专题2416圆章末十大题型总结（拔尖篇）（沪科版）

专题24.16圆章末十大题型总结（拔尖篇）【沪科版】TOC\o"13"\h\u【题型1切线的判定与性质进行计算与证明】 1【题型2圆周角定理有关的计算与证明】 9【题型3垂径定理的实际应用】 17【题型4由点与圆的位置关系求求最值】 22【题型5由圆的对称性求最短路线问题】 27【题型6三角形的内切圆与内心】 33【题型7正多边形与圆】 39【题型8圆锥侧面积的相关计算】 44【题型9动点的运动轨迹长度计算】 50【题型10动态图形的扫过的面积的计算】 56【题型1切线的判定与性质进行计算与证明】【方法点拨】切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。【例1】（2023秋·辽宁抚顺·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O经过点C且与AB边相切于点E，

(1)求证：AF是⊙O(2)若BC=6，AB=10，求【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）作OH⊥FA，垂足为点H，连接OE，证明AC是∠FAB的平分线，进而根据OH=OE，OE（2）勾股定理得出AC，设⊙O的半径为r，则OC=OE【详解】（1）证明：如图，作OH⊥FA，垂足为点H，连接

∵∠ACB=90°，D是∴CD=∴∠CAD∵∠BDC又∵∠FAC∴∠FAC即AC是∠FAB∵点O在AC上，⊙O与AB相切于点E∴OE⊥AB，且OE是∴OH=OE，OH是∴AF是⊙（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC∴AC=∵BE，BC是⊙∴BC=BE=6，设⊙O的半径为r，则OC在Rt△OEA中，由勾股定理得：∴16+r∴r=3∴⊙O的半径长为3【点睛】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．【变式11】（2023秋·广东珠海·九年级统考期末）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，D为弦BC的中点，过点C的切线与OD的延长线相交于点E，连接BE．(1)求证：BE是圆O的切线；(2)当AB=10，AC=8时，求线段【答案】(1)见解析(2)15【分析】（1）根据D为弦BC的中点，可得OE垂直平分BC，进而可得∠EBC=∠ECB，再根据OB=OC可得∠OBC=∠OCB，根据CE是⊙O（2）根据AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，利用勾股定理可得BC=6，进而可得【详解】（1）证明：在⊙O中，∵D为弦BC∴OD⊥∴OE垂直平分BC，∴CE=∴∠EBC又∵OB=∴∠OBC∵CE是⊙O∴∠OCE∴∠OBE又∵AB为⊙O∴BE是⊙O（2）解：∵AB为⊙O∴∠ACB∵AB=10，AC∴BC=∴BD=由（1）得∠OBE在Rt△OBE中，设∴OE=∵S△∴12解得x=∴线段BE的长为154【点睛】本题考查切线的性质和判定，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理等，难度一般，解题的关键是能够综合运用上述知识，逐步进行推理论证．【变式12】（2023秋·湖北·九年级期末）AB为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，BC∥OP交⊙O于C，PO交⊙O于D，（1）求证：PC为⊙O的切线；（2）过点D作DE⊥AB于E，交AC于F，PO交AC于H，BD交AC于G，DF＝FG，DF＝5，CG＝6，求⊙O的半径．【答案】（1）见详解；（2）10．【分析】（1）连OC，由BC∥OP，得到∠AOP=∠OBC，∠POC=∠OCB，则∠AOP=∠POC，可得△POA≌△POC，得到∠PAO=∠PC0，而PA为⊙O的切线，得∠OAP=90°，所以∠PC0=90°，根据切线的判定即可得到PC为⊙O的切线；（2）连AD，由AB为⊙O的直径，得∠ADB=90°，而DE⊥AB，则∠ADE=∠ABD，所以∠ADE=∠ABD，从而易得到∠DAG=∠ADF，有AF=DF=FG=5，AC=5+5+6=16，得到AH=12AC=8．易证Rt△AOH≌Rt△DOE，得DE=AH=8，则EF=DEDF=85=3，在Rt△AEF中，利用勾股定理可求得AE=4，在Rt△DOE中，利用勾股定理即可得到⊙O【详解】证明：（1）连OC，如图，∵BC∥OP，∴∠AOP=∠OBC，∠POC=∠OCB，而OB=OC，即∠OCB=∠OBC，∴∠AOP=∠POC，又∵OA=OC，OP公共，∴△POA≌△POC，∴∠PAO=∠PCO，而PA为⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∴∠PCO=90°，∴PC为⊙O的切线；（2）连AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，而DE⊥AB，∴∠ADE=∠ABD，由（1）得∠AOP=∠COP，∴∠ABD=∠DAF，∴∠DAG=∠ADF，∴AF=DF=FG=5，∴AC=5+5+6=16．∴AH=12AC=8又∵OA=OD，∴Rt△AOH≌Rt△DOE，∴DE=AH=8．∴EF=DE-DF=8-5=3，在Rt△AEF中，AE=AF设⊙O半径为r，在Rt△DOE中，有r2=82+（r-4）2∴r=10．所以⊙O的半径为10．【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了切线的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．【变式13】（2023秋·浙江·九年级期末）如图1，在⊙O中，点H是直径AB上的一点，过H点作弦CD⊥AB，点E是BAD的中点，过点E作BD的平行线交DC延长线于点F，连接BE，交CD（1）求证：EF是⊙O（2）求证：BD+（3）如图2，连接DE，若BDBG=k，则当k【答案】（1）见解析（2）见解析（3）当k=1+52【分析】（1）连接EO并延长交BD于点M，根据垂径定理得到EM⊥BD，再结合EF//BD得到OE⊥EF，故可求解；（2）连接ED，先根据角度关系得到∠BGD=∠BDE=∠GBD，从而得到BD=GD，再根据EF//BD得到∠FEG=∠DBG=∠FGE，求得FE=FG，由线段间的关系即可证明；（3）先证明△BGD∽△BDE，得到BDBG=BEBD=k，可设BG=a，求出BD=ka，BE=k2a，再根据DE=EF证明得到EG=DG，再表示出BE=(k+1)a，得到k2a=(【详解】（1）如图，连接EO并延长交BD于点M∵点E是BAD的中点，EM过圆心O，∴EM⊥BD，又EF//BD∴OE⊥EF∴EF是⊙O（2）如图，连接ED∵CD⊥AB∴BC∴∠BDC=∠BED，又∵∠GBD=∠DBE∴∠BGD=∠BDE=∠GBD∴BD=GD∵EF//BD∴∠FEG=∠DBG=∠FGE∴FE=FG∴BD+EF=DG+GF=DF；（3）∵∠BDC=∠BED，∠GBD=∠DBE，∴△BGD∽△BDE∴BD设BG=a，则BD=ka，BE=k2a∵DE=EF∴∠F=∠EDF∵EF//BD∴∠F=∠BDC又∵∠BED=∠BDC∴∠EDF=∠BED∴EG=DG又∵DG=BD=ka∴EG=ka，BE=BG+EG=(k+1)a∴k2a=(k+1)a解得k=1+52（∴当k=1+52时，【点睛】此题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理、切线的判定定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的求法等知识．【题型2圆周角定理有关的计算与证明】【方法点拨】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。【例2】（2023秋·北京西城·九年级北京八中校考期中）如图，已知：过⊙O上一点A作两条弦AB、AC，且∠BAC=45°，(AB，AC都不经过O)过A作AC的垂线AF交⊙O于D，直线BD，AC交于点E，直线

(1)证明：BE=(2)探索线段AB、AE、AF的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)见解析(2)AE=【分析】（1）连接CD，证明△BCD为等腰直角三角形，再证明△（2）过点B作BH⊥AB交AE于H，先证明△BCD为等腰直角三角形，得出AH=2AB，再证明△EBH【详解】（1）证明：如图1，连接CD，

∵AF∴∠CAD∴CD为⊙∴∠CBD∴∠EBC∵∠BAC∴∠BDC∴∠BCD∴BC∵四边形ACBD内接于⊙O∴∠ECB在△EBC与△FBD中，∴△EBC∴BE（2）解：AE=证明：如图2，过点B作BH⊥AB交AE于

∵∠BAH∴△ABH∴AH∵△∴∠E=∠F∵∠EBF∴∠EBH∴∠EBH在△EBH和△∠E∴△EBH∴EH∴AE【点睛】本题考查了圆周角定理及全等三角形的判定与性质，证明三角形的全等是解题的关键．【变式21】（2023秋·湖北·九年级期末）已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接(1)如图①，当∠BAC=120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：(2)如图②，当∠BAC=90°时，试探究线段AB，AC，【答案】(1)AB(2)AB+【分析】（1）在线段AD上截取AE=AB，连接BE，根据圆周角定理的推论证明△ABE和△BCD是等边三角形，再利用SAS证明△BED（2）延长AB到点M，使BM=AC，连接DM，利用圆内接四边形的性质得出∠MBD=∠ACD，再利用SAS证明△MBD≌△ACD，推出MD=【详解】（1）解：如图①在线段AD上截取AE=AB，连接∵∠BAC=120°，AD平分∴∠BAD∵CD=∴∠DBC同理：∠DCB∴BC=∵AE=AB，∴AB=∴∠ABE∴∠DBE在△BED和△BE=∴△BED∴DE=∴AD=故答案为：AB+（2）解：AB+如图②，延长AB到点M，使BM=AC，连接∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠MBD∵∠BAD∴BD=在△MBD和△MB=∴△MBD∴MD=∴∠M∴∠MDA∴MD⊥∴AM=2AD∴AB+【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，勾股定理等知识点，解题关键是熟练运用转化思想，通过添加辅助线，构造全等三角形．【变式22】（2023秋·山西朔州·九年级校考期中）如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F=30°，

(1)求∠ADB(2)求AC的长度；(3)判定四边形AFBC的形状，并证明你的结论．【答案】(1)8(2)30°(3)四边形AFBC是平行四边形，证明见解析【分析】（1）由切线的性质得出AF⊥OA，求出∠F=30°，得出（2）证出OA⊥BC，由垂径定理得出BE=CE=12BC=4，证明△AOB是等边三角形，得出（3）根据（1）（2）得到的相关结论证明AF∥BC、【详解】（1）解：∵AF与⊙O相切于点A∴AF⊥∵∠F∴∠AOF∴∠ADB（2）解：∵∠ACB=∠ADB∴∠ABC∴∠ABC∴AB=∴AB=∴OA∴BE∵∠AOB=60°，∴△AOB∴AB=∵∠OBE∴OE=12∴OE=∴AC=（3）解：四边形AFBC是平行四边形，证明如下：∵OA⊥BC，∴AF∵△AOB∴∠ABO=60°,即∵∠BAC∴∠ABF∴BF∥∴四边形AFBC是平行四边形．【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定等知识点，熟练掌握圆周角定理、垂径定理和等边三角形的相关知识是解题的关键．【变式23】（2023秋·江苏盐城·九年级统考期中）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB=DC，∠(1)若∠DAE=75°，则∠DAC(2)过点D作DE⊥AB于E，判断(3)若AB=6、AE【答案】(1)75(2)AC=2(3)60【分析】（1）四边形ABCD是圆O的内接四边形，则∠BCD+∠BAD=180°，∠DAE是四边形ABCD的一个外角得到∠DAE=∠（2）过点D作DF⊥AC于点F，先证明△BDE≌△CDFAAS（3）在Rt△BDE中，BD2=BE2+DE2，在【详解】（1）∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠BCD∵∠DAE是四边形ABCD∴∠DAE∵BD=∴∠CBD∴∠DAE∵弧CD所对的圆周角分别为∠CAD∴∠CBD∵∠DAE∴∠DCB故答案为；75（2）过点D作DF⊥AC于点∵DE⊥∴∠∵∠ABD∴△BDE∴DE=∴∠ADE又∵∠E∴△ADE∴AE=∴AC=即AC=2（3）在Rt△BDE中，在Rt△AED中，∵AB=6∴BE=8∴BD2=64+∴BD【点睛】此题考查了圆周角定理及其推论，全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识.【题型3垂径定理的实际应用】【方法点拨】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．【例3】（2023秋·河北石家庄·九年级校联考期末）如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为5厘米，AB=8厘米．若从日前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为8分钟，则①现在“图上”太阳与海平线的位置关系是；②“图上”太阳升起的平均速度为厘米/【答案】相交1【分析】首先根据海平面与圆有两个交点可判断出直线与圆的位置关系，然后连接OA，过点O作OD⊥AB于D，由垂径定理求出AD的长，再由勾股定理求出【详解】解：∵海平面与圆有两个交点∴现在“图上”太阳与海平线的位置关系是相交；设“图上”圆的圆心为O，连接OA，过点O作OD⊥AB于∵AB=8∴AD=∵OA=5∴OD=∴海平线以下部分的高度=OA∵太阳从所处位置到完全跳出海平面的时间为8分钟，∴“图上”太阳升起的速度=8÷8=1（厘米/分），故答案为：相交，1．【点睛】本题考查的是垂径定理的运用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．【变式31】（2023秋·浙江台州·九年级校考期中）我市在创建全国文明城市检查中，发现一些破旧的公交车候车亭有碍观瞻，现已更换新的公交候车亭(图1)，图2所示的是侧面示意图，FG为水平线段，PQ⊥FG，点H为垂足，FG=4m，FH=2.4m，点P在弧FG上，且弧FG所在的圆的圆心O到FG，PQ的距离之比为5：2，则PH的长约为多少米？

【答案】PH的长约为1.2米【分析】作出如图的辅助线，利用垂径定理结合矩形性质求得FM、OM、HN、ON的长，分别在直角三角形OFM和直角三角形OPN中，利用勾股定理即可求解．【详解】过点O作FG的垂线，垂足为M，过点O作PQ的垂线，垂足为N，

∵PQ⊥FG，∴四边形MONH是矩形，则FM=12FG=2∵O到FG，PQ的距离之比为5:2即OMON∴OM=NH连接OF和OP，则在直角三角形OFM中，OF=OP∴直角三角形OPN中，PN=O∴PH=故则PH的长约为1.2米．【点睛】本题考查了垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线，构造直角三角形是解题的关系．【变式32】（2023春·浙江台州·九年级台州市书生中学校考期中）如图这是我市某跨海大桥正侧面的照片，大桥的主桥拱为圆弧型，桥面AB长为800米，且与水面平行，小王用计算机根据照片对大桥进行了模拟分析，在桥正下方的水面上取一点P，在桥面AB上取点C，作射线PC交弧（主桥拱）于点D，右边画出了PC与PD关于AC长的函数图象，下列对此桥的判断不合理的是（）A．桥拱的最高点与桥面AB的实际距离约为210米B．桥拱正下方的桥面EF的实际长度约为500米C．拍摄照片时，桥面离水面的实际高度约为110米D．桥面上BF段的实际长度约200米【答案】A【分析】由题意知，x从0变化到8，AB=800米，横坐标一个单位长度对应的长度为100米，函数图象中PC与PD函数图象的交点即为桥拱与桥面的交点E、F，对应的横坐标分别为1、6，可求EF，进而可判断B的正误；如图，过最高点D作DH⊥AB，交AB于H，由题意知，EF中点对应最高点D，根据x=1+52=3.5时，DH<DC，结合图象可判断A的正误；PC纵坐标最小时，PC⊥AB，由函数图象可得【详解】解：由题意知，x从0变化到8，AB=800∴横坐标一个单位长度对应的长度为100米，函数图象中PC与PD函数图象的交点即为桥拱与桥面的交点E、F，对应的横坐标分别为1、6，∴EF=6-1×100=500如图，过最高点D作DH⊥AB，交AB于由题意知，EF中点对应最高点D，∴x=1+52=3.5由图象可知，DC=1.8×100=180∴桥拱的最高点与桥面AB的实际距离小于180米，A错误，故符合要求；PC纵坐标最小时，此时PC⊥AB，由函数图象可知，PC=1.1×100=110桥面上BF段的实际长度约8-6×100=200米，D故选：A．【点睛】本题考查了函数图象，垂径定理．解题的关键在于结合题意理解图象信息．【变式33】（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方．且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．

(1)求该圆的半径；(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？【答案】(1)5米(2)2米【分析】（1）作OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，由垂径定理可得AE（2）当AB=8米时，AE=12AB=4米．在Rt△【详解】（1）解：如图，作OD⊥AB于点E，交⊙O则AE=12设圆的半径为r米，在Rt△AOE中，∴32解得r=5∴该圆的半径为5米；

（2）解：当AB=8米时，AE=在Rt△AOE中，∴42+∴OE=3∴DE=5-3=2答：水面下盛水筒的最大深度为2米．【点睛】本题考查垂径定理，熟练掌握垂径定理的定义并运用是解题的关键．【题型4由点与圆的位置关系求求最值】【方法点拨】解决此类问题关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．【例4】（2023秋·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A0,2，点B0,2+t，C0,2-t(t>0)，点P在以D6,6【答案】2【分析】根据点A、B、C的坐标，可知点A是BC的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得AP的长，再由勾股定理解得AD的长，最后由点与圆的位置关系即可求解．【详解】解：连接AP，由题意，得：AB=(2+t)-2=∴AB=∵∠BPC∴AP=t要最小，就是点A到⊙D∴P在AD上，∵A0,2，D∴AD=∴t的最小值是AP=故答案为：213【点睛】本题考查点与圆的位置关系，其中涉及坐标与图形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．【变式41】（2023秋·山东德州·九年级统考期中）如图，点A、B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为．【答案】212【分析】先证点C在半径为1的⊙B上，可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，根据三角形的中位线定理可得结论．【详解】解：∵A（2，0），B（0，2），∴OA=OB=2，∵点C为坐标平面内一点，BC=1，∴C在⊙B上，且半径为1，如图，在x轴上取OD=OA=2，连接CD，∵M为线段AC的中点，OD=OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=12CD当OM最小时，即CD最小，而D，B，C三点共线时，当C在线段DB上时，OM最小，∵OB=OD=2，∠BOD=90°，∴BD=2OB=22，∴CD=221，∴OM=12CD=21即OM的最小值为212故答案为：212【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最小值时点C的位置是关键．【变式42】（2023秋·山东泰安·九年级校联考期末）如图，点P(3，4)，⊙P半径为2，A(2.5，0)，BA．32 B．52 C．72【答案】C【分析】如图，作射线