9.14.2 公式法-完全平方公式 同步练习

9.14.2公式法—完全平方公式【夯实基础】一、填空题1．（2019·上海市嘉定区华江中学七年级阶段练习）因式分解：3x2．（2022·上海·七年级专题练习）由多项式与多项式相乘的法则可知：即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式．请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝___．3．（2021·上海·七年级期中）分解因式：m24．（2019·上海奉贤·七年级期末）分解因式：4x5．（2022·上海·七年级专题练习）分解因式：a26．（2021·上海·七年级期中）分解因式：x+y27．（2019·上海市久隆模范中学七年级期中）分解因式：4−x8．（2018·上海民办进才外国语中学七年级阶段练习）分解因式：a29．（2022·上海·七年级专题练习）分解因式：3m二、解答题10．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：11．（2022·上海·七年级专题练习）a12．（2021·上海·七年级期中）因式分解：a3b-2a2b+ab13．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解(14．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：3m+2n+315．（2021·上海·七年级期中）分解因式：316．（2022·上海·七年级专题练习）分解因式：.17．（2021·上海·七年级期中）2518．（2018·上海·七年级期中）−319．（2018·上海市西南模范中学七年级阶段练习）因式分解：20．（2022·上海·七年级专题练习）x21．（2020·上海市徐汇中学七年级阶段练习）22．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：x23．（2022·上海·七年级专题练习）分解因式：（x2﹣2x）2﹣12（x2﹣2x）+36．24．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：x25．（2022·上海·七年级专题练习）分解因式：a226．（2020·上海市徐汇中学七年级阶段练习）因式分解：．27．（2021·上海市西延安中学七年级期中）分解因式：3x3﹣18x2+27x．28．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：229．（2022·上海·七年级专题练习）分解因式：3a3b36a2b23ab【能力提升】一、填空题1．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：__．2．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：9a2﹣12a+4＝______．3．（2022·上海·七年级专题练习）分解因式：a2-2ab+b2-1=______．二、解答题4．（2022·上海·七年级单元测试）因式分解：a5．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：m6．（2021·上海·七年级期中）分解因式(7．（2022·上海·七年级专题练习）已知实数x，y，z满足x+y=5，z2=xy+y−9，求8．（2022·上海·七年级专题练习）分解因式：（x2+1）2﹣4x（x2+1）+4x2．9．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：(10．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：11．（2022·上海·七年级专题练习）计算：1−12．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：2a13．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：4(314．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：

9.14.2公式法—完全平方公式（解析版）【夯实基础】一、填空题1．（2019·上海市嘉定区华江中学七年级阶段练习）因式分解：3x【答案】【分析】先提取公因式，再用完全平方公式分解即可．【详解】解：，=3(x=故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用提取公因式和公式法进行因式分解．2．（2022·上海·七年级专题练习）由多项式与多项式相乘的法则可知：即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3﹣a2b＋ab2＋a2b﹣ab2＋b3＝a3＋b3即：（a＋b）（a2﹣ab＋b2）＝a3＋b3①，我们把等式①叫做多项式乘法的立方和公式．同理，（a﹣b）（a2＋ab＋b2）＝a3﹣b3②，我们把等式②叫做多项式乘法的立方差公式．请利用公式分解因式：﹣64x3＋y3＝___．【答案】y−4x【分析】根据题意根据立方差公式因式分解即可．【详解】﹣64x3＋y3==故答案为：y−4x【点睛】本题考查了因式分解，根据题意套用立方差公式是解题的关键．3．（2021·上海·七年级期中）分解因式：m2【答案】m+2【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】解：m2+4m+4=故答案为：m+22【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．4．（2019·上海奉贤·七年级期末）分解因式：4x【答案】【分析】利用完全平方公式即可直接分解．【详解】原式=(2x=(2x−3y)故答案为．【点睛】本题考查运用完全平方公式分解因式，熟记其公式a25．（2022·上海·七年级专题练习）分解因式：a2【答案】a−12【分析】根据公式法因式分解即可【详解】解：a2−a+故答案为：a−【点睛】本题考查了公式法分解因式，掌握公式法因式分解是解题的关键．6．（2021·上海·七年级期中）分解因式：x+y2【答案】x+y+2【分析】根据完全平方公式可直接进行求解．【详解】解：x+y2故答案为x+y+22【点睛】本题主要考查利用乘法公式进行因式分解，熟练掌握公式法因式分解是解题的关键．7．（2019·上海市久隆模范中学七年级期中）分解因式：4−x【答案】2+x−y【分析】先把原式写成4−x【详解】原式=4−x【点睛】本题考查因式分解，掌握公式法分解因式是解题关键.8．（2018·上海民办进才外国语中学七年级阶段练习）分解因式：a2【答案】（a-3b）2【分析】直接利用完全平方公式进行因式分解即可．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．【详解】原式=a2−6ab+(3b)2=(a−3b)2，故答案为(a−3b)2.【点睛】此题考查因式分解-运用公式法，解题关键在于掌握运算公式.9．（2022·上海·七年级专题练习）分解因式：3m【答案】3【分析】综合利用提公因式法和完全平方公式法进行因式分解即可得．【详解】解：原式=3=3m−2故答案为：3m−2【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和完全平方公式法是解题关键．二、解答题10．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：【答案】(x−2【分析】观察原式可知出现了平方差的形式，这里的可化为(4x)2，利用平方差公式a2−【详解】原式=x2+4故答案为(x−2【点睛】本题综合性的考查了两种公式法分解因式，这里需要注意的是因式分解之后务必检查分解是否彻底，本题中用完平方差分解之后，分解还未完成，还需要用完全平方公式进行分解因式.涉及到的公式有：a2−b211．（2022·上海·七年级专题练习）a【答案】a+3【分析】先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解即可．【详解】解：原式==a+3【点睛】本题考查因式分解-运用公式法，熟练掌握公式是解题的关键．12．（2021·上海·七年级期中）因式分解：a3b-2a2b+ab【答案】ab(a-1)2【分析】先提取公因式ab，再利用完全平方公式分解因式得出即可.【详解】原式=ab(a2-2a+1)=ab(a-1)2【点睛】本题考查提取公因式法以及完全平方公式分解因式，熟练掌握提取公因式法以及完全平方公式分解因式是解题关键．13．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解(【答案】(a+3【分析】首先将（a2+6a）看作一个整体，利用完全平方公式进行分解因式，进而再利用完全平方公式得出结果即可．【详解】解：(=(=(a+3【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点和应用是解题关键．14．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：3m+2n+3【答案】4【分析】运用平方差公式分解后再提取公因式．【详解】解：原式===42m−n+2【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，，熟记分解方法是解题的关键，注意分解因式要分解到每个因式都不能再分解为止．15．（2021·上海·七年级期中）分解因式：3【答案】3【分析】首先提取公因式3，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】解：3=3=3x−3y【点睛】本题考查提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．16．（2022·上海·七年级专题练习）分解因式：.【答案】(2k+3m)(3k−2n)【分析】根据分组因式分解即可求解.【详解】=3k=(2k+3m)(3k−2n)【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法.17．（2021·上海·七年级期中）25【答案】3【分析】利用平方差公式分解因式进而提公因式即可求出．【详解】解：原式===33m−n【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练应用平方差公式是解题关键．18．（2018·上海·七年级期中）−3【答案】−3x【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．【详解】解：原式=−3x=−3xx+y【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．19．（2018·上海市西南模范中学七年级阶段练习）因式分解：【答案】【分析】先提取公因式3(a-b)即可因式分解.【详解】=3(a−b)=3(a−b)=【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是根据多项式的特点进行提取公因式法因式分解.20．（2022·上海·七年级专题练习）x【答案】25【分析】利用完全平方公式计算即可．【详解】解：x====25．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．21．（2020·上海市徐汇中学七年级阶段练习）【答案】【分析】将后三项利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【详解】解：，=a=a．【点睛】此题主要考查了分组分解法因式分解，解题的关键是正确进行分组．22．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：x【答案】(x+a+2)(x−a+2)【分析】把原式分组成x2【详解】解：原式==(x+2=(x+2+a)(x+2−a)【点睛】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式因式分解，把原式有3项适合完全平方的放在一起进行因式分解是解答此题的关键．23．（2022·上海·七年级专题练习）分解因式：（x2﹣2x）2﹣12（x2﹣2x）+36．【答案】（x2﹣2x﹣6）2【分析】仔细观察把看做一个整体，可以发现正好是一个完全平方式，直接利用公式法分解因式得出答案．【详解】解：原式＝（x2﹣2x﹣6）2．故答案为：（x2﹣2x﹣6）2．【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键在于能够准确观察出原式是一个完全平方式．24．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：x【答案】(x−2y【分析】三项式想到完全平方公式，观察各项发现，首末两项为完全平方式，而中间项恰好是两数积的二倍，变成两数差的完全平方，括号内两项符合平方差公式，利用平方差公式因式分解，再利用积的乘方的逆运用即可．【详解】x4=，=x−2yx+2y=x−2y2【点睛】本题考查因式分解的内容，掌握因式分解的方法，能灵活运用因式分解的方法进行因式分解，掌握因式分解的顺序，会根据多项式的特点选择恰当的方法因式分解．25．（2022·上海·七年级专题练习）分解因式：a2【答案】2a−3a+b【分析】将原式进行变形后，先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解．【详解】解：a==2a−3【点睛】本题考查提公因式法和平方差公式法进行因式分解，熟记平方差公式是解答本题的关键．26．（2020·上海市徐汇中学七年级阶段练习）因式分解：．【答案】3xy【分析】原式提取公因式，再利用十字乘法与平方差公式再分解即可．【详解】解：原式=3xyx=3xyx+1【点睛】此题考查了提公因式法分解因式，十字乘法与平方差公式分解因式，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．27．（2021·上海市西延安中学七年级期中）分解因式：3x3﹣18x2+27x．【答案】3x【分析】先提公因式3x【详解】解：原式=3x(【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．28．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：2【答案】．【分析】先提公因式2b，再利用完全平方公式即可【详解】解：原式=2b=2b(a−3)【点睛】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握方法是解题的关键29．（2022·上海·七年级专题练习）分解因式：3a3b36a2b23ab【答案】−3ab(ab−1【分析】先提公因式，再用公式法分解即可.【详解】解：原式=−3ab=−3ab(ab−1【点睛】本题是对因式分解知识的考查，熟练掌握提公因式及公式法分解因式是解决本题的关键.【能力提升】一、填空题1．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：__．【答案】【分析】将a2【详解】解：原式．故答案是：．【点睛】此题考查了因式分解，涉及了平方差公式，解题的关键是掌握因式分解的方法，并将a22．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：9a2﹣12a+4＝______．【答案】（3a﹣2）2【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【详解】9a2-12a+4=（3a-2）2．故答案是：（3a﹣2）2.【点睛】考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．3．（2022·上海·七年级专题练习）分解因式：a2-2ab+b2-1=______．【答案】(a－b＋1)(a－b－1)【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，前三项a2-2ab+b2可组成完全平方公式，再和最后一项用平方差公式分解．【详解】a2-2ab+b2-1，=（a-b）2-1，=（a-b+1）（a-b-1）．【点睛】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题前三项可组成完全平方公式，可把前三项分为一组，分解一定要彻底．二、解答题4．（2022·上海·七年级单元测试）因式分解：a【答案】(a-1)2(a-3)(a+1)【分析】根据完全平方公式、平方差公式和十字交叉法进行因式分解．【详解】a＝a=(a=(=(=(a-1)2(a-3)(a+1)【点睛】考查了利用公式法因式分解，解题关键是熟记完全平方公式和平方差公式的特点和将5．（2022·上海·七年级专题练习）因式分解：m【答案】m+3【分析】综合利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可得．【详解】原式=m=m=m+3=m+3【点睛】本题考查了利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解，熟记公式是解题关键．6．（2021·上海·七年级期中）分解因式(【答案】(a+b)2(a-b)2【分析】先利用平方差公式进行因式分解，然后再利用完全平方公式进行分解即可得.【详解】(a2+b2)2-4a2b2=[(a2+b2)+2ab][(a2+b2)-2ab]=(a+b)2(a-b)2.【点睛】本题考查了综合利用平方差公式与完全平方公式因式分解，熟练掌握平方差公式以及完全平方公式的结构特征是解题的关键.7．（2022·上海·七年级专题练习）已知实数x，y，z满足x+y=5，z2=xy+y−9，求【答案】8【分析】先把x+y=5化为x=5−y,再代入z2=xy+y−9可得，利用非负数的性质求解z,y,从而可得x的值，再代入代数式x+2y+3z【详解】解：∵x+y=5，z2，代入z2=xy+y−9得：，∴z=0,y−3=0,可得：z=0，y−3=0，∴y=3，，所以．【点睛】本题考查的是非负数的性质，二元方程组的代换思想，求解代数式的值，运用完全平方公式分解因式，掌握“把原条件转化为非负数的和”是解题的关键.8．（2022·上海·七年级专题练习）分解因式：（x2+1）2﹣4x（x2+1）+4x2．【答案】x−14【分析】根据完全平方公式因式分解x2+1−2x2，整理顺序x【详解】解：（x2+1）2﹣4x（x2+1）+4x2，=（x2+1）2﹣2×（x2+1）·2x+（2x）2，=x2=x2=x−12=x−14【点睛】本题考查因式分解，幂的乘方运算，掌握因式分解的各种方法，准确记住