专题22基本不等式-

专题2.2基本不等式【基本知识梳理】知识点1：两个不等式（1）重要不等式：一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．（2）基本不等式：一般地，如果a>0，b>0，则eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．【特别注意】①其中，eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．②两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．③“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).知识点2：基本不等式的证明方法一(作差法)eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)＝eq\f(a＋b－2\r(ab),2)＝eq\f(\r(a)2－2\r(ab)＋\r(b)2,2)＝eq\f(\r(a)－\r(b)2,2)≥0，即eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立．方法二(性质法)要证eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，只需证2eq\r(ab)≤a＋b，只需证2eq\r(ab)－a－b≤0，只需证－(eq\r(a)－eq\r(b))2≤0，显然(eq\r(a)－eq\r(b))2≥0成立，当且仅当a＝b时，等号成立．方法三(利用几何意义证明)如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝eq\r(ab)，由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，由此也可以得出圆的半径不小于半弦．知识点3：基本不等式与最值（1）已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.【特别注意】从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．（2）利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.【题型1对基本不等式的理解】【例1】（20232024∙全国∙高一∙课时练习A．对∀a，b∈R，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立B．若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2eq\r(ab)C．对∀a，b∈R，a2＋b2≥2abD．若x>2，则x＋eq\f(1,x)≥2中可以取等号答案BC解析A项，当a＝－1，b＝－1时，不等式不成立；D项，x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2时取等号的条件为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,x)，,x>2，))无解，不等式中不可取等号．【变式11】（20222023∙安徽∙高三上∙A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由均值不等式取等号的条件判断即可【详解】对A，当且仅当即等号成立；对B，当且仅当即等号成立；对C，当且仅当即时等号成立；对D，当且仅当得时等号成立，无解，等号不成立．故选：D．【变式12】（20222023∙西藏林芝∙高一上∙A．若a>0,b>0，且a+b=16，则ab≤64B．若a≠0，则a+C．若a,b∈R，则D．对任意a,b∈R，a【解题思路】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.【解答过程】A选项，ab≤a+b22B选项，当a<0时，a+4C选项，当a>0,b<0时，ab<0,a+bD选项，当a<0,b<0时，a+b<0，a+b≥2ab故选：A.【变式13】（20232024∙浙江∙高二上∙期中）（多选）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆，过点作的垂线，交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，取弧的中点，连接，则该图形可以完成的所有无字证明为（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，分别在直角和直角，由直角三角形的射影定理，结合，，可判定A、C正确；在直角中，结合，可判定D正确.【详解】由题意知：，在直角中，由射影定理的，即，又由且，所以，当且仅当时，等号成立，所以A正确；在直角中，同理可得，所以，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以C正确；由，因为为弧的中点，可得，在直角中，可得，即，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以D正确.故选：ACD.【题型2由基本不等式比较大小】【例2】（20232024∙云南昆明∙高一上∙期中）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有m1L1=m2L2，其中A．等于10g B．小于10g C．大于10【答案】C【分析】设天平左臂长x1，右臂长x2，且x1≠x2，根据已知条件求出a1【详解】设天平左臂长x1，右臂长x2，且设天平右盘有a1克黄金，天平左盘有a2克黄金，所以所以a1=5x1故选：C．【变式21】（20232024∙湖北恩施州∙高一上∙月考A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出，再结合可得出结果.【详解】由已知，利用基本不等式得出，因为，则，，所以，，∴.故选：B【变式22】（20232024∙安徽亳州∙高三上∙期中）（多选）十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“”“”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和，记两速度的算术平均值为，全程的平均速度为，则下列选项正确的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式以及不等式的性质求解.【详解】设一楼到五楼的距离为，由题知，A错误；因为，且，所以，所以，所以，又因为，（因为，所以取不到等号），所以，B正确；对C，因为，所以，又因为，所以，即，C正确；对D，因为，所以，即，D正确；故选:BCD.【变式23】（20232024∙上海交通大学附属中学∙高一上∙月考A.先提价，再提价 B.先提价，再提价C.分两次，都提价 D.分两次，都提价【答案】C【解析】【分析】求出每个选项中提价后的水价，结合基本不等式比较大小可得合适的选项.【详解】设原来的水价为，AB选项中，两次提价后的水价为，C选项中，两次提价后的水价为，D选项中，两次提价后的水价为，因为，则，则，所以，，则，即，由基本不等式可得，所以，.故选：C【题型3利用基本不等式求和的最值】【例3】（20232024∙上海嘉定区∙高一上∙期中）已知【答案】5【解析】【分析】将变形为，利用基本不等式即可求得答案.【详解】∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是5,故答案为:5.【变式31】（20232024∙山东济宁∙高一上∙期中）若A.8 B.4 C.2 D.0【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式计算即可.【详解】，当且仅当，即时取得最小值.故选：C【变式32】（20232024∙天津河西区∙高一上∙期中）已知【答案】分析：由函数变形为，再由基本不等式求得，从而有，即可得到答案.解答：∵函数∴由基本不等式得，当且仅当，即时取等号.∴函数的最大值是故答案为.点拨：本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.【变式33】（20232024∙浙江强基联盟∙高一下∙期中）若实数A．23 B．23−1 C．2【解题思路】首先变形3yx−2y【解答过程】3y≥23y当且仅当(x−2y)2=3y故选：D.【题型4利用基本不等式求积的最值】【例4】（20232024∙北京市昌平区∙高二下∙期末A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】由于，所以，当且仅当，即时等号成立，故最大值为，故选：B【变式41】（20232024∙广东韶关∙高一上∙月考）已知A．−3 B．−2 C．−1 D．0【解题思路】借助基本不等式计算即可得.【解答过程】因为10>x>0，故x+10−x≥2x当且仅当x=5时，等号成立，所以2−x故选：A.【变式42】（20232024∙湖北鄂西北六校∙高一上∙期中）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积S可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（

A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】由题意，代入，利用基本不等式的性质即可得出.【详解】因为，，所以，故，因为，当且仅当时，等号成立，故，则此三角形面积的最大值为12.故选：C【变式43】（20232024∙湖南∙高一下∙联考）已知A.4 B.6 C.8 D.2【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得.【详解】由，得，当且仅当时取等号，因此，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值4.故选：A【题型5条件等式求最值】【例5】（20232024∙山东济宁邹城∙高一上∙期中）已知，，且，则的最小值是【答案】3【解析】【分析】利用基本不等式计算即可.【详解】由，当且仅当即时取得最小值.故答案为：3【变式51】（20232024∙安徽∙高一上∙期中）若a，b均为正实数，【答案】8【解析】【分析】由，可化简为：，再结合基本不等式求解.【详解】由题意得：，当且仅当，即或时，取到等号，故的最小值是.故答案为：.【变式52】（20232024∙山东滨州∙高二下∙期末）若正实数a,b，满足A．9 B．6 C．3 D．2【解题思路】利用换元法，令m=a+2,n=b+1，结合基本不等式得出答案.【解答过程】令m=a+2,n=b+1，则mn=9，a+b=m+n−3≥2mn当且仅当m=n=3，即a=1,b=2时，取等号.故选：C.【变式53】（20232024∙山东济宁兖州∙高一上∙期中）（多选）对任意x，A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】对于AB，利用，结合已知可求出的范围进行判断，对于C，利用，结合已知可求出的范围进行判断，对于D，利用基本不等式判断.【详解】（），当且仅当时取等号，对于AB，由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；对于C，由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；对于D，因为，所以，当且仅当时取等号，所以D正确．故选：BCD．【题型6基本不等式“1”的妙用求最值】【例6】（20232024∙山东∙高一上∙期中）若，且，则【答案】/【分析】变形得到，由基本不等式求出最值.【详解】因为，则由可得，所以，当且仅当时，即时，等号成立.故答案为：.【变式61】已知正实数满足，则的最小值为__________.【答案】【变式62】（20232024∙福建∙高一下∙期中）已知，，，则的最小值为（A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解.【详解】因为，可得，且，，可知，则，当且仅当，即时，等号成立，所以最小值为1.故选：B.【变式63】（20232024∙山东临沂莒南（1）已知，求函数的最大值；（2）已知，且，求的最小值．【答案】（1）2；（2）【解析】【分析】（1）利用基本不等式计算可得；（2）利用乘“1”法及基本不等式计算可得.【详解】（1），，故，所以．，，当且仅当，即或（舍）时，等号成立，故当时，．（2）因为，且，，当且仅当，且时等号成立，取最小值，，当时，．【题型7基本不等式的恒成立问题】【例7】（20232024∙云南昆明∙高一上∙期中）已知，若恒成立，写出符合条件的正整数【答案】1或2【分析】利用基本不等式求得的最小值，结合不等式恒成立，即可求得.【详解】当x>0时，，当且仅当x=1时，取得等号；，若恒成立，即，又为正整数，故或.故答案为：或.【变式71】（20232024∙天津∙高一上∙期中）已知，若不等式恒成立，则实数m【答案】【解析】【分析】利用配凑法与基本不等式求得的最大值，从而得解；【详解】因为，所以，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，因为不等式恒成立，所以，则，所以实数m的最小值为.故答案为：.【变式72】（20232024∙云南玉溪∙高一上∙期中）已知且恒成立，实数的最大值是【答案】##【解析】【分析】将不等式转化，应用基本不等式求出最大值，即可得到答案.【详解】由题意，，所以转化为，可得，即，因为，当且仅当时等号成立，所以实数的最大值是.故答案为：【变式73】（20232024∙河南信阳∙高一上∙期中）已知，（1）求的最小值及此时x，y的取值；（2）不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）时，的最小值为9（2）【解析】【分析】（1）利用乘“1”法及基本不等式计算可得；（2）依题意可得，参变分离可得恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.【小问1详解】因为，都是正数，且，所以，当且仅当，即时取等号，此时的最小值为．【小问2详解】由，得，故，又，当且仅当，即，时等号成立，取得最小值，故的取值范围为．【题型8基本不等式的实际应用】【例8】（20232024∙新疆乌鲁木齐∙高一上∙期末）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为（1）将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围；（2）当x取何值时，矩形广告的总面积最小?并求出总面积最小值.【答案】（1），（2）当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为.【解析】【分析】（1）表达出单个矩形栏目的长度，进而求出y关于x的表达式，x的取值范围；（2）由基本不等式求出总面积最小值.【小问1详解】单个矩形栏目的长度为，，【小问2详解】由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立，故当cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为.【变式81】（20232024∙湖北荆州∙高一上∙月考）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200（1）设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式；（2）问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值.【答案】(1)(2)，118000元【分析】（1）根据题意，建立函数关系式即可；（2）根据题意，由（1）中的函数关系式，结合基本不等式即可得到结果.【详解】（1）由题意可得，，且，则，则（2）由（1）可知，【变式82】（20232024∙山东∙高一上∙期中(1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价.(2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为元（整体报价中含固定费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范