重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学

20232024学年（下）期中学业质量联合调研抽测高一数学试题（分数：150分，时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，且，则实数（

）A．1 B．3 C．2 D．12．在，，0，，，0.618这几个数中，纯虚数的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．33．已知向量、的夹角为60°，，若，则=A． B． C． D．4．已知向量，，，则等于（

）A．3 B．4 C．15 D．215．在平面四边形中，△ABC为正三角形，，，如图1，将四边形沿AC折起，得到如图2所示的四面体，若四面体外接球的球心为O，当四面体的体积最大时，点O到平面ABD的距离为（

）A． B．C． D．6．已知为平面外一点，到两边的距离都为，则到面的距离（

）A． B． C． D．7．数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“勒洛四面体”就是其中之一．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分．如图，在勒洛四面体中，正四面体的棱长为，则下列结论正确的是（

）A．勒洛四面体最大的截面是正三角形B．若、是勒洛四面体表面上的任意两点，则的最大值为C．勒洛四面体的体积是D．勒洛四面体内切球的半径是8．在△ABC中，为上一点，且，，，则（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。9．下列命题中，真命题为（

）A．复数为纯虚数的充要条件是B．复数的共轭复数为C．复数的虚部为D．复数，则10．已知，，是平面上三个非零向量，下列说法正确的是（

）A．一定存在实数，使得成立B．若，那么一定有C．若，那么D．若，那么，，一定相互平行11．在菱形中，，，将菱形沿对角线折成大小为的二面角，若折成的四面体内接于球，则下列说法正确的是（

）．A．四面体的体积的最大值是B．的取值范围是C．四面体的表面积的最大值是D．当时，球的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．复数的模是.13．在60°二面角的一个面内有一个点，若它到二面角的棱的距离是10，则该点到另一个面的距离是.14．已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．在△ABC中，角的对边分别为已知.(1)求角的大小;(2)若，求的面积;(3)若为BC的中点，求AD的长.16．设复数．(1)在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；(2)若是纯虚数，求.17．已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点．(1)求点M到平面的距离；(2)判断，M，B，N四点是否共面，若是，请证明；若不是，请说明理由．18．如图，在三棱柱中，侧面为矩形．(1)设为中点，点在线段上，且，求证：平面；(2)若二面角的大小为，且，求直线和平面所成角的正弦值．19．个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．(2)证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量．(3)已知个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：．20232024学年（下）期中学业质量联合调研抽测高一数学答案（分数：150分，时间：120分钟）14．BCDD 58．CBDD9．BCD 10．BC 11．ACD12．313．14．15．（1），，即.由正弦定理得，由余弦定理得，；（2），由余弦定理得，；（3）

在△ABC中，由余弦定理得，即，又，得，为BC的中点，，两边平方得，，即中线AD的长度为.16．（1）由，得，而由已知是实数，于是，解得，所以；（2）依题意，是纯虚数，因此，解得，所以，.17．（1）记点M到平面的距离为h，易知为正三角形，且，所以，又，所以，因为，所以，即，解得，即点M到平面的距离为.（2），M，B，N四点共面，证明如下：连接，因为M，N分别是线段，的中点，所以，由正方体性质可知，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以，所以，M，B，N四点共面.18．（1）连接交于，连接，因为侧面为矩形，所以，又为中点，所以，又因为，所以．所以，又平面，平面，所以平面．（2）在平面中，过点作射线，因为底面为矩形，所以，所以为二面角的平面角，且．又，平面，所以平面，在平面中，过点作，垂足为，连接，因为平面，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，则即为直线和平面所成的角，于是为点到平面的距离，且，设直线和平面所成角为，又，则，所以直线和平面所成角的正弦值为．19．（1）依题意，可写出4个两两垂直的4维信号向量为：，，，．（2）假设存在6个两两垂直的6维信号向量，因为将这6个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变，所以不妨设，因为，所以有3个分量为，设