第十一章 图形的运动（3类压轴题专练）

第十一章图形的运动（3类压轴题专练）压轴题型一图形的平移问题专训（15题）1．（2023春·山东滨州·七年级统考期中）如图，将三角形ABC向左平移4个单位长度，得到三角形DEF．若四边形ABFD的周长为20个单位长度，则三角形ABC的周长是（

A．12个单位长度 B．14个单位长度C．11个单位长度 D．8个单位长度2．（2023春·湖南郴州·七年级校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，，AC=4，，将三角形△ABC沿直线BC向右平移2个单位长度得到△DEF，连接AD．给出下列结论：①AC∥DF，AC=DF；②；③

A．0 B．1 C．2 D．33．（2023春·河北石家庄·七年级统考期末）如图1，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC长度的一半得到△A1B1C1；持续以上的平移得到图A．8092 B．6070 C．4046 D．20234．（2023春·江西吉安·八年级统考期末）如图（1），将一副直角三角板两斜边摆放在同一直线上，且点A，D重合，固定含45°角的三角板ABC，将含30°角的三角板DEF从图（1）的位置，沿射线BA平移至图（2）的位置，则平移过程中，根据两个三角板的摆放位置，下列钝角：100°，105°，120°，135°，150°

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，将直角△ABC沿斜边AC的方向平移到△DEF的位置，DE交BC于点G，BG=4，EF=10，△BEG的面积为4，下列结论错误的是（

A．∠A=∠BED B．C．BE=CF D．四边形GCFE的面积为166．（2023春·浙江嘉兴·七年级校联考阶段练习）一建筑物楼梯样式如图所示，经测量得出，，∠B=90°，试着计算出折线AC（即楼梯表面AJIHGFEDC）的长度为．

7．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考开学考试）如图所示，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EGFD，HG=12cm，WG=4cm，WC=3cm，则阴影部分的面积为cm2．

8．（2023春·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）如图，在三角形ABC中，点E，F分别在边AB，BC上，将三角形沿EF折叠，使点B落在点D处，将线段DF沿着BC向右平移若干单位长度后恰好能与边AC重合，连接AD．若BC=7，则阴影部分的周长为．

9．（2023春·贵州铜仁·八年级校考期中）在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，A1A2∥B1B2、A1A2=B1B2、A2A3∥B

10．（2023春·广西南宁·七年级统考期中）如图，长方形ABCD中，AB=7，第一次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移6个单位长度，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移6个单位长度，得到长方形A2B211．（2023春·江苏·七年级校考阶段练习）如图，在方格纸内将△ABC水平向右平移4个单位得到△A

(1)补全△A(2)画出AB边上的高线CD，图中△ABC的面积是(3)△ABC与△EBC面积相等，在图中描出所有满足条件且异于A点的格点E，并记为E1、E12．（2023秋·湖南郴州·八年级校考开学考试）如图，矩形ABCD中，AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1

(1)求AB1和(2)若ABn的长为56，求13．（2023春·福建厦门·七年级厦门一中校考期末）如图1，已知△ABC中，AB=2，直线MN经过点A，将△ABC沿直线MN方向平移，平移后的图形记为△A'B

(1)当MN∥BC时，若AA'=12BC=1，请在图(2)如图3，当MN与BC不平行时，连接AA'，BB'，分别在BB'所在直线上B点右侧取一点D，使得BD=BA，连接AD，恰有∠BDA=∠BAD，A'E平分∠B'A'A交BB'14．（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）如图是由小正方形组成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三角形ABC的三个原点及点O都是格点，其中O点是坐标原点，点A'的坐标为（1，3），现将三角形ABC沿

(1)画三角形A'B'C'，直接写出点B'的坐标是(2)连接B'C，BB'，已知三角形BB'C为等腰直角三角形，∠BCB'=90°，点(3)已知BM∥x轴，三角形B'C'15．（2023春·浙江宁波·七年级统考期末）如图1是由25个边长为1个单位的小正方形组成的5×5网格，三角形

(1)将三角形ABC向上平移1个单位，向右平移2个单位，画出三角形A'(2)连接AA'、BB'，则AA'与BB'之间的数量关系为(3)如图2，将三角形MNP沿MM'方向平移若干距离得到三角形M'N'P'．若三角形MNP和五边形的周长分别是5与压轴题型二图形的旋转问题专训（15题）1．（2023春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC中，∠CAB=20°，∠ABC=30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB'C'，以下结论：①BC=B'C'，②AC∥C

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023春·河南郑州·八年级校联考期末）如图，在ΔABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到ΔACN，点M的对应点为点N，连接MN，则在下列结论中：①AB=AN，②AB∥NC；③∠AMN=∠ACN，④

A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④3．（2023·贵州贵阳·统考三模）如图，，射线OC在平面内．射线OC绕点O从射线OA的反向延长线的位置出发，顺时针旋转角α0°<α<180°，已知OM平分∠AOC，当∠MOC与∠BOC互余时旋转角α等于（）

A．30°或105° B．30°或120° C．40°或105° D．40°或1204．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠CAB=76°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使CA．28° B．30° C．36° D．385．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°得△AB'C'，若点B'在线段BC

A．80° B．70° C．60° D．1006．（2023秋·全国·九年级专题练习）一副三角板按图1的形式摆放，把含45°角的三角板固定，含30°角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为0°<α<130°．在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时，α的度数为．

7．（2023秋·七年级课时练习）如图，将一块含45°角的三角板ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB'C'

8．（2023·河北唐山·统考二模）小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片，边长是1，排列形式如图所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．则新正方形DEFG的面积是；如图，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、

9．（2023春·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角形AOB的直角顶点放在O处，∠AOB=90°，∠OAB=30°，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周停止，设旋转时间为t秒，且∠AOC=40°，如图2，在旋转的过程中，若射线OC的位置保持不变，当t=时，射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线．

10．（2023春·七年级单元测试）如图在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°），得到△A'B'C，设A'C交AB边于D，连结A11．（2021秋·上海·七年级校联考期末）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一点（与A，B两点不重合），将△BCE绕着点C旋转，使CB与CD重合，这时点E落在点F处，联结EF．

(1)按照题目要求画出图形；(2)若正方形边长为3，，求△AEF的面积；(3)若正方形边长为m，BE=n，比较△AEF与△CEF12．（2023秋·福建南平·七年级福建省光泽第一中学校考开学考试）画一画，填一填．

(1)仔细观察三角形ABC，点C在点A的偏°方向．(2)画出三角形绕点C顺时针旋转90°后的图形，再把旋转后的图形向右平移2(3)将原三角形按2:1的比放大，画出放大后的图形．放大后三角形与原三角形面积的比是．13．（2023秋·山西晋城·七年级统考期末）综合与实践如图①，O为直线MN上一点，在点O处将一副直角三角板按如图所示的方式摆放∠MOA=90

(1)将图①中的直角三角板AOB绕点O顺时针旋转一定的角度得到图②，使边OA恰好平分∠NOD，问OB是否平分∠MOD(2)如果将图①中的直角三角板AOB绕点O顺时针旋转一定的角度得到图③．①使边OB在∠COD内部，那么∠AOC与∠BOD②若继续旋转三角板AOB，直到OB与OM重合，请直接写出∠COD与∠BOD14．（2023秋·安徽安庆·七年级统考期末）已知一副三角板（直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB=90°，∠ABO=45°，，∠COD=60°

(1)如图1摆放，点O、A、C在一直线上，则∠BOD(2)如图2，将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC(3)如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON15．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的，则这条射线叫原来角的“新生线”．(1)如图1，∠MOP=2∠PON，射线OP___________∠MON的“新生线”（填“是”或“不是”(2)点M、①如图2，∠AON=72°，射线OC在∠AOM的内部，并且是∠AOM的“新生线”，OD平分，求的大小；②如图3，OA⊥MN，∠AOB=40°，射线OC从OM出发绕点O以每秒6°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC与射线ON重合时，运动都停止．当射线OC是∠MOD的“新生线”时，直接写出t的值为__________．压轴题型三图形的翻折问题专训（15题）1．（2023秋·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）四边形ABCD中，∠BAD=125°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使

A．80° B．95° C．125° D．110°2．（2023春·浙江宁波·七年级校考期中）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，D分别落在A1，D1的位置，再将△A1EG沿着AB对折，将△GD1①GN⊥DC；②GH⊥GD1；③当MN∥EF时，

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，把一个角沿过点O的射线对折后得到的图形为∠AOB(0°<∠AOB<90°)，现从点O引一条射线OC，使∠AOC=m∠AOB，再沿OC把角剪开．若剪开后再展开，得到的三个角中，有且只有一个角最大，最大角是最小角的三倍，则m的值为（

）A．14 B．25 C．14或25 D4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次延ED翻折，第三次延CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝α内部（不包含边界），则α的取值值范围是（

）A．36°<α≤45∘ B．305．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知，点A是∠MON内任意一点，点B和点C分别是射线OM和射线ON上的动点（M、N不与点O重合），当△ABC周长取最小值时，则∠BAC的度数为（）A．140° B．100° C．50° D．406．（2023春·全国·七年级专题练习）已知线段AB=10，M、N为直线AB上任意两点，将线段AM、BN分别沿着点M和N折叠，使得A的对应点为A'，B的对应点为B'，若A'B'7．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝62°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度．8．（2020春·山东青岛·七年级统考期末）如图，P为∠MON内部的已知点，连接OP，A为OM上的点，B为ON上的点，当ΔPAB周长的最小值与OP的长度相等，∠MON的度数为°．9．（2019春·四川成都·七年级成都外国语学校校考期中）如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边，若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°，当∠A＜83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1＝∠2，若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝°若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值＝°10．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，点P是AOB内任意一点，OP=5cm，点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，连接CD交OA于点E，交OB于点F，当△PEF的周长是5cm时，∠AOB的度数是11．（2023春·全国·七年级专题练习）已知∠AOB=90°，射线OC、OD在∠AOB的内部（OC与OD不重合），且∠AOC=∠BOD．将射线OA沿直线OC翻折，得到射线OA'；将射线OB沿直线OD翻折，得到射线OB'（(1)如图①，若∠AOC=40°，则∠COD=______°，∠A'(2)若∠COD=40°，请画出不同情形的示意图，并分别求出∠A'O(3)设，请直接写出∠COD与∠A'OB12．（2023秋·江苏连云港·七年级统考期末）如图1，点O是直线AB上一点，射线OC从OA开始以每秒3°的速度绕点O顺时针转动，射线OD从OB开始以每秒5°的速度绕点O逆时针转动，当OC、OD相遇时，停止运动；将∠AOC、∠BOD分别沿OC、OD翻折，得到∠COE、∠DOF，设运动的时间为t（单位：秒）(1)如图2，当OE、OF重合时，∠COD=_______°；(2)当时，∠EOF=_______°，当t=12时，∠EOF=_______°；(3)如图3，射线OP在直线AB的上方，且∠AOP=70°，在运动过程中，当射线OE、OP、OF其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值13．（2022秋·全国·七年级专题练习）根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题：(1)已知点A，B，C表示的数分别为1，-52，-3.观察数轴，与点A的距离为3的点表示的数是______，A，B两点之间的距离为(2)数轴上，点B关于点A的对称点表示的数是______．(3)若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则与B点重合的点表示的数是______；若此数轴上M，N两点之间的距离为2021（M在N的左侧），且当A点与C点重合时，M点与N点也恰好重合，则点M表示的数是______，点N表示的数是______．(4)若数轴上P，Q两点间的距离为m（P在Q左侧），表示数n的点到P，Q两点的距离相等，将数轴折叠，当P点与Q点重合时，点P表示的数是______，点Q表示的数是______（用含m，n的式子表示这两个数）．14．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图所示，将笔记本活页两角向内折叠，使角的顶点A落在A'处，顶点D落在D'处，BC，（1）如图1，使边BD'与边BA'重合，若∠1=30°，求∠2=_______（2）如图2，使边BD沿着BE折叠后的边BD'落在∠1内部，若∠1=40°，设∠A'BD'=α，∠EBD=β，求15．（2019秋·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考阶段练习）如果两个角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“互优角”，即若|∠α-∠β|=60°，则称∠α和∠β互为“互优角”（本题中所有角都是大于0°且小于180°图1

图2

图3（1）若∠1和∠2互为“互优角”，当∠1=90°时，则∠2=________（2）如图1，将一长方形纸片沿着EP对折，（点P在线段BC上，点E在线段AB上），使点B落在B'，若∠EPB'与∠B'PC互为“互优角（3）再将纸片沿着PF对折（点F在线段CD或AD上），使点C落在C'①如图2，若点E，C'，P在同一直线上，且∠B'PC'与互为“互优角”，求的度数（对折时，线段②若∠B'PC'与互为“互优角”，则

第十一章图形的运动（3类压轴题专练）参考答案压轴题型一图形的平移问题专训（15题）1．（2023春·山东滨州·七年级统考期中）如图，将三角形ABC向左平移4个单位长度，得到三角形DEF．若四边形ABFD的周长为20个单位长度，则三角形ABC的周长是（

A．12个单位长度 B．14个单位长度C．11个单位长度 D．8个单位长度【答案】A【分析】由平移的性质可知，将四边形ABFD的周长转化为AB+BC+AC+4+4=20个单位长度即可．【详解】解：由平移的性质可知，，BC=EF，AC=DF，FC=AD=4个单位长度，∵四边形ABFD的周长为20个单位长度，即AB+BC+FC+FD+AD=20个单位长度，∴AB+BC+AC+4+4=20个单位长度，∴AB+BC+AC=12个单位长度，即三角形ABC的周长是12个单位长度．故选：A．【点睛】本题考查平移的性质，掌握平移前后对应线段的数量和位置关系是解决本题的关键．2．（2023春·湖南郴州·七年级校考期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，，AC=4，，将三角形△ABC沿直线BC向右平移2个单位长度得到△DEF，连接AD．给出下列结论：①AC∥DF，AC=DF；②；③AD:EC=2:3；其中，结论正确的个数为（

）

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用平移的性质依次判断可求解．【详解】解：∵将△ABC沿直线BC向右平移2个单位得到△DEF∴AD=BE=CF=2，∴BF=5+2=7，EC=5-2=3，∵四边形ABFD的周长=AB+AD+DF+BF，∴四边形ABFD的周长=3+4+2+7=16，故③正确；∵AD=2，∴AD：EC=2：故选：D．【点睛】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．3．（2023春·河北石家庄·七年级统考期末）如图1，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC长度的一半得到△A1B1C1；持续以上的平移得到图2，再持续以上的平移得到图3，A．8092 B．6070 C．4046 D．2023【答案】A【分析】根据平移的性质分别求出第一个、第二个、第三个图形中等边三角形的个数，总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：由平移的性质、等边三角形的概念可知：第1个图形中等边三角形的个数为4=4×第2个图形中等边三角形的个数为8=4×第3个图形中等边三角形的个数为12=4×则第2023个图形中等边三角形的个数为4×2023=8092(个)，故选：A．【点睛】本题考查的是平移的性质、图形的变化规律，根据平移的性质总结出图形的变化规律是解题的关键4．（2023春·江西吉安·八年级统考期末）如图（1），将一副直角三角板两斜边摆放在同一直线上，且点A，D重合，固定含45°角的三角板ABC，将含30°角的三角板DEF从图（1）的位置，沿射线BA平移至图（2）的位置，则平移过程中，根据两个三角板的摆放位置，下列钝角：100°，105°，120°，135°，150°，165°，170°，沿三角板的边缘能直接画出的有（

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据题意以及三角板中角度的计算即可求解．【详解】解：∵∠CAB=∴120°，135°，150°，分别为∠CBA,如图2，∠CAF=180

综上所述，沿三角板的边缘能直接画出的有105°，120°，135°，150°，共4故选：D．【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，平移的性质，邻补角的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．5．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，将直角△ABC沿斜边AC的方向平移到△DEF的位置，DE交BC于点G，BG=4，EF=10，△BEG的面积为4，下列结论错误的是（

A．∠A=∠BED B．△ABC平移的距离是C．BE=CF D．四边形GCFE的面积为16【答案】B【分析】根据平移的性质分别对各个小题进行判断：①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果；②平移距离指的是对应点之间的线段的长度；③根据平移前后对应线段相等即可得出结果；④利用梯形的面积公式即可得出结果．【详解】解：A．∵直角三角形ABC沿斜边AC的方向平移到三角形DEF的位置，∴AB∥DE，AC∥∴∠A=∠GDC，∠∴∠A=∠BEDB．△ABC平移距离应该是的长度，由BE>BG，可知，故B错误，符合题意；C．由平移前后的对应点的连线平行且相等可知，BE=CF，故C正确，不符合题意；D．∵△BEG的面积是4，BG=4，∴EG=4×∵由平移知：，∴CG=10-四边形GCFE的面积：10+6×2÷故选：B．【点睛】本题主要考查的是平移的性质，正确的掌握平移的性质是解题的关键．6．（2023春·浙江嘉兴·七年级校联考阶段练习）一建筑物楼梯样式如图所示，经测量得出，，∠B=90°，试着计算出折线AC（即楼梯表面AJIHGFEDC）的长度为．

【答案】7【分析】楼梯长度的和等于楼梯的水平宽度与垂直高度的和．【详解】解：如下图，过点I，G，E作MI∥BC，NG∥BC，ZE∥BC交AB于点M，N，Z，过点I，G，E作IX∥AB，GY∥AB，EP∥AB交BC于点X，Y，P，

由图可知：JI=AM，HG=MN，FE=NZ，CD=ZB，AJ=BX，HI=XY，GF=YP，ED=PC，∴折线AC=AJ+IH+GF+ED故答案为：7dm【点睛】此题主要考查了平移的知识，与实际生活相联系，熟练掌握平移的知识并灵活运用是解答本题的关键．7．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考开学考试）如图所示，把直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形EGFD，HG=12cm，WG=4cm，WC=3cm，则阴影部分的面积为cm2．

【答案】42【分析】根据平移的性质得HG=CD=12cm，则DW=DC-WC=9cm，由于S阴影部分+【详解】解：∵直角梯形ABCD沿AD方向平移到梯形，∴HG=CD=12cm∴DW=DC∵S∴=1故答案为：42．【点睛】本题考查了直角梯形，平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．8．（2023春·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）如图，在三角形ABC中，点E，F分别在边AB，BC上，将三角形沿EF折叠，使点B落在点D处，将线段DF沿着BC向右平移若干单位长度后恰好能与边AC重合，连接AD．若BC=7，则阴影部分的周长为．

【答案】14【分析】由折叠性质得DF=BF，由平移的性质可得，AC=DF，，再由BC=BF+FC=7，可得四边形的周长为：2×DF+FC【详解】∵△BEF沿EF折叠点B落在点D处，∴DF=BF，∵DF沿BC向右平移若干单位长度后恰好能与边AC重合，∴，AC=DF∵BC=BF+FC=7，∴DF+FC=7，DF=BF，∴阴影部分ADFC的周长为：2×故答案为：14．【点睛】此题考查了翻折和平移变换的性质，解题的关键是要能够根据折叠和平移的性质得到对应的线段相等，从而求得阴影部分周长．9．（2023春·贵州铜仁·八年级校考期中）在一矩形花园里有两条绿化带．如图所示的阴影部分，A1A2∥B1B2、A1A2=B1B2、A2A3∥B

【答案】S【分析】设矩形花园的宽a，根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为AB，宽为a的长方形的面积．【详解】解：设矩形花园的宽a，根据题意可知，两条绿化地的面积都相当于长为AB，宽为a的长方形的面积，S1=故答案为：S1【点睛】本题考查了生活中的平移，根据平移确定绿化带的长和宽是解题的关键．10．（2023春·广西南宁·七年级统考期中）如图，长方形ABCD中，AB=7，第一次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移6个单位长度，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移6个单位长度，得到长方形A2B2【答案】336【分析】根据平移的规律，可得BB1=6=【详解】解：∵AB=7，第一次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移6个单位，得到长方形A1∴BB∴，∵第2次平移将长方形A1B1C1D1∴，∴，……，∵第n次平移将长方形An-1Bn-1Cn-1Dn-1∴，∵ABn的长度为2023，∴，∴n=336．故答案为：336．【点睛】本题考查了平移的性质及规律的探索，准确理解题意并找出规律是解题的关键．11．（2023春·江苏·七年级校考阶段练习）如图，在方格纸内将△ABC水平向右平移4个单位得到△A

(1)补全△A(2)画出AB边上的高线CD，图中△ABC的面积是(3)△ABC与△EBC面积相等，在图中描出所有满足条件且异于A点的格点E，并记为E1、E2、【答案】(1)作图见解析(2)作图见解析，8(3)作图见解析【分析】（1）根据平移方式作图即可；（2）根据三角形高的定义画图即可，再利用分割法求三角形面积即可；（3）根据等底等高的三角形的面积相等，过点A作BC的平行线，经过的格点即为所求．【详解】（1）解：如图，把点A、B、C分别向右平移4个单位长度得到点A'、B'、C'

（2）解：延长AB，过点C作CD⊥AB于点D，如图，CD即为所求；

由图可得，S△故答案为：8；（3）解：如图，格点E1、E2、

【点睛】本题考查作图−平移变化，熟知平移的性质是解题的关键．12．（2023秋·湖南郴州·八年级校考开学考试）如图，矩形ABCD中，AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1

(1)求AB1和(2)若ABn的长为56，求【答案】(1)AB1=11(2)n=10．【分析】（1）根据平移的性质得出A2B1的长度，然后根据图形的位置关系求出A（2）根据（1）中所求，得出数字变化规律，进而得出，根据ABn的长度即可求出n【详解】（1）解：∵AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A∴AA∴AB∴AB2的长为（2）解：∵AB1=2×5+1=11∴AB解得n=10．【点睛】本题考查了平移的规律性，找到线段之间的变化规律是解题关键．13．（2023春·福建厦门·七年级厦门一中校考期末）如图1，已知△ABC中，AB=2，直线MN经过点A，将△ABC沿直线MN方向平移，平移后的图形记为△A'B'C

(1)当MN∥BC时，若AA'=12BC=1，请在图2上画出(2)如图3，当MN与BC不平行时，连接AA'，BB'，分别在BB'所在直线上B点右侧取一点D，使得BD=BA，连接AD，恰有∠BDA=∠BAD，A'E平分∠B'A'A交BB'于E【答案】(1)3，图见详解；(2)①AD和A'E是垂直的关系；②【详解】（1）解：∵MN∥BC，若AA∴AA∴BB'=C∴BC

（2）解：①由平移的性质可得，AA'∥B∴∠DA∵∠BDA=∠BAD，A'E平分∴2∠∴∠DA∴A'②由平移的性质得，∵AB=2，BD=BA，AA'=B∴BE=BB'-BD=B∴AA【点睛】本题考查平移的性质，解题的关键根据平移的性质得到相关线段之间的关系．14．（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）如图是由小正方形组成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三角形ABC的三个原点及点O都是格点，其中O点是坐标原点，点A'的坐标为（1，3），现将三角形ABC沿

(1)画三角形A'B'C'，直接写出点B'的坐标是(2)连接B'C，BB'，已知三角形BB'C为等腰直角三角形，∠BCB'=90°，点D为线段(3)已知BM∥x轴，三角形B'C'M的面积和三角形【答案】(1)B'2,1，(2)25，4(3)3,-1【分析】（1）根据平移的性质找到平移规律，根据平移规律画图求解即可得到答案；（2）根据割补法求出面积利用三角形面积公式求解即可得到答案；（3）分类讨论点所在位置，根据面积相等列式求解即可得到答案；【详解】（1）解：∵A(-5,1)，A'∴△ABC向右平移6个单位，向上平移2

∴B'2,1，（2）解：如图所示，S△解得：B'S△解得：h=

（3）解：设点M(m,-①当M在DE之间时，由题意可得，12解得：m=3，

②当点在DE外时，由题意可得，12解得：m=-∴点M的坐标为：3,-1或

【点睛】本题考查平移，求格点三角形面积，解题的关键是根据割补法得到面积相等的等量关系式．15．（2023春·浙江宁波·七年级统考期末）如图1是由25个边长为1个单位的小正方形组成的5×5网格，三角形ABC的端点都在小正方形的顶点，请按要求画图并解决问题：

(1)将三角形ABC向上平移1个单位，向右平移2个单位，画出三角形A'(2)连接AA'、BB'，则AA'与BB'之间的数量关系为(3)如图2，将三角形MNP沿MM'方向平移若干距离得到三角形M'N'P'．若三角形MNP和五边形的周长分别是5与【答案】(1)见解析(2)AA'(3)2【分析】（1）分别作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可得；（2）根据平移的性质：经过平移,对应线段,对应角分别相等;对应点所连的线段平行且相等即可作答；（3）根据平移的性质作答即可．【详解】（1）解：如图所示，三角形A'

（2）解：如图，

∵三角形ABC向上平移1个单位，向右平移2个单位，得三角形A'∴AA'=B故答案为AA'=B（3）解∶∵将三角形MNP沿MM'方向平移若干距离得到三角形∴平移距离为MM'的长，且MM'=N∵三角形MNP和五边形的周长分别是5与9，∴MN+MM'+∴2MM∴平移距离为MM'的长故答案为：2．【点睛】本题考查的是作图一平移变换，熟知图形平移的性质是解答此题的关键．压轴题型二图形的旋转问题专训（15题）1．（2023春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知△ABC中，∠CAB=20°，∠ABC=30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB'C'，以下结论：①BC=B'C'，②AC∥C

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据旋转的性质可得，BC=B'C',∠C'【详解】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB∴BC=B'C②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，∴∠∵∠CAB=20∴∠B∵∠A ，∴AC∥C'③在△BAB'中， AB=AB'∴∠∴∠∴CB'与BB'④在△ACC'中， AC=AC'∴∠∴∠ABB'∴①②④这三个结论正确． 故选：C．【点睛】本题主要考查了旋转性质的应用，平行线的判定，掌握图形的旋转只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解答本题的关键．2．（2023春·河南郑州·八年级校联考期末）如图，在ΔABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到ΔACN，点M的对应点为点N，连接MN，则在下列结论中：①AB=AN，②AB∥NC；③∠AMN=∠ACN，④

A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】根据旋转变换的性质，等边三角形的性质，平行线的性质判断即可．【详解】解：①∵AB，由旋转的性质可知，，，故本选项结论错误，不符合题意；②当ΔABC为等边三角形时，AB∥NC，除此之外，AB与不平行，故本选项结论错误，不符合题意；③由旋转的性质可知，∠BAC=∠MAN，∠ABC=∵AM=AN，AB=AC，，，本选项结论正确，符合题意；④只有当点M为BC的中点时，，才有，故本选项结论错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是旋转变换，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握旋转变换的性质是解题的关键．3．（2023·贵州贵阳·统考三模）如图，，射线OC在平面内．射线OC绕点O从射线OA的反向延长线的位置出发，顺时针旋转角α0°<α<180°，已知OM平分∠AOC，当∠MOC与∠BOC互余时旋转角α等于（）

A．30°或105° B．30°或120° C．40°或105° D．40°或120【答案】D【分析】分当OC在∠AOB的外部时，当OC在∠AOB的内部时，分别表示出∠MOC与∠BOC，根据∠MOC与∠BOC【详解】解：当OC在∠AOB

∴∠∵∠MOC与∠BOC∴12解得：α=40°当OC在∠AOB

∴∠∴1解得：；故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，余角的定义，一元一次方程的应用，分类讨论，数形结合是解题的关键．4．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠CAB=76°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB'C'的位置，使CCA．28° B．30° C．36° D．38【答案】A【分析】旋转中心为点A，B与B'，C与分别是对应点，根据旋转的性质可知，旋转角∠BAB'=∠CAC'，AC=AC'，再利用平行线的性质得∠C'CA=∠CAB，把问题转化到等腰△ACC'中，根据内角和定理求∠CAC'【详解】解：∵CC'∴∠C又∵C、C'∴AC=AC'，即△ACC∴∠BAB故选：A．【点睛】本题考查了旋转的基本性质，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线的夹角为旋转角．同时考查了平行线的性质．5．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°得△AB'C'，若点B'在线段BC

A．80° B．70° C．60° D．100【答案】A【分析】根据旋转性质得到∠BAB'=100°，∠B=∠AB'【详解】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转100°得△A∴∠BAB'=100°，∠B=∠A∴∠B=∴∠B故选A．【点睛】本题考查旋转的性质及等腰三角形性质及三角形内角和定理，解题的关键是得到∠B=∠AB'C6．（2023秋·全国·九年级专题练习）一副三角板按图1的形式摆放，把含45°角的三角板固定，含30°角的三角板绕直角顶点逆时针旋转，设旋转的角度为0°<α<130°．在旋转过程中，当两块三角板有两边平行时，α的度数为．

【答案】30°或45°或120【分析】分情况画出图形，利用平行线的性质和直角三角形的特征分别进行求解即可．【详解】解：①如图1，当CD∥OB时，∠α=

②如图2，当OC∥AB时，∠OEB=∴∠α=90

③如图3．当DC∥OA时，∠DOA=∴∠α=

④当OD∥AB时，旋转角大于130°故答案为：30°或45°或120°【点睛】此考查了图形的旋转、平行线的性质等知识，分类讨论是解题的关键．7．（2023秋·七年级课时练习）如图，将一块含45°角的三角板ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB'C'

【答案】25【分析】根据旋转的性质得出∠BAC=∠B'A【详解】解：∵将一块含45°角的三角板ABC绕点A按逆时针方向旋转到△A∴∠BAC=∵∠

∴旋转角∠BA故答案为：25°【点睛】本题考查了旋转的性质，正确确定旋转角是解题的关键．8．（2023·河北唐山·统考二模）小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片，边长是1，排列形式如图所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形．他的做法是：按图所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．则新正方形DEFG的面积是；如图，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、

【答案】525【分析】由旋转的性质可得图形①和图形②面积相等，则新正方形面积等于5个小的正方形面积的和，采用逆向思维的方式得到所求的图形进而求出所求图形的面积，把它返回到5个相同的平行四边形的状态，进而得出平行四边形MNPQ的面积．【详解】解：∵将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，∴图形①和图形②面积相等，∵新正方形DEFG的面积等于5个小的正方形面积的和，∴新正方形DEFG的面积等于5，根据题意可得出：图形是5个相同的平行四边形的状态，那么其中一个面积为原图形的15，那么平行四边形MNPQ的面积=1故答案为：5，【点睛】本题考查旋转的性质，图形的剪拼，培养学生动手操作能力及想象力，是热点题型，多思考、多总结，注意问题过程的形成．9．（2023春·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角形AOB的直角顶点放在O处，∠AOB=90°，∠OAB=30°，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周停止，设旋转时间为t秒，且∠AOC=40°，如图2，在旋转的过程中，若射线OC的位置保持不变，当t=时，射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线．

【答案】2或8或32【分析】分三种情况：当OA平分∠COD时，当OC平分∠AOD时，当OD平分∠AOC时，分别求出t的值即可；【详解】当OA平分∠COD时，如图，∠

∵OA平分∠COD12∠∴10t=20解得：t=2；当OC平分∠AOD

∵OC平分∠AOD∴∠AOD=2∠COD=80°，即10t=80，解得：t=8；当OD平分∠AOC

∵OD平分∠AOC∴∠∴10t=360解得：t=32；综上所述，满足题意的t的取值为2或8或32．故答案为：2或8或32．【点睛】本题考查了角平分线的定义，一元一次方程的定义，旋转的性质，分类讨论是解题的关键．10．（2023春·七年级单元测试）如图在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°），得到△A'B'C，设A'C交AB边于D，连结A【答案】20°或40°/40°或20【分析】根据旋转的性质可得AC=A'C，根据等腰三角形的两底角相等求出∠AA'C【详解】∵△ABC绕C点逆时针方向旋转得到△A∴AC=A∴∠A∴∠DA根据三角形的外角性质，∠AD△AD①∠AA'C=∠DA②∠AA'C=∠AD解得α=40°③∠DAA'=∠AD解得α=20°综上所述，旋转角α度数为20°或40°故答案为：20°或40°【点睛】此题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键.11．（2021秋·上海·七年级校联考期末）如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一点（与A，B两点不重合），将△BCE绕着点C旋转，使CB与CD重合，这时点E落在点F处，联结EF．

(1)按照题目要求画出图形；(2)若正方形边长为3，，求△AEF的面积；(3)若正方形边长为m，BE=n，比较△AEF与△CEF【答案】(1)见解析(2)4(3)S△【分析】（1）按照题目要求根据旋转的性质即可画出图形；（2）根据旋转的性质得出DF=BE=1，然后求出和AE，进而可求△AEF的面积；（3）首先求出S△AEF，然后证明S四边形AECF=S四边形ABCD=m2【详解】（1）解：如图所示；

（2）根据旋转的性质可知：DF=BE=1，∵正方形的边长为3，∴AF=AD+DF=4，AE=AB-∴S△（3）S△理由：根据旋转的性质可知：DF=BE=n，∵正方形的边长为m，∴AF=AD+DF=m+b，AE=AB-∴S△∵S△∴S四边形∴S==∵n>0，∴，∴S△【点睛】本题考查了作图—旋转变换，旋转的性质，整式混合运算的实际应用，解决本题的关键是掌握旋转的性质，正确求出S△AEF和S12．（2023秋·福建南平·七年级福建省光泽第一中学校考开学考试）画一画，填一填．

(1)仔细观察三角形ABC，点C在点A的偏°方向．(2)画出三角形绕点C顺时针旋转90°后的图形，再把旋转后的图形向右平移2(3)将原三角形按2:1的比放大，画出放大后的图形．放大后三角形与原三角形面积的比是．【答案】(1)南，东，45(2)图见解析(3)4:1，图见解析【分析】（1）先判断三角形ABC的形状，再根据方位角的知识求解；（2）利用格点找出点B，A绕点C顺时针旋转90°后的对应点，顺次连接，再向右平移2（3）放大后三角形各边的长度为原边长的2倍，由此作图即可．【详解】（1）解：由格点可知AB=BC，∠ABC=90因此∠BAC=45故点C在点A的南偏东45°故答案为：南，东，45；（2）解：旋转及平移后图形如下图中间的两个三角形；（3）解：放大后图形如下图中右侧的三角形；

放大后三角形与原三角形面积的比是：12故答案为：4:1．【点睛】本题考查方位角，旋转，平移，格点作图等，解题的关键是掌握旋转和平移的性质．13．（2023秋·山西晋城·七年级统考期末）综合与实践如图①，O为直线MN上一点，在点O处将一副直角三角板按如图所示的方式摆放∠MOA=90

(1)将图①中的直角三角板AOB绕点O顺时针旋转一定的角度得到图②，使边OA恰好平分∠NOD，问OB是否平分∠MOD(2)如果将图①中的直角三角板AOB绕点O顺时针旋转一定的角度得到图③．①使边OB在∠COD内部，那么∠AOC与∠BOD②若继续旋转三角板AOB，直到OB与OM重合，请直接写出∠COD与∠BOD【答案】(1)OB平分∠MOD(2)①∠AOC-∠BOD=45°，见解析；②∠AOC-∠BOD=45°或∠【分析】（1）根据平角的性质可得，∠AOB=90°，∠MOB+∠AOB+∠AOC=180°，根据互余的性质可得∠BOD=（2）①根据图示可得，∠BOC=90°-∠AOC，∠BOC=45°-∠BOD由此即可求解；②OB与OM重合，分类讨论：第一种情况：OB在MO的延长线上；第二种情况，OB在CO的延长线上；根据互余，互补的性质，图形结合分析即可求解．【详解】（1）解：OB平分∠MOD∵∠AOB=90°，∠MOB+∴∠COA+∠BOM=90°，∠AOD+∵OA平分∠NOD∴∠COA=∴∠BOD=∴OB平分∠MOD（2）解：①∠AOC∵∠AOB=90∴∠BOC=90∵∠COD=45∴∠BOC=45∴90°-∠AOC=45°-∠BOD，即∠AOC②第一种情况：OB在MO的延长线上，如图所示，

∵，∠BOD=∠∴∠AOC∴∠AOC第二种情况，OB在CO的延长线上，如图所示，

∵∠COD=45°，∠AOB=90∴∠AOD=180∴∠BOD=∠AOB+∠AOD=90°+45°=135°，∠AOC=∴∠BOD∴∠BOD综上所述，∠AOC-∠BOD=45°或∠BOD【点睛】本题主要考查几何图形的变换与角度的和差倍分关系，角平分线的性质，互余，互补的性质的综合运用，掌握以上知识的综合是解题的关键．14．（2023秋·安徽安庆·七年级统考期末）已知一副三角板（直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB=90°，∠ABO=45°，，∠COD=60°

(1)如图1摆放，点O、A、C在一直线上，则∠BOD(2)如图2，将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC(3)如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON【答案】(1)30(2)60(3)∠MON的度数不会发生变化，总是75°【分析】（1）根据余角的定义即可得到结论；（2）由角平分线的定义得到∠BOC=（3）根据角平分线的定义得到12【详解】（1）∠BOD=90（2）∠BOC=∴∠（3）∠MON∵∠又OM平分∠AOC，ON平分∠BOD∴∠NOD=12∠BOD∵1∴=1即∠MON的度数不会发生变化，总是75°【点睛】本题考查了角的计算：会进行角的倍、分、差计算．也考查了角平分线的定义，会识别图形是解题的关键．15．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的，则这条射线叫原来角的“新生线”．(1)如图1，∠MOP=2∠PON，射线OP___________∠MON的“新生线”（填“是”或“不是”(2)点M、①如图2，∠AON=72°，射线OC在∠AOM的内部，并且是∠AOM的“新生线”，OD平分，求的大小；②如图3，OA⊥MN，∠AOB=40°，射线OC从OM出发绕点O以每秒6°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC与射线ON重合时，运动都停止．当射线OC是∠MOD的“新生线”时，直接写出t的值为__________．【答案】(1)是(2)①72°或90°；②t的值为358s或10【分析】（1）根据“新生线”的定义及计算方法即可求解；（2）①射线OC在∠AOM的内部，并且是∠AOM的“新生线”，分类讨论，当∠AOC=13∠AOM时，当∠MOC=13∠AOM，根据角平分线即可求解；②OC到ON的时间范围为30s，当OC追上OB的时间为t=12.5s，当OC追上OA的时间为【详解】（1）解：∵∠MOP=2∠PON，设∠PON=x，则∠MOP=2x∴∠MON=∴∠PON∴∠PON是∠MON的，∴OP是∠MON故答案为：是．（2）解：①射线OC在∠AOM的内部，并且是∠AOM的“新生线”当∠AOC=∵点M、O、N∴∠AOM=180∵∠AOC=∴∠AOC=∴∠COM=∵OD平分，∴∠COD=∴∠AOD=当∠MOC=同理，∠AOM=180∴∠MOC=13∠AOM=∵OD平分，∴∠COD=∴∠AOD=综上所述，的大小为72°或90°；②射线OC从OM出发绕点O以每秒6°的速度逆时针旋转，∠AOB绕点O以每秒的速度逆时针旋转，∴OC到ON的时间范围为：180°÷∵OA⊥MN，∠AOB=40∴∠BOM=90∴当OC追上OB的时间为，50°+2°t=6°t，即t=12.5(s当OC追上OA的时间为，90°+2°t=6°t，即t=22.5(s第一种情况，当OC在OB的右边，即0<t<12.5，如图所示，当OC是∠MOD的“新生线”是，即∠COM=则∠COM=6°t，∠MOA=90°+2°t，∠∵OD平分∠AOB，∠AOB=40∴∠AOD=∵∠MOD=∠AOM-∠AOD=90°+2°t-20°=70°+2°t，且∠COM=∴6°t=70°+2°t，解得，t=35当∠COD=13∠MOD∴20°∵∠COD=∴70°-4°t=13(70°+2°t)第二种情况，当OC在OA的左侧，即22.5<t<30，如图所示，当∠COD=∵∠MOD=∠BOM+∠BOD=(90°-40°)+2°t+20°=70°+2°t，∠COD=∴4°t-70°=13(70°+2°t)第三中情况，当OC在∠AOB内部，且在OD左侧，即12.5<t<22.5，如图所示，当∠COD=∵∠MOD=∠BOM+∠BOD=(90°-40°)+2°t+20°=70°+2°t，∠COD=∴4°t-70°=13(70°+2°t)，解得，t=28(第四种情况，当OC在∠AOB内部，且在OD右侧，如图所示，当∠COD=∵∠COD=∠MOD-∠COM=∠BOM+∠BOD-∠COM=50°+2°t+20°+6°t=70°-4°t，∠MOD=∴70°-4°t=13(70°+2°t)，解得，t=10(当∠COM=6°t=13(70°+2°t)，解得，t=综上所述，当射线OC是∠MOD的“新生线”时，t的值为358s或10s故答案为：t的值为358s或10s【点睛】本题主要考查线段的位置与角的数量关系，理解“新生新”的定义，线段运动的规律，图形结合分析角的和、差、倍、分的数量关系是解题的关键．压轴题型三图形的翻折问题专训（15题）1．（2023秋·江苏宿迁·八年级校考阶段练习）四边形ABCD中，∠BAD=125°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使

A．80° B．95° C．125° D．110°【答案】D【分析】如图，延长AD至点G，使AD=GD，延长AB至点E，使AB=EB，连接GN,EM，则ME=MA,NG=NA；AM+AN+MN=ME+MN+NG，当E,M,N,G四点共线时，ME+MN+NG最小，此时△AMN周长最小；于是∠AMN+【详解】解：如图，延长AD至点G，使AD=GD，延长AB至点E，使AB=EB，连接GN,EM，则ME=MA,NG=NA；∴AM+AN+MN=ME+MN+NG，∠AMN=当E,M,N,G四点共线时，ME+MN+NG最小，此时△AMN△AEG中，∠E∴∠E+∴∠AMN+

故选：D【点睛】本题考查轴对称（垂直平分线），三角形内角和定理，外角的性质；添加辅助线构造轴对称是解题的关键．2．（2023春·浙江宁波·七年级校考期中）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，D分别落在A1，D1的位置，再将△A1EG沿着AB对折，将△GD1①GN⊥DC；②GH⊥GD1；③当MN∥EF时，

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】根据折叠的性质和平角的定义，推出∠EGN=90°，判断①；无法得到GH⊥GD1，判断②；根据折叠的性质推出EH∥MN，根据MN∥EF，得到点在线段E,F上，推出∠AEF=∠A1EF=2∠GEF，再根据∠AEF+∠GEF=180°，求出【详解】∵长方形纸片ABCD，沿EF折叠后，点A，D分别落在A1，D∴AB∥∵将△A1EG沿着AB对折，将△GD1N沿着∴∠A1GE=∠EGH,∠∵∠A∴2∠∴∠EGN=90∴GN⊥∴GN⊥DC；故∵∠D1GN=∠MGN∴GH不一定垂直GD1，故∵MN∥∴EH与EF共线，∴∠AEF=∵∠AEF+∴∠AEF=120°，故故选：B．【点睛】本题考查折叠的性质，熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，把一个角沿过点O的射线对折后得到的图形为∠AOB(0°<∠AOB<90°)，现从点O引一条射线OC，使∠AOC=m∠AOB，再沿OC把角剪开．若剪开后再展开，得到的三个角中，有且只有一个角最大，最大角是最小角的三倍，则m的值为（

）A．14 B．25 C．14或25 D【答案】D【分析】由题可知，沿过O的射线分为了射线OA和射线OB两种情况，分类讨论两种情况，利用∠AOC=m【详解】解：①由题意得，三个角分别是∠AOC、∠AOC、2∠且2∠COB=3∠AOC，∠COB=又∠=m(=5∴m=②三个角分别是、、2∠AOC，有且只有一个角最大，即为2∠且2∠AOC=3∠COB，∠COB=又∠=m(=5∴m=故选：D．【点睛】本题考查了角的和差倍分，解决本题的关键是读清题意，找到不同情况，利用题目中的等量建立方程解得参数的值．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，长方形ABKL，延CD第一次翻折，第二次延ED翻折，第三次延CD翻折，这样继续下去，当第五次翻折时，点A和点B都落在∠CDE＝α内部（不包含边界），则α的取值值范围是（

）A．36°<α≤45∘ B．30【答案】D【分析】利用翻折前后角度总和不变，由折叠的性质列代数式求解即可；【详解】解：第一次翻折后2a+∠BDE=180°，第二次翻折后3a+∠BDC=180°，第三次翻折后4a+∠BDE=180°，第四次翻折后5a+∠BDC=180°，若能进行第五次翻折，则∠BDC≥0，即180°-5a≥0，a≤36°，若不能进行第六次翻折，则∠BDC≤a，即180°-5a≤a，a≥30°，当a=36°时，点B落在CD上，当a=30°时，点B落在ED上，∴30°＜a＜36°，故选：D；【点睛】本题考查了图形的规律，折叠的性质，一元一次不等式的应用；掌握折叠前后角度的变化规律是解题关键．5．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知，点A是∠MON内任意一点，点B和点C分别是射线OM和射线ON上的动点（M、N不与点O重合），当△ABC周长取最小值时，则∠BAC的度数为（）A．140° B．100° C．50° D．40【答案】B【分析】分别作点A关于OM、ON的对称点A1、，连接A1A2，交OM于B，交ON于C，△ABC的周长的最小值=A1A2【详解】分别作点A关于OM、ON的对称点A1、，连接A1A2，交OM于B，交ON则OA1=OA=OA2根据对称轴的性质，可得BA=A1B则△ABC的周长的最小值=A∴∠A∴等腰△O∠O∴∠BAC=故选：B．【点睛】本题考查了轴对称－最对路线问题，正确作出辅助线，得到等腰△OA1A6．（2023春·全国·七年级专题练习）已知线段AB=10，M、N为直线AB上任意两点，将线段AM、BN分别沿着点M和N折叠，使得A的对应点为A'，B的对应点为B'，若A'B'【答案】12【分析】把线段AB放在数轴上，点A与原点重合，则A表示0，点B表示10，设M对应的数为x，N对应的数为y，确定AM-【详解】解：把线段AB放在数轴上，点A与原点重合，则A表示0，点B表示10，设M对应的数为x，N对应的数为y，由题意得：A'表示2x，B'表示∵A'∴2y-10-2x=2，即y=x+6或y=x+4∵AM-∴AM-BN=x-当AM-BN=x-x-4时，AM-BN的最小值为-当AM-BN=x-x-6时，AM-BN的最小值为-∴AM-BN的最大值和最小值的差为：6故答案为：12．【点睛】本题考查线段折叠，线段的和差，数轴上点表示的数，绝对值的意义，运用了分类讨论的思想是解题的关键．7．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝62°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度．【答案】124【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OB，根据等边对等角可得∠ABO＝∠BAO，再求出∠OBC，然后判断出点O是△ABC的外心，根据三角形外心的性质可得OB＝OC，再根据等边对等角求出∠OCB＝∠OBC，根据翻折的性质可得OE＝CE，然后根据等边对等角求出∠COE，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【详解】解：如图，连接OB、OC，∵∠BAC＝62°，AO为∠BAC的平分线，∴∠BAO＝12∠BAC＝12×62°＝又∵AB＝AC，∴∠ABC＝12（180°−∠BAC）＝12（180°−62°）＝∵DO是AB的垂直平分线，∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝31°，∴∠OBC＝∠ABC−∠ABO＝59°−31°＝28°，∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴OB＝OC，∴点O在BC的垂直平分线上，又∵DO是AB的垂直平分线，∴点O是△ABC的外心，∴∠OCB＝∠OBC＝28°，∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE＝CE，∴∠COE＝∠OCB＝28°，在△OCE中，∠OEC＝180°−∠COE−∠OCB＝180°−28°−28°＝124°，故答案为：124．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．8．（2020春·山东青岛·七年级统考期末）如图，P为∠MON内部的已知点，连接OP，A为OM上的点，B为ON上的点，当ΔPAB周长的最小值与OP的长度相等，∠MON的度数为°．【答案】30【分析】设点P关于OM的对称点为C，关于ON的对称点为D，当点A、B在CD上时，△PAB的周长为PA+AB+BP=CD，此时周长最小，根据CD=OP可求出∠MON【详解】解：作点P关于OM的对称点C，关于ON的对称点D，连接CD，交OM于A，交ON于B．此时，△PAB的周长最小．连接OC，OD，PA，PB．∵点P与点C关于OM对称∴OM垂直平分PC∴∠COM=∠MOP，PA=CA，OC=OP同理，可得∠DON=∠NOP，PB=DB，OD=OP∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠MON∴∠COD=2∠MON又∵△PAB的周长=PA+AB+BP=CA+AB+BD=CD=OP∴OC=OD=CD∴△COD是等边三角形∴∠MON=30故答案为：30．【点睛】此题找到点A和点B是的位置是解题的关键，要使△PAB的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．9．（2019春·四川成都·七年级成都外国语学校校考期中）如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边，若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°，当∠A＜83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1＝∠2，若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝°若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值＝°【答案】766【分析】（1）由A1A2⊥AO，∠AOB＝7°，可得∠2＝83°，由∠1＝∠2得∠1＝83°，从而求出∠AA1A2＝14°，即可求出∠A＝76°；（2）根据题意可知光线原路返回，最后的线垂直于BO，中间的角，从里往外，是7°的2倍，4倍，8倍.....n倍.，得出2∠1＝180°－14°×n，根据外角的性质，可得∠A＝∠1－7°＝83°－7°×n，当n＝11时，∠A＝6°，即可求出∠A的最小值．【详解】解：（1）A1A2⊥AO，∠AOB＝7°，∴∠1＝∠2＝90°－7°＝83°，∴∠A＝∠1－∠AOB＝76°；（2）当MN⊥OA时，光线沿原路返回，∴∠4＝∠3＝90°－7°＝83°，∴∠6＝∠5＝∠4－∠AOB＝83°－7°＝76°＝90°－2×7°，∴∠8＝∠7＝∠6－∠AOB＝76°－7°＝90°－3×7°，∴∠9＝∠8－∠AOB＝69°－7°＝62°＝90°－4×7°，由以上规律可知，∠A＝90°－2n•7°，当n＝6时，∠A取得最小值，最小度数为6°，故答案为：76，6．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质和三角形的外角性质及入射角等于反射角，根据三角形的外角性质及入射角等于反射角得出与∠A具有相同位置的角的度数变化规律是解题的关键．10．（2021春·全国·七年级专题练习）如图，点P是AOB内任意一点，OP=5cm，点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，连接CD交OA于点E，交OB于点F，当△PEF的周长是5cm时，∠AOB的度数是【答案】30【分析】根据轴对称得出OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出∠COA=∠AOP=12∠COP，∠POB=∠DOB=12∠POD，PE=CE【详解】解：如图示：连接OC，OD，∵点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，∴OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，∵OP=5cm，∴∠COA=∠AOP=12∠COP，∠POB=∠DOB=12∠∵△PEF的周长是5cm，∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm，∴CD=OD=OD=5cm，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=故答案为：30．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD是等边三角形是解此题的关键．11．（2023春·全国·七年级专题练习）已知∠AOB=90°，射线OC、OD在∠AOB的内部（OC与OD不重合），且∠AOC=∠BOD．将射线OA沿直线OC翻折，得到射线OA'；将射线OB沿直线OD翻折，得到射线OB'（(1)如图①，若∠AOC=40°，则∠COD=______°，∠A'(2)若∠COD=40°，请画出不同情形的示意图，并分别求出∠A'O(3)设，请直接写出∠COD与∠A'OB【答案】(1)10；70(2)∠A'OB'和∠AOC的度数分别为10°和25°(3)当0°<∠AOC≤45°时，∠A'OB'【分析】（1）由∠COD=90°-∠AOC-∠BOD可求得∠COD的度数；由折叠的性质得∠BOD=∠B'OD，∠AOC=∠A'OC，先求得（2）分两种情况，画出图形，同（1）的方法即可求解；（3）分当0°<∠AOC≤45°和45°<∠【详解】（1）解：∵∠AOC=40∴∠AOC=∴∠COD=90由折叠的性质得∠BOD=∠B'OD∴∠AOB'=90°-∠BOD-∠∴∠A故答案为：10；70；（2）解：如图，∠COD=40°，∠AOC=∴∠AOB'=90°-∠BOD-∠∴∠A如图，∠COD=40°，∠AOC=∴∠AOB'=∴∠A综上，∠A'OB'和∠AOC的度数分别为10°和25°（3）解：当0°<∠AOC≤45°，设∠AOC=∴∠COD=90∴∠AOB'=90°-∠BOD-∠∴∠A'O∴∠A当45°<∠AOC<60°，设∠AOC=∴∠COD=∴∠AOB'=∠BOD+∠∴∠A'O∴∠A综上，当0°<∠AOC≤45°时，∠A'OB'【点睛】本题考查了折叠的性质，角度的和差计算，正确的识别图形、分类讨论是解题的关键．12．（2023秋·江苏连云港·七年级统考期末）如图1，点O是直线AB上一点，射线OC从OA开始以每秒3°的速度绕点O顺时针转动，射线OD从OB开始以每秒5°的速度绕点O逆时针转动，当OC、OD相遇时，停止运动；将∠AOC、∠BOD分别沿OC、OD翻折，得到∠COE、∠DOF，设运动的时间为t（单位：秒）(1)如图2，当OE、OF重合时，∠COD=_______°；(2)当时，∠EOF=_______°，当t=12时，∠EOF=_______°；(3)如图3，射线OP在直线AB的上方，且∠AOP=70°，在运动过程中，当射线OE、OP、OF其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值【答案】(1)90(2)20，12(3)t的值为10或14513或125【分析】（1）利用折叠性质得∠AOC=∠EOC，∠BOD=（2）利用折叠性质得求出∠AOC、∠EOC、BOD、∠FOD（3）根据角平分线的不同，分OP是∠EOF的角平分线、OF是∠POE的角平分线、OE是∠POF【详解】（1）解：∵将∠AOC、∠BOD分别沿OC、OD翻折，得到∠COE、∠DOF∴∠AOC=∠EOC，∠BOD=∵∠AOC+∴∠COD=故答案为90；（2）解：当时，∠AOC=∠COE=10×3°=30°，∠BOD=∠∴∠EOF=180当t=12时，如下图，∠AOC=∠COE=12×3°=36°，∠BOD=∴∠EOF=故答案为20，12；（3）解：①当OP是∠EOF的角平分线时，则∠EOF=∠FOP，如图3，由折叠可知∠AOC=∠COE=3t°，∠BOD=∵∠AOP+∠BOP=180°，∠AOP=70∴∠BOP=110∴∠EOP=∠AOP-∠AOC-∠COE=70°-6t°，∠FOP=∴70°-解得t=10；②当OF是∠POE的角平分线时，则∠POF=由折叠可知∠AOC=∠COE=3t°，∠BOD=∵∠AOP+∠BOP=180°，∠AOP=70∴∠BOP=110∴∠EOF=∠AOC+∠COE-∠AOP2=∴6t°-解得t=145③当OE是∠POF的角平分线时，则∠POF=由折叠可知∠AOC=∠COE=3t°，∠BOD=∵∠AOP+∠BOP=180°，∠AOP=70∴∠BOP=110∴∠EOP=∠AOC+∠COE-∠AOP=6t°-70°，∠EOF=∴6t°-解得t