数学教材习题点拨：任意角和弧度制

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精教材习题点拨练习1．解：锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角；直角是非象限角；钝角是第二象限角，但第二象限角不一定是钝角．2．解：三，三，五．点拨：本题是将终边相同的角的符号表示应用到其他周期性问题上，即只需把与角α终边相同的角中的360°换成每个星期的天数7即可．3．解:（1）第一象限角；(2）第四象限角；（3)第二象限角;(4)第三象限角．如图所示．（第3题图)点拨：先作出给定的角,再判定是第几象限角．4．解:（1）－54°18′＝305°42′－360°，所以与角－54°18′终边相同的角是305°42′，它是第四象限角；(2）395°8′＝35°8′＋360°，所以与角395°8′终边相同的角是35°8′，它是第一象限角；(3）－1190°30′＝249°30′－4×360°，所以与角－1190°30′终边相同的角是249°30′，它是第三象限角．点拨:在0°～360°的范围内,找到与给定角终边相同的角，再判断它所在的象限．5．解：(1）｛β|β＝1303°18′＋k·360°，k∈Z｝，－496°42′，－136°42′，223°18′。（2)｛β｜β＝－225°＋k·360°，k∈Z},－585°，－225°，135°.点拨：先用集合的表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，再在给定的范围内找出与指定的角终边相同的角．对于k的值，可通过直接代入验证，也可先构造不等式确定k的值,再代入求角．练习1．解：(1)eq\f(π,8）；（2）－eq\f(7π,6）；（3）eq\f（20π,3)。点拨：直接利用公式进行角度与弧度的换算．2．解：（1)15°；(2）－240°;(3)54°.3．解：(1)｛α｜α＝kπ，k∈Z}；（2）｛α|α＝eq\f（π，2）＋kπ，k∈Z}．4．解：(1）cos0。75°〉cos0.75；（2)tan1。2°〈tan1.2.点拨：同数值不同单位的角对应的三角函数值可能相同，也可能不同．5．解：∵r＝1，60°＝eq\f（π，3），∴弧长l＝|α|r＝eq\f(π,3）×1＝eq\f(π，3）（m)；弧长l＝eq\f（60πr，180)＝eq\f（60π，180)＝eq\f(π，3）（m)．6．解:圆心角的弧度数为α＝eq\f（l，r）＝eq\f（144,120)＝1.2(rad)．习题1。1A组1．解:(1)由－265°＝95°－360°，所以在0°～360°之间，95°与－265°具有相同的终边,是第二象限角；(2）由－1000°＝80°－3×360°，所以在0°～360°之间，80°与－1000°具有相同的终边,是第一象限角；（3）由－843°10′＝236°50′－3×360°，所以在0°～360°之间，236°50′与－843°10′具有相同的终边，是第三象限角；（4）由3900°＝300°＋10×360°，所以在0°～360°之间,300°与3900°具有相同的终边，是第四象限角．2．解：S＝｛α|α＝k·180°，k∈Z}．3．解：（1）{β｜β＝60°＋k·360°,k∈Z},－300°，60°；(2）｛β｜β＝－75°＋k·360°，k∈Z｝，－75°，285°；（3)｛β|β＝－824°30′＋k·360°，k∈Z}，－104°30′，255°30′;（4）｛β｜β＝475°＋k·360°，k∈Z｝，－245°，115°；(5）{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}，－270°，90°；(6）{β|β＝270°＋k·360°,k∈Z},－90°，270°;（7){β｜β＝180°＋k·360°,k∈Z}，－180°，180°;(8）{β｜β＝k·360°,k∈Z},－360°，0°。4．解：象限角度制一｛β｜k·360°<β<90°＋k·360°，k∈Z}二{β|90°＋k·360°<β〈180°＋k·360°,k∈Z}三｛β|180°＋k·360°〈β〈270°＋k·360°,k∈Z｝四｛β｜270°＋k·360°<β〈360°＋k·360°,k∈Z｝象限弧度制一eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\}（\a\vs4\al\co1（2kπ〈β<\f（π，2)＋2kπ，k∈Z)）））二eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1（\f(π，2）＋2kπ〈β〈π＋2kπ，k∈Z）））)三eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（β\b\lc\|\rc\｝(\a\vs4\al\co1（π＋2kπ〈β<\f（3π,2)＋2kπ,k∈Z））))四eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（β\b\lc\｜\rc\}（\a\vs4\al\co1（\f(3π，2)＋2kπ〈β〈2π＋2kπ，k∈Z））)）5．（1)C（2）D点拨：(1）因为0°〈α〈90°，所以0°〈2α〈180°。(2）因为k·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z，所以k·180°〈eq\f(α,2）<45°＋k·180°，k∈Z.当k为奇数时，eq\f（α，2）是第三象限角；当k为偶数时，eq\f(α，2）是第一象限角．6．解：因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度,而等于半径长的弦长所对的弧比半径长，所以不等于1弧度．7．解:（1）eq\f（π，5)；(2)－eq\f（5π，6）；(3)eq\f（73π,12)；(4）8π。8．解：(1）－210°；（2)－600°；（3）80。21°;(4）38。2°。9．解：由α＝eq\f（l,r）可知，∠AOB＝eq\f(112，100)＝1。12(rad)＝1.12×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(180，π）））°≈64°。点拨：先运用弧长公式求出圆心角的弧度数，再将弧度换算为角度．10．解：由α＝eq\f(l,r)可知，r＝eq\f（l，α)＝eq\f(50，200·\f（π，180）)＝eq\f(50×180，200π)≈14（cm）．B组1．解：（1)设扇子的圆心角为α，则余下部分的圆心角为2π－α。依据扇形的面积公式S＝eq\f(1，2）αr2，得eq\f(S1，S2)＝eq\f(\f（1，2）αr2,\f(1，2)（2π－α)r2）＝eq\f(α，2π－α)。（2）由题意可知eq\f（S1,S2）＝eq\f（α,2π－α）＝0.618,得α＝0.618（2π－α)，则α＝0.764π≈140°.2．解：（1）时针转了－120°，等于－eq\f(2π，3)弧度；分针转了－1440°，等于－8π弧度．(2）设经过tmin分针就与时针重合，n为两针重合的次数．因为分针旋转的角速度为eq\f（2π，60）＝eq\f(π，30）(rad/min）,时针旋转的角速度为eq\f(2π,12×60)＝eq\f(π，360）（rad/min），所以eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，30)－\f（π，360)）)t＝2πn，即t＝eq\f（720，11)n。用计算机或计算器作出函数t＝eq\f（720，11)n的图象或表格，从中可清楚地看到时针与分针每次重合所需的时间．因为时针旋转一天所需的时间为24×60＝1440（min)，所以eq\f（720，11)n≤1440,于是n≤22.故时针与分针一天内只会重合22次．3