旅游统计学（教学课件）第八章 相关分析与回归分析

第八章相关分析与回归分析第一节相关分析的意义和内容任何事物的变化都与其他事物是相互联系和相互影响的，用于描述事物数量特征的变量之间自然也存在一定的关系。变量之间的关系归纳起来可以分为两种类型，即函数关系和统计关系。一、函数关系与相关关系函数关系当一个变量x取一定值时，另一变量y可以按照确定的函数公式取一个确定的值，记为y

=

f(x)，则称y是x的函数，也就时说y与x两变量之间存在函数关系。如，某种商品在其价格不变的情况下，销售额和销售量之间的关系就是一种函数关系：销售额=价格×销售量。变量函数关系图形化的表示。

函数关系是一一对应的确定性关系，比较容易分析和测度，可是在现实中，变量之间的关系往往并不那么简单。相关分析当一个或几个变量取一定值时，与之相应的另一个变量值虽然不确定，但仍按某种规律在一定范围内变化。变量间的这种不确定性的相互关系称为相关关系。

相关分析是分析变量间是否有相关关系，确定相关关系是否存在，描述相关关系呈现的形式和方向，以及变量间相关的密切程度的方法。

如，旅游土特产商品，其平均亩产量和施肥量之间存在着一定的依存关系，即在一定时候随着施肥量的增加，其平均亩产量也相应增加，但平均亩产量还受土壤、气温、雨量、密植程度等因素影响，并不是唯一确定的，这种关系就是相关关系。

变量相关关系的图形化表示二、相关分析的分类（一）按相关的变量多少不同，可分为单相关和复相关（二）按相关的表现形式不同，可分为直线相关和曲线相关（三）按相关的程度不同，可分为不相关、完全相关和不完全相关（四）按相关的方向不同，可把直线相关分为正相关和负相关三、相关分析的主要内容（一）确定现象之间有无关系（二）确定相关关系的表现形式（三）测定相关关系的密切程度和方向第二节相关关系的测定一、相关表相关表是一种统计表，它是直接根据现象之间的原始资料，将一变量的若干变量值按从小到大的顺序排列，并将另一变量的值与之对应排列形成的统计表。

饭店编号年广告费投入月平均营业额12345678910

1215232633343945556021233234424349525963

表7-1年广告费投入和月平均营业额相关表

单位：万元二、相关图相关图又称散点图，它是用直角坐标系的轴代表自变量，轴代表因变量，将两个变量间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出来，用以表明相关点分布状况的图形。

年广告费投入与月平均营业额相关图三、相关系数相关系数是在直线相关条件下，说明两个变量相互之间变化方向及密切程度的统计分析指标。相关系数通常用表示。相关系数的测定方法，直接来源于数理统计中相关系数的定义

式中：为资料项数；为变量的标淮差；为变量的标准差；为两个变量的协方差。7.1式的分子分母中，有公因子，同时约掉化简得：(7.1)(7.2)7.2式是通过各个变量离差乘积的方法来计算相关系数的，也称为“积差法”相关系数公式。由于各变量的离差通常带有小数，因而“积差法”公式的计算结果往往缺乏准确性。在实际应用中，如果依据原始资料计算相关系数，可用7.2式的简化公式计算。现将7.2式的分子分母转换为：把以上结果代入7.2式，可得：

或（7.3）（7.4）序号年广告费投入月平均营业额

123456789101215232633343945556021233234424349525963

144225529676108911561521202530253600

44152910241156176418492401270434813969

252345736884138614621911234032453780合计342418139901931816341现在用表7-1的资料为例，计算年广告宣传费投入和月平均营业额之间的相关系数。表7-2相关系数计算表由表中资料得如下有关数据:代人7.3式，计算相关系数为:计算结果表明年广告宣传费投入和月平均营业额之间存在高度的正相关关系。（二）相关系数的意义相关系数对于判断变量之间相关关系的密切程度，有其重要的意义。相关系数的取值范围：是在-1和+1之间，即。当＞0，为正相关，＜0则为负相关。相关系数的绝对值越接近于1，表示相关关系越强，越接近于0，表示相关关系越弱。如果||＝1，则表示两个变量完全直线相关。如果||＝0，则表示两个变量完全不相关。但要注意的是只表示与的直线相关密切程度，当很小甚至为0时，并不表示与之间不存在其他非直线型的相关关系。相关系数与相关密切程度等级相关系数绝对值||相关密切程度等级0.3以下0.3-0.50.5-0.80.8以上不相关低度相关显著相关高度相关第三节一元线性回归分析一、回归分析的概念回归分析是指对具有相关关系的变量，依据其关系形态，选择一个合适的数学模型（或称回归方程式），用来近似地表示变量间数量平均变化关系的一种统计方法。

按分析变量的多少不同，可分为一元回归分析与多元回归分析；按分析变量间的表现形态不同，可分为线性回归分析与非线性回归分析等。二、相关分析与回归分析的关系相关分析是回归分析的基础和前提，回归分析则是相关分析的深入和继续。相关分析需要依靠回归分析来表现变量之间数量相关的具体形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表现变量之间数量变化的相关程度。只有当变量之间存在高度相关时，进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。两者的区别主要体现在以下三个方面：1.在相关分析中涉及的变量不存在自变量和因变量的划分问题，变量之间的关系是对等的；而在回归分析中，则必须根据研究对象的性质和研究分析的目的，对变量进行自变量和因变量的划分。因此，在回归分析中，变量之间的关系是不对等的。2.在相关分析中所有的变量都必须是随机变量；而在回归分析中，自变量是给定的，因变量才是随机的，即将自变量的结定值代人回归方程后，所得到的因变量的估计值不是唯一确定的，而会表现出一定的随机波动性。3.相关分析主要是通过一个指标即相关系数来反映变量之间相关程度的大小，由于变量之间是对等的，因此相关系数是唯一确定的。而在回归分析中，对于互为因果的两个变量（如商品的价格与需求量），则有可能存在多个回归方程。三、一元线性回归（一）一元线性回归模型其表达形式：

式中：为因变量的估计理论值；为自变量的实际值；、为待定参数，为直线方程的截距，即为当为0时的估计值，是回归系数，即当每增加一个单位时的平均增加量。（7.5）（二）用最小二乘法求回归系数用最小二乘法拟合的直线最具有代表性，也称最佳线。

（7.6）令则是两个待定参数和的函数。要使为最小值，就要用数学中对二元函数求极值的原理，求关于和的偏导数，并令其等于零，整理得出直线回归方程中求解参数、的标准方程组，（7.7）（7.8）应用7.7和7.8式，求出与的值，代入7.5式，即可得出具体的直线回归方程式。由标准方程组的7.7式，得：（7.9）将7.9式代入7.8式，有即（7.10）现仍用表7-1某饭店年广告费投入和月平均营业额的有关资料为例，计算、的值得到：将和的数值代入7.5式，得出年广告费投入和月平均营业额的直线回归方程：式中：，是回归直线在轴上的截距；，表示年广告费投入每增加一个单位(万元)，月平均营业额平均增加0.892(万元)。四、一元回归估计标准误差（一）估计标准误差的意义回归方程的一个重要作用在于根据自变量的已知值估计因变量的理论值（估计值）。而理论值与实际值存在着差距，这就产生了推算结果的准确性问题。如果差距小，说明推算结果的准确性高；反之，则低。为此，分析理论值与实际值的差距很有意义。估计标准误差是衡量回归直线代表性大小的统计分析指标，它说明观察值围绕着回归直线的变化程度或分散程度。（二）一元估计标准误差的计算估计标准误差是用来说明回归方程代表性大小的统计分析指标，其计算原理与标准差基本相同，估计标准误差说明估计理论值的代表性。

1.定义公式。定义公式是直接根据剩余变差计算的，是剩余变差平均数的平方根，反映了实际观察值与估计值之间的平均离差程度。（7.11）式中：为估计标推误差；为自由度，因在一元线性回归方程中．计算了、两个参数，即失去了两个自由度。2.简化公式。简化公式是根据回归直线方程中的参数、计算，特点是能与相关分析和回归分析中的数据资料相结合，其计算结果等同于定义公式。（7.12）仍以表7-2的资料为例，结合说明估计标准误差的计算方法。可列出计算表，如表7-3所示。表7-3估计标准误差计算表序号

年广告费投入

月平均营业额

12345678910

12152326333439455560

21233234424349525963

22.0024.6731.8134.4940.7341.6246.0851.4360.3564.81

1.002.800.040.241.611.908.510.321.833.29

合计

342418418.0021.54将计算表的有关资料代入公式得：计算结果表明，估计标准差是1.641万元。如果用建立线性回归模型后公式计算，则有：（万元）（万元）五、估计标准误差与相关系数的关系估计标准误差与相关系数在数量上也存在着换算关系，这就从另一角度说明了相关分析与回归分析之间的联系。二者之间的换算公式是：（7.13）（7.14）(1)需要先求出回归直线方程，计算出估计标准误差，才能求得相关系数。而从一般的认识程序来看，只有相关关系密切的情况下，配合回归方程才有意义；如果关系不密切，下一步的计算就不必要了，因而要求先计算相关系数以判断相关关系的密切程度。(2)以这种方法计算出的，难以判断是正相关还是负相关。在实际的相关分析中，—般不常用这种方法计算相关系数，因这种计算方法存在两个缺陷：六、一元线性回归估计（一）点估计利用表7-2的资料，建立回归方程为

可以用回归方程来对给定某一特定值时的值进行点估计，或者预测某一特定值的值。例如，假定广告费用是65万元时，运用回归方程，我们可以得到：（万元）因此，当广告投入65万元时，月平均销售额的点估计值是69.274万元。（二）区间估计对于预测问题，除了知道点估计的预测值外，还希望知道预测的精度，因为点估计不能给出与估计有关的任何准确信息。我们往往更希望能给出一个预测值的变动范围，即进行区间估计。而这一预测值范围比只给可信。这个问题也就是对于给定的显著水平找一个区间，使对应于某特定的实际