2=1.

(2)由(1)知”x)=d-31,

则用x)=3d-3,

4'/，(X)=3X2-3>0,解得XV-1或X>1；

令/'⑺=？%276,解得—

•••函数/(x)在卜2,-1)上单调递增，在上单调递减，

则极大值/(-1)=1,而/(一2)=-3,/(1)=-3.

故函数/(x)在［-2』上的最大值和最小值分别为，

f(x)a=/(T)=l，/(^)min=."1)=/(-2)=-3.

6.(1)单调递增区间是(YO,T),(5,+CO),单调递减区间是(-1,5),极大值是8e-L极小值是Ye，

(2)最大值为e‘，最小值为-4et

【分析】(1)对/(力求导，根据导数的正负确定函数的单调区间，进一步确定极值即可；

(2)根据极值和端点值即可确定最值.

【详解】(1)=el(x2-4x-5)=ev(x-5)(x+1).

令((x)>0,得x<—1或x>5；令f'(x)<0,得—l<x<5,

所以/(x)的单调递增区间是(TO,-1),(5,+co),单调递减区间是(-1,5).

所以fM的极大值是/(-I)=8e，fM的极小值是/(5)=-4e5.

(2)因为/(0)=lJ(6)=e6,

由(1)知,在区间［0,6］上,『3有极小值/(5)=-4管,

所以函数f(x)在区间［0,6］上的最大值为e6,最小值为-4e5.

7.(1)当时，Ax)在(0,+8)上单调递增，无单调递减区间；

当“<0时，/(x)在(0,-L上单调递增，在(-L+8)上单调递减.

na

(2)-2

13

【分析】(1)先确定函数的定义域，然后求导，通过讨论。的正负判断导函数在定义域内有无零点，无零点时原函

数在定义域内单调，有零点时再通过导函数确定各区间的单调性；

(2)原不等式恒成立等价于原函数的最大值小于等于0成立，由第一问的单调区间求得原函数的最大值，记为关

于。的函数，再通过对新函数求导判断单调性，得到满足新函数小于等于0的自变量a的最大整数值即可.

【详解】(1)/(x)=lnx+tzx2+(a+2)x+l,定义域为(0,+°0)

、1c.2ax2+(a+2)x+l

f\x)=-+2ax+a+2=---------------——

XX

当a=0时，r(x)=生里>0,/(X)在((),《»)上递增.

X

当a>0时，八x)=+("+2"=3+1)(2X+1)>0,/(x)在(0,田)上递增.

XX

当a<0时，令r(x)>0,得x<-1；令r(x)<0,得x>」.

aa

即f(x)在(o,-3上递增，在(-L3)上递减.

aa

综上：当a20时，/3)在9,”)上单调递增，无单调递减区间；

当。<0时，/(幻在(0,—)上单调递增，在(-L+8)上单调递减.

aa

(2)/(x)=InA+6LX2+(〃+2)1+1<0在(0,+00)上恒成立，

等价于/(初而(0.

由(1)得,

当。之0时，在(0,y)上单调递增，无最大值，

故此时原不等式无法恒成立；

当〃<0时，/a)在(0,-3上单调递增，在(-L+8)上单调递减，

aa

则此时/(X)max=/(-工)=皿—工)一J

aaa

即须ln(-3—成立.

aa

记函数g(〃)=ln(-L)-',。<0且awZ

aa

则g'(〃)=」+4==^>o

aa"a~

即g(〃)在(—,())单调递增.

因为g(T)=l>°,g(-2)=g—ln2<。

14

所以满足g(“)40的。的最大整数值为-2.

综上：a的最大值为-2.

8.⑴y=-x+3；⑵卜|,+8).

【分析】(1)根据导数的几何意义求解即可；

(2)求导，对“分类讨论，根据函数的最值与0的关系即可求解.

2

【详解】解：(1)由题得fa)=-+lnx,xw(O,+a)),

x

则r*)="，

X

/(1)=2,广(1)=-1,

曲线y=/(x)在(1,2)处的切线方程为y-2=—(x—l),即y=-x+3.

_、a2ax—2

(2)=——-=—―

Xx~x~

①当4,0时，f'(x)<0,/(x)在［Le］上单调递减,

/(X)在［he］上无零点且/(l)=2>o,

2

则.f(e)=Q+_〉0,

e

2八

—<%0；

e

②当。>0时，

2

令八x)=0得元=一，

a

2

若一“1即a.2时，m.0,/(“)在口,e］上单调递增,

a

由/(1)=2>()可知，a.2符合条件；

22

若一..e,即0<为=时,m，0,在［Le］上单调递减,

ae

22

f(x)在［l,e］上无零点且"1)=2>0,则/(e)=〃+—>0,・・.0<%-；

ee

22「2、(2

若］<_<e,即—<〃<2时，f(x)在1,一上单调递减，在一,e上单调递增,

aeLa)\a

,/(l)=2>0,/(e)=4Z+->0,/Wmin=/［-|=6f+^ln->0,

e\a)a

2八

一<Q<2,

e

综上，a的取值范围为(-|，+8).

9.(l)a40时，/(x)在(O,+e)上单调递增；a>0时，〃x)在(O,a)上单调递减，在(。,m)上单调递增;

15

⑵口”).

【分析】(1)对函数y(x)求导，然后分为和。>0两种情况去讨论即得；

(2)分为和。>0两种情况讨论，在4>0时，求解函数的极小值，进而即得.

(1)

由题意知:r(x)=^(x>0).

当aVO时，xe(0,e>),用x)>0,函数/(x)单调递增；

当a>0时，x«0,a),/'(x)<0,函数f(x)单调递减，xe®—),制x)>0,函数/(x)单调递增.

综上，a4OH寸，f(x)在(0,+8)上单调递增；

a>0时，“X)在(0,。)上单调递减，在(a,+8)上单调递增.

(2)

当a40时，/(1)=«-1<0,即a40不合题意；

当a>0时，由(1)可知〃力2“4),

则/(a)=lnaN0,g|J«>l.

综上，a的取值范围为口,田).

10.A

【分析】问题转化为xe，-a(lnx+x+l)W0在xe(0,3)上恒成立，当4=0时，上式显然成立，当awO时，令

/(x)=xev-a(lnx+x+l),xe(0,y),对函数求导后，分a<0和a>0两种情况求函数最小值，使基本最小值大于

等于零即可

【详解】由+在X«0,E)上恒成立，得

xe'-a(\nx+x+l)N0在xe(0,-w)上恒成立,

当。=0时，上式显然成立，

当〃工0时，f(x)=xex-a(\nx+x+\),XG(0,-K»),

贝ljf(x)=ev+xex-^f-+11=(x+l)fev--Y

当〃vO时，r(x)>0,所以/(x)在(O,+功上递增,

16

而当x—0时，不合题意,

当a>0时，由f'（x）=O,得e'=q,

由图象可知，存在%,使e&=",所以lne*=ln*-,得与+皿工。=lna,

*0*0

当0cx时，f\x）<0,当x>x（）时，f\x）>0,

所以〃x）在（0,%）上递减，在（为,一）上递增，

所以当尤=/时，/（x）取得最小值，

所以=/（与）=%6--a（lnx0+x0+l）

=a—a（\na+1）=—〃Ina,

由一alnaNO,得InaKO,得OvaWl,

综上，0<«<l,

故选：A

【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的综合应用，解题的关键是将问题转化为

xe、-〃（lnx+x+l）之。在x£（0,”）上恒成立，构造函数/（x）=xe'-a（ln九+x+l）,利用导数求出函数的最小值，考

查数学转化思想和计算能力，属于较难题

11.A

【分析】令—e"二♦,故lnf=2Inx+x,原不等式变为x%'Nq（21nx+x）+lo,=aln/+l之。，进而令

F^=t-\-a\nt,利用最值分析法，通过对尸⑺的导数进行讨论，即得.

【详解】由题意得，人工之q（21nx+x）+l,令了％卜=人故ln，=21nx+x,

17

故Ye*>6r(21n«r+x)+lofNalnz+l.

令尸⑴=—lnt,则/⑺=1一台宁.

若aVO,贝1」尸'(。>0,则F⑺在(0,+8)上单调递增，

又F(1)=0,则当0。<1时，/(。<0,不合题意，舍去；

若a>0,则当，€(0M)时，尸。)<0,当小)时，F'。)>0,

则函数尸⑺在(0,。)上单调递减，在(4+8)上单调递增.

因为产⑴=0,

所以若a>l,则当fe(l,a),F(/)<0,舍去；

若则当f€(4」)，尸(。<0,舍去；

若a=l,则F(r)ZF(l)=0,符合题意，故a=l.

故选：A

【点睛】方法点睛：恒(能)成立问题的解法：

若f(x)在区间D上有最值，则

(1)恒成立：Vxe£>,/(x)>0«/(x)^>0；VxeD,/(x)<0<s>/(x)n)ax<0；

(2)能成立：HreDJ(x)>0of(x)3>0；BxeD,/(x)<0«/(x)min<0.

若能分离常数，即将问题转化为：«>/(%)(或〃<f(x)),则

⑴恒成立：a>/(x)««>/(x)nm；a<f(x)=a<〃x*n；

(2)能成立：«>/(x)<=>a>/(x)inin；a<f(x)<^>a</(x)^.

12.B

【分析】法一：由题设得r(x)=Y-2办+1(。>0),结合二次函数的性质研究/(x)符号，进而确定/(X)的单调性,

求得不同情况下的最值并结合/(幻皿-/(幻脸,即可求参数范围；

法二：由题设可得/(3。)=3。+1、/(-3〃)=-18"-34+1,应用作差法，与Ax)比较大小，即可确定最值结合

/(-v)n»x-/(A")min2一；,即可求参数范围；

【详解】法一：由题意，/'(x)=x2—2ox+l(a>0),对于用x)=0,

18

当△=4/-440,即0<。41时,小/。,/(x)在［―3凡3可上单调递增，

所以f(3a)+f(-3a)=2-18/z-J,即因此0<〃4〈；

482

当△=4/-4>0,即时，由神市-八。、/(一3。)>0且/"(3。)>0,则用x)=0在［―3兄3句上有两个不相

等的实根巧，X》

不妨设看<刍，则［-3a,%)上第x)>0,(%,%2)上/")<0,(和3双上第x)>0,

所以/(x)在［-3a,芭)上单调递增，在(不超)上单调递减，在小，3句上单调递增，

由此，/(比产血"〃-3a),/®)},/⑸而=max{/(3a),〃%)}•

由/(王)-〃3a)=gx：-端+%-3a=gx；(玉-3a)+玉-3a=(玉-3«)(gx；+1卜0,则/(演)</(3a),同理可得

/⑸>/(-3a),

所以/(“2=/。。)，”力而“=/(—3a),则f(3.)+/(—3a)=2_18a3zT，解得与。>1矛盾.

综上，0<6Z<—.

法二：由题意得：f(3a)=I(3a)3-a(3a)2+3«+1=3a+1,/(-3a)=1(-3a)3-a(-3a)2-3a+1=-18a3-3a+1.

当xe［_3a,3可时，/(x)-/(3«)=-^x3-ax2+x-3a=-^x2(x-3a)+x-3a=(x-3a)^x2+l^j<0,即/(x)</(3a),

所以〃xU=/(3a)；

f(x)-f(-3a)=§x'-ux~+x-(-18a，-3a)——x3+ax~—2tlv+1Stz1+x+3a——x2(x+3a)-2a(x2-9a~)+x+3a,又

x+3a>0,x2-9a2<0,即/(x)2/(—3a),

所以/(%=/(')•

综上，/(3a)+/(-3a)=3«+1-18o3-3a+1=2-18a3>--,即得

482

故选：B.

(101

13.(l)［-8,可

(2)证明见解析

【分析】⑴由题意可得/。)=-心竽里V0在(3,内)上恒成立，转化为a4x+1在(3,田)上恒成立，构造函数

XX

19

〃(x)=x+,利用导数可求出其最小值,

〃止/伍),2।21nx2

(2)由(1)知：4，巧满足f-6+1=0,中2=1，不妨设°<々<W，则x?>1,则%-9J__v

X)

所以只需证，-々+21门2<°成立，构造函数g(x)=L-l+21nx,利用求出其出其最大值小于零即可.

X2X

【详解】(1)r(x)=--V-i+-=-v-T+I>又/(x)在区间(3,y)上单调递减，

XXX

f'(x)=-厂一宇+140在(3,转)上恒成立,即f一6+120在(3,”)上恒成立，

X

〃qx+-在(3,+oo)上恒成立；

设〃(x)=x+g,则”(x)=l一5，

当x>3时，〃(x)>0,.，・〃(x)单调递增，

/?(x)>〃(3)=?,

即实数〃的取值范围是18,与.

(2)由(1)知：X[,巧满足X?+1=。・

x,x2=1,不妨设0<玉<工2，则工2〉1.

.1__i1.lnX|lnx2_2...一—当一2^―2111々

X-XX]/X)-Xx一WJ__Y，

22l*2

X2

则要证八七"〈I,即证_L_Y,

4一&E2

即证21nx2------，也即证----x2+2Inx2<()成立.

了2工2

设函数g(x)=/-l+21nx,则g[x)=1_]+2=_(*:1)<0,

g(x)在(0,+8)单调递减，又g⑴=0.

.•.当xe(l,+oo)时，g(x)<0,

一」+21nx2<0,即/」)7(引<a-2.

X2再一％2

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数证明不等式，解(2)

20

问解题的关键是根据题意将问题转化为证,-々+2In9<0成立，构造函数g(x)=工_1+2Inx,利用导数求出其最

X2X

值即可，考查数学转化思想，属于较难题.

14.(1)极小值为-晓；，无极大值

⑵(《0).

【分析】(1)极值点就是导数等于零的解，且在解的左右两边区间的导数符号异号时才是极值点，进而求出极值.

(2)函数有两个零点，转化为两个函数有两个交点问题.求出函数的极值，并且得到函数的单调性，再分类讨论即可

求出2个交点时的，〃的范围.

【详解】(1)已知f(x)=e*(x+2),则r(x)=r(%+3已令fM=0,得工=一3,

当x<-3时，/(x)<O,/(x)为减函数；

当x>-3时，/(x)>O,/(x)为增函数；

所以/(x)的极小值为/(-3)=-e-3,无极大值；

(2)g(x)=/(x)-5ev-m=ex(x-3)-m,

函数g(x)=e'(x-3)-利有两个零点，等价于曲线〃(外=1(1-3)与直线丫=机有两个交点.

u\x)=ex(x-3)+ex=e'(x-2),

令/(x)=。得x=2.当xe{-co,2)时,〃'(x)vO「.w(x)在(-<x),2)单调递减，

当X€(2,-H»)时,〃'(X)>O「.〃(X)在(2,+8)单调递增，

:.x=2时，取得极小值履2)=-。2,

又xw(2,+oo)时，〃(幻单调递增，且x->+8时，〃(x)fy；

xe(-8,2)时〃(x)单调递减，且时，«(%)->(),w(x)<0；

要使函数且。)=/(幻-51-根有两个零点，

即曲线u(x)=e\x-3)与直线、=机有两个交点.，

则只需"(2)=-e2<加<0.；.m的取值范围为：(T,。).

【点睛】本题考查函数的极值定义，以及函数的零点问题转化成函数的交点问题.属于中等题.

15.⑴y=-1

21

⑵1-21n2.

【分析】(1)由导数的几何意义即可求曲线产/(x)在x=l处的切线方程；

(2)将g(xj-g(&)转化为比土-；(五-三)，从而构造G(f)=Inf-("」)，根据导数即可求得GQ)的最小值，从

x22x,xt2t

而得解.

【详解】⑴r(x)=i-p所以切线斜率为r⑴=o,

又〃1)=-1,切点为所以切线方程为：y=-l.

1

(2)g(x)=\nx+—x~9-(b+l)x,

,1.x2—(/?+l)x+1

••・g(X)=_+X_S+1)=——-——-——,

XX

若62/,则e+i)~-4=e+3)s-i)>。恒成立，

,X1+工2="1,XjX2=1,

y1

=L

g(%)-g(X2)In—+7(X1"—xl)-(b+1)(^—x2)

x22

=In--—(/?+l)(Xj—x2)

x22

_%1(x+x,)(x-x)

—in-------------1-----------1-----2--

x22x1x2

=lnA_l(A_^)(

x22x2%

0<x,<x2,

设，=五，贝ij0vf<1,

%

令G(f)=ln/」("1),0</<l,

2t

则G«)=J_2(i+4~)=_«?<0,

t2r2r

.・・G⑴在(0,1)上单调递减;

a?s

b>~,/.(/?+l)2>y,

..+1)2=(再+?)2=』+21々+小