2021年初中物理竞赛及自主招生-第二节 压强

第二节压强

一、压强的概念

F

压强是表示压力作用效果的物理量，用单位面积上物体受到的压力大小来表示，公式为P=一,

s

其中s是受力面积。压强的单位为帕斯卡，符号“Pa”。尸=£是压强的定义式，适用于固体、

s

液体和气体的压强计算。

二、柱体对水平地面的压强

柱体是指横截面积处处相同的几何体，体积公式为丫="。如图7.3所示为几种常见的柱体。

对于置于水平面上的柱体来说,柱体对水平地面的压力大小等于其重力大小,设柱体密度为p,

高为力，底面积为s,因此柱体对水平地面的压强尸=£=磔可见，柱

SSSS

体对水平地面的压强与柱体底面积无关。

例1（上海第30届大同杯初赛）如图7.4所示，甲、乙两个完全相同的直角三棱劈放置在水

平桌面上。三棱劈的密度均匀且底面为矩形，若分别沿两物体图中虚

线将右上侧切掉△叫和Am乙,且△叫〈△吆，则剩余部分对桌面/\\

的压强心和生的大小关系为（）N\

A.4'吃B.R”吃

甲乙

C.用=&D.都有可能图7.4

分析与解显然，三棱劈可看做底面为矩形的柱体的一半，三棱劈XT地的压强等于等高的柱体

压强的一半，即P=因此与高度有关，切除之后乙的高度较大，因此本题正确选项为B。

例2（上海第19届大同杯复赛）如图7.5所示，A,8两正方体叠置在一

起放于水平桌面上，A的密度为金，3的密度为pg,若它们的边长比为

a.b=\.],A对3的压强与对桌面的压强之比总：吊=2:3,则

。若不断地缩小A立方体的体积，但始终保持A的形状为立方体，使A,

B两立方体的边长。法的比值由1:1逐渐变为1:2,则压强与：吊的比值变化情

图7.5

况为（提示：通过计算分析后，写出变化情况）。

分析与解设A,8的边长分别为a,b,则？=以€々，PB=匕,因此

&二0产-,将g=i代入得二.=PA=2,则且=2。

a

GpA+0/b匕PA+PB3pB

〃减小后，有

PA=幺加=2ab2=2b2=2一

32"

瓦~pAa+ph-2/「2〃-ry-p~V

B入2a~+一2。~+——+——

a2a2a

方3

令y=2/+K-+9-,由基本不等式，可得

2a2a

尸2"+幺”.3栩互互

=定值

2a2a72a2a

当且仅当2/=2，即3—时，y取最小值。当色由1：1逐渐变为1:1.5874时，y

2abV41.5874b

减小，当:由1:1.5874逐渐变为1:2时，），增大，因此乙■先增大后减小。

三、液体的压强

液体由于受重力作用且具有流动性，液体对容器底部和侧壁均有压强，液体的压强公式为

P=pght其中。是液体密度，力是液体中某处的深度。液体内部同一深度的位置，向各个方向的

压强均相等。

由液体压强公式2二/^人可知，液体压强与深度成正比，我们可以得出深度为人的液体，对侧

一h

壁压强的平均值为尸=pg3,即平均压强等于一半深度处的压强。若侧壁面积为5,则侧壁受液体

乙

-1h

的压力为尸=尸5=]08加。值得一提的是，液体对侧壁压力的等效作用点却不在5处。实际上,

压力的等效作用点叫做“压心”，面我们用类比法来寻找压心的位置。

如图7.6所示，作一个与矩形挡板ABC。等底、等高的三角形△Q'G,并让EF与BC共线。

用一些距离为的等距平行线将矩形挡板分成〃个相同的小

矩形，则这组平行线将△瓦G分成〃个等高的梯形（最上面一

个可视为上底为零的“特殊”梯形）。考察第i个小矩形和小梯形,

适当调节各个恒量的值，可使得各小梯形所受到的重力与对应的

小矩形所受液体的压力相等，所以，矩形A8CO所受压力的压

图7.6

心位置与4EFG重心位置等高由三角形重心知识可得，重心到三角形顶点的距离等于边EF上中线

2_2

长的一，故水对矩形侧壁48co的压心与AD边的距离为一九o

33

例3（上海第30届大同杯复赛）地震造成了很多堰塞湖，如图7.7b

所示，假设有一块立方体石块堵住了水的去路，设水的密度为。，石块的

质量为加，石块的左右侧面为正方形，边长为。，宽度为b,石块与地面

足够粗糙，不会滑动，水若能推倒石块，则石块的宽度b应该满足的条件

是（）图7.7

A.b<QB.b<Q

9ni2m

4

-ffpa

C.b<——D.b<——

3m4m

分析与解石块被推倒时，将绕图7.8中。点转动。当水的深度等于石块高度。时，石块最容

易被推倒，此时水对石块侧面的平均压强为A=pgT，水对石块侧里的

压力尸二月2=（pga3,考虑到压力的等效作用点距水底的距离为g水

的深度，则在能被推倒的情形下，应有尸=>Gp,解得人<皿，选

323m

项C正确。本题极易将二处作为压力的等效作用点，导致得出错误答案。

2

四、压强的变化问题

物体静止在水平面上时，对水平面的压强大小等于压力与受力面积的比值，由于物体对水平面

压力的大小等于物重，因此压强可以表示为p=£=巡，当$不变而压力变化了△尸时，固体对

SS

水平面压强的变化量为△r=—O

S

尸二£是压强的定义式，对固体、液体和气体都适用；尸二pg〃是由压强定义式推导出来的,

S

适用于计算液体内部的压强，同时也适用于计算柱状固体对水平地面的压强，可见对液体和柱状物

体，当液体或柱体的高度变化了△力时，柱体对接触面的压强变化量为=pgM。

同样多的水盛于不同形状的容器中，对容器的压力压强却不一定相同，液体对容器底部的压力

也不一定等于液体的重力。当液体对容器底部的压力等于液体所受重力大小时（一般是圆柱形容器

且容器内只有液体），可用尸二^来计算液体对容器底部的压强。

在处理液体压强变化的问题时，要灵活应用尸=pg。和尸二刍1这两个公式。

S

压强变化问题多是立方体问题和圆柱形容器内的液体问题。

例4甲、乙两个实心立方体分别放在水平地面上，它们对水平地面的压强相等，如图7.9所

示。贝“：

(1)甲、乙的密度关系是。甲乙

＜2)若将甲、乙两个立方体分别沿竖直方向截去厚度相等的部分，777777777T7777777777-

则两者对地面的压强舄、/的关系是。图79

(3)若在甲、乙两个立方体上分别放置一个质量相等的铜块，则它们对地面压强用口区的大

小关系是0

(4)若将甲、乙两个立方体分别沿水平方向截去高度相等的部分，则两者对地面的压强?；、P乙

的关系是。

△F

分析与解压强的变化有两个公式：△尸二——和△P=pg△力，本题要针对不同的问题选

s

择合适的公式。

(1)由甲、乙对水平地面的压强相等，可得外必即=4g,，由图可知偏〉/，则Ptl＜夕乙O

(2)将甲、乙分别沿竖直方向截去厚度相等的部分，由于柱体压强户=0g/z,竖直截去部分厚

度不会影响压强的大小，因此甲、乙对地面的压强不变，有舄=2。

(3)在甲、乙上分别放置一个质量相等的铜块时，、乙对地面的压力的增加量△尸相等，等于

△FAF

铜块重力的大小。则△%=—,△&=—,由于S甲〉S乙因此△用＜△2,乙的压强增加

较大，则有舄〈外。

(4)将甲、乙分别沿水平方向截去高度相等的部分，则甲、乙压强的减少量分别为

△%=外，2立，△粒=0乙尸刖，由于..，则可见甲压强减小的较少，因此剩余

部分的压强舄

例5(上海第30届大同杯初赛)如图7.10所示，底面积不同的柱状容器甲、乙分别盛有两

种液体，液体对容器底部的压强&V&,若要使两容器中的液体对容

器底部的压强相等，一定可行的方法是在()

A.甲中抽取、乙中倒入相同高度的原有液体

B.乙中抽取、甲中倒入相同高度的原有液体

C.甲、乙中同时抽取相同高度的原有液体

D.甲、乙中同时倒入相同高度的原有液体图7.10

分析与解由/〈七，结合h%>,，根据尸=Qg%,可得01〈夕乙。若在甲中抽取、乙中

倒人相同高度的原有液体，则外减小，2增大，为与2不可能相等，选项A错误。若在甲中倒

入、乙中抽取相同高度的原有液体，则%增大，眩减小，但存在一种可能，即甲中已经倒满时，昂

仍小于2,因此B项并不能保证一定可行，选项B错误。若在甲、乙中抽取相同高度的原有液体，

则外减小，2减小，由△P=〃g△儿可知甲和乙压强的减少量△%<△2,又初始时偏>屹，

因此可以假设抽取的高度等于色，则&减为零，而品大于零，因此，在抽取的高度适当的时候,

可以满足剩余液体对容器底部压强相等，选项C正确。若在甲、乙中同时倒入相同高度的原有液体，

则甲和乙压强的增加量△4</\生，因此更不会满足题意。本题正确选项为C。

练习题

1.（上海第16届大同杯初赛）室温下两个容积相同的烧瓶用密封细管相连,右边烧瓶内装满水，

左边烧瓶内充满空气，如图7.11所示“现将装置浸没在热水中，则气、液界面。点向哪个方向移动？

（）

A.向右B.向左C.不动D.无法确定

2.（上海第21届大同杯初赛）如图7.12所示，、乙两容器内盛有水，水对容器底部的压强分别

为％和％。当水温从80℃降低到2℃时，％和&的变化情况是（）

A.0变小，女不变B.4不变，也变小

C.4和女均变小D.0和女均不变

3.（上海第29届大同杯初赛）质量相等的甲、乙两个均匀实心正方体物块放在水平地面上，密

度关系是/^>只乙，当在甲、乙两物块上分别放重为&,G2的物体或分别施加竖直向上的力耳，F2

（片，鸟均小于物块重力）时，甲、乙两物块对水平地面的压强相等，则5与G2,丹与鸟的大

小关系是（）

A.G[>G、，F、>F、B.G>G,,£<居

C.G[vG?,F、<F?D.<G2>F]>F2

4.（上海第29届大同杯初赛）一根两端开口的细玻璃管竖直插入水银槽内，再注入高度为"的

某种液柱，结果使管内水银面下降了如果水银密度为外，则该液体密度为（)

A.2o（4+用）B-华1C.用1D.4（九一4）

%%

5.（上海第29届大同杯初赛）如图7.13所示在两个底面积不同的圆柱形容器A和B（〃>$2）

内分别盛有甲、乙两种液体，甲的液面低于乙的液面，此时两液体对各自容器底部的压强恰好相等。

若容器足够高，并在两容器中同时倒入或同时抽出各自适量的液体，最终使得两液体对各自容器底

部的压力相等，下列说法中正确的是（）

A.倒入的液体体积%可能等于%B.倒入的液体高度牖一定大于心

C.抽出的液体体积%可能小于吃D.抽出的液体高度%一定等于生

6.（上海第28届大同杯初赛）如图7.14所示两端开口的。形管中充满水，A,B两端开口处

均用手指堵住，若同时松开手指，则（）

A.只有水从A端流出B.只有水从B端流出

C.4，8两端同时有水流出D.A,B两端都没有水流出

图7.13

7.（上海第17届大同杯初赛）如图7.15所示，a,b是两个不同的实心圆柱体，其中〃的高

度小于b,。的底面积大于力，而它们对地面的压强正好相等，则下列判断正确的是（）

A.因为。的高度比较小,所以。的密度大

B.因为。的质量比较大,所以。的密度大

C.因为4的底面比较大,所以4的密度小

D.因为。的体积比较大,所以〃的密度小

8.（上海第28届大同杯初赛）如图7.16所示，均匀圆柱体甲和盛有液体乙的圆柱形容器放置

在水平地面上，甲、乙质量相等。现沿水平方向切去部分甲并从容器中

抽取部分乙后，甲对地面的压强小于乙对容器底部的压强，若甲、乙剩

余部分的体积分别是％,力，则（）

A.%可能等于LB.%可能大于勿

C.〜一定大于％D.%一定小于吃

9.（上海第26届大同杯初赛）如图7.17所示质量分布均匀的甲、乙两个实心正方体放置在水

平地面上，它们对地面的压强相同。若要使甲对地面的压强比乙大，下列做法中正确的是（

A.沿竖直方向切夫相同的体积R.沿竖直方向切夫相同的厚度

C.沿水平方向切去相同的质量D.沿水平方向切去相司的体积

10.（上海第25届大同杯初赛）如图7.18所示，于水平桌面上的一个密闭的圆锥形容器内装满

了重力为G的某种液体。已知圆锥形容器的容积公式为丫二空二，其中R,力分别为容器的底面

3

半径和高，则容器内的液体对容器侧面的压力大小为（）

A.GB.2GC.3GD.0

11.（上海第20届大同杯初赛）如图7.19所示，通器左端试管横截面的半径为2R,右端试管

横截面的半径为R。左、右水面的高度分别为"和。那么打开开关K后，右管水面能够上升

2

到距离底部的最大高度为（）

A.1.5/7B.1.3/7C.1.1”D.0.9”

12.（上海第13届大同杯初赛）如图7.20所示容器重为G，放在水平面上，容器内盛有重为G2

的液体，若用乂表示容器对桌面的压力，名表示液体对容器底的压力，则乂和义2应满足（）

A.$=G、+G2，N、=G>B.N、>G、+G、，M>G）

C.N[vG]+G2,N2=G2D.N]=G]+G?,G?

13.（上海第10届大同杯初赛）如图7.21所示，某密闭容器内盛有一部分水，如图所示位置时,

水对底部压强为P，水对底部压力为F。当把容器倒置放在桌面上时（

A.P增大，尸减小B.P增大，”增大

D.P减小,F减小

容器底的半径为厂。如果液体对

侧壁的压力等于对容器底部的压力，那么〃：/•为（)

A.1:1B.1:2C.2:1D.-：1

2

15.（上海第17届大同杯初赛）“纳米”是长度单位之一，符号为“nm"，且hn=»宿。

纳米技术是以0.1~100nm的尺度为研究对象的前沿科学，目前我国在这方面的研究已跻身世界前

列，已知我国研制成的碳纳米管的强度（单位面积能承受的最大拉力）是钢的100倍，而碳纳米管

的密度仅为钢的1/6,假设有两根同样粗细的细绳，一根由碳纳米管制成，一根由钢管制成，将它

们分别在地面附近竖直悬挂起来，则它们能承受自身重力而不断裂时的最大长度之比4怵：L铜为

（）

A.600:1B.3600:1C.100:6D.100:1

16.（上海第23届大同杯初赛）图7.23是一个足够长、细均匀的U形管，先从A端注入密度

为必的液体，再从B端注入密度为4、长度为/的液柱，平衡时左右两管的液面高度差为;.现再

从月端注密度为々的液体，且々要使左右两管的液面等高，则注入的液柱长度为（）

213/4/,

A.—B.—C.—D./

345

17.（上海第13届大同杯初赛）如图7.24所示，轻质薄片刚要脱落，若水的密度为2。，则油

的密度是（）

A."B.△

23

C.乌D,无法确定，因横截面积不知

18.（上海第29屈大同杯复赛）如图7.25所示，一个足够长的两端开口的U形管内装着水银，

U形管左管横截面积为6.55?,右管横截面积为15cm2.将800g水缓慢灌入U形管左管，平衡后

在水和水银面的交界处液体产生的压强大小为Pa,U形管右管水银面高度上升了

_______cm.

19.血管变细是“高血压”发病的诱因之一。为研究这一问题，我们可做一些简化和假设：设血

液通过一定长度血管时受到的阻力/与血液流速y成正比，即/=H（其中人与血管粗细无关），

为维持血液匀速流动，在这血管两端需要有一定的压强差。设血管内径为4时所需的压强差为△〃,

当血管内径减为4时，为了维持在相同时间内流过同样多的血液，此时血液的流速是原来的

倍；血管两端的压强差必须变为原来的倍。

20.（上海第22届大同杯复赛）图7.26所示为一种水闸，闸门的底

部与较轴。相连，厚度不计的闸门高为“、宽为a。A8为一根不计质

量的杆，A端通过钱链与闸门相连，B端通过较链与地面相连杆AB与

地面成60°角，A端距离地面高为力。已知水的密度为p,试求杆AB对

闸门的作用力。图7.26

参考答案

1.Bo装置浸没在热水中时，水和空气温度都升高水是液体，比气体难压缩得多，所以在水和

空气都有膨胀趋势的情况下，水将向左压缩气体，。点左移。

2.Bo设容器底面积为s,液体密度为夕，深度为h,则液体对容器底部的压强为〃=0g〃，

液体对容器底部的压力尸=尸5=夕即力，考虑到就恰为底面积为5、高为〃的圆柱体的体积，因此

液体对容器底部的压力大小，等于以容器底s为底面积、以液体深度力为高的圆柱形“液柱”所受

到的重力，当然，由于容器形状未必是柱形，因此液体对容器底部压力不一定等于液体重力。考虑

到甲、乙两容器，由于甲为圆柱形容器，因此甲液体对底部压力大小始终等于甲液体重力。乙容器

在降温时，高度下降，其所对应的“漫柱”体积减小，液体对容器底部压力减小。选项B正确。

3.Do由甲、乙质量相同，而乙，则可知甲的边长较小，即$甲＜$乙，易知用＞7^。在

甲、乙上方放置重物时，甲、乙对地面的压强均增加，当舄=/时，显然有△昂＜△&,则

G=A0“，G?=bP炉乙,可得GvG2。若对甲、乙分别施加竖直向上的力，使得舄=/，显

然此时甲对地面的压力小于乙对地面的压力，由于两者原来质量相同，因此£＞巴,选项D正确.

4.Bo注入高度为4的液柱后，设液柱密度为。，管内外液体在分界面处压强相等，则有

Pg%=M）g%，解得。=华。

5.Co由于甲、乙液体对容器底部压强相等，可得启门＞任乙，再由〃＜$8,可得甲、乙对液

体底部压力外＞"。若倒入的液体体积%=吃，则甲增加的质量多，甲对容器底部的压力大，

选项A错误；若倒入的液体高度心大于色，同样是甲对容器底部压力增加得多，选项B错误；当

抽取液体时，由于甲液体密度较大，因此抽取较小的体积时，抽取的质量也可能大于乙，从而最终

剩余液体质量相同，选项C正确，选项D错误。

6.Bo手指移开后，A端压强等于大气压强，而B端压强等于大气压强加上A,B间竖直高

度的水产生的压强，因此水会从B端流出，而空气从A端进入管内，选项B正确。

7.Ao提示：根据圆柱体对水平地面的压强公式P=可知压强相同时柱体高度越小，密

度越大。

8.Do由图7.16可知，甲的体积较小，因此夕乙。水平切去一部分甲并抽取部分乙后，

兄<2，考虑到S甲〈生，因此两者剩余部分质量也礼<吆，结合外「乙，可知剩余部分体积%

一定小于%,选项D正确。

9.CDo竖直切不会改变甲、乙对地面的压强选项AB错误。甲、乙原来对地面压强相同，而

甲底面积较大，当两者水平切去相同质量时，甲压强减小得较少，甲剩余部分对地面的压强大于乙，

选项C正确。由题易知甲的密度小于乙两者水平切去相同体积时，甲切去的质量较小，亦能得出选

项D正确。

10.Bo液体对圆锥底面的压强2=28〃，圆锥底面受到的液体压力f=Ps=0g〃•兀R2,圆

锥容器内液体重力G=pVg=-，可见F=3Go取液体为研究对象，整个液体应受重力G,

圆锥底面对液体的支持力大小为3G,因此容器侧面对液体的作用力应竖直向下，大小为2G,由作

用力和反作用力的知识可知，液体对容器侧面的压力大小为2G,方向竖直向上。

11.Bo不考虑机械能损失，打开开关之前水的重力势能等于右管水面上升到最高时的重力势能

（此时水柱速度为零）。设水的密度为P，打开开关之前，水的重力势能表示为

虱2炉碍R*J打开开关，右管达到的最大高度设为x,由于水的总体

积为丫=兀（27?）2"+成20，则左管水面高度为£二上三萼=孚-1故此时水的重力势能

、）2Tt（2R）-84

为"2='兀（2/?）2/方+外兀叱工e,结合%=%，解得X=L3HC

12.D。结合练习题2的解答过程，液体对容器底部的压力大小等于以容器底s为底面积、以液

体深度〃为高的圆柱形“液柱”所受到的重力，显然这个“液柱”比容器中水的体积要大，因此液

体对容器底部的压力N2大于容器中液体重力G2；容器底部对桌面的压力N1等于容器重力G、与液

体重力G2之和。

13.Ao提示：比较练习题12所作的“液柱与实际水的体积关系可知，容器倒置前，水对容器

底部的压力大于水的重力，倒置后，水对容器底部的压力小于水的重力，可知尸变小；倒置后水的

深度增加，水对容器底部的压强P增大。

14.A。水对侧壁的平均压强，等于一半深度处的压强，即A=侧壁面积瓦=2兀仍，

因此水对侧壁的压力耳=凡\=p部种,液体对容器底部的压力F2=Ps2=pgh7u匕若F1=F2,

显然有h:r=\A（＞

15.A。取横截面积均为s的钢丝和碳纳米管，设它们所能承受的最大长度分别为L钢和包米，

密度分别为「钢和夕纳米，单位面积的最大承受力分别为乙）和！米，则时=。峨“且,同理