理论力学课件-动力学

第三篇动力学1.研究对象：运动与受力之间的关系。不变质点系：刚体可变质点系：运动机构、流体3.内容：质点动力学、质点系动力学2.力学模型：质点质点系1

4.方法：质点运动微分方程（动量定理、动量矩定理、动能定理、)动静法5.虚位移原理动力学普遍定理2第九章质点动力学基本方程1.动力学基本定律2.质点运动微分方程3一.动力学基本定律1.牛一定律（惯性定律）质点若不受力的作用，将保持其原静止或匀速直线运动状态。*、惯性；合力为零；力是改变运动状态的原因。

42.牛二定律（力与加速度关系定律）

F=ma(质点动力学基本方程）讨论：（1）若m不变：

F=0，a=0;

F=常量，

a=常量;

F=变量，a=变量;（2）若

F

不变：m增大，a减小，不易改变运动状态，惯性大；m减小，a增大，容易改变运动状态，惯性小；质量m是质点惯性大小的度量。（3）质量与重量的关系：（设真空中,质量m,g）G=mg

m=G/g53.牛三定律（作用与反作用定律）

*、(1)以质点为研究对象(2)适用于惯性系（相对地面静止或作匀速直线平动的参考系）(3)矢量性和瞬时性二.质点运动微分方程

6

利用合矢量投影定理,可以在直角坐标系,自然坐标系及其他坐标系中建立投影方程.1.质点运动微分方程在直角坐标系上的投影

Fz

Fy

Fxz72.质点运动微分方程在自然坐标系上的投影质点动力学的问题分为两类:一是已知运动求力;二是已知力求运动.

8例题1.曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度

转动,OA=AB=r.滑块B的运动方程为x=2rcos

如滑块B的质量为m，摩擦及连杆AB的质量不计.求当

=

t=0时连杆AB所受的力.OAB

9解:取滑块B为研究对象，进行运动分析和

受力分析。

（由于杆的质量不计,AB为二力杆且受平衡力系作用.）BNmgF

x=2rcos

=

tax=-2r

2cos

max=-Fcos

F=2mr

210例题2.滑轮系统如图所示.已知m1=4kg,m2=1kg和m3=2kg.滑轮和绳的质量及摩擦均不计.求三个物体的加速度.(g=10m/s2)OCm1m2m311解:建立图示坐标.x1+xC

=c1(x2-xC

)+(x3-xC

)=c2OCm1m2m3xT1T2T3m1gm2gm3g12解上述方程组得:oT1''TcTccT2'T3'Fo13例题3：细绳长为l,上端固定在O点，下端系一质量为m的小球,在铅垂面内作微幅摆动。初时，绳的偏角为

o,小球无初速释放。求：绳微小摆动时的运动规律。解：取小球为研究对象，进行运动受力分析，如图。FV

F

=ma

,-mgsin=

mdv/dt

ml

dv/dt=l

"sin=•

"+mg=0令K=g/l,

2"+k=02此方程的通解为:

=Acos(kt+)t=0时=o，V=Vo=(l)o'=o

=-Aksin

o=Acos'=0联立求解得：A=

o,=0微小摆动的运动方程为：

=

ocos(kt)ol

o

nmgF14例题4.质量为m的质点在力F

=acos

t

i+bsin

t

j作用下运动,其中a,b与均为常数,在初瞬时质点位于原点且初速度为零.求在瞬时t,(1)质点的位置;(2)质点的速度.解:Fx=acos

tFy

=bsin

t

mdvx

/dt

=(acos

t)m

vx=a

sin

tmdvx=(acos

t)dtoyxF15同理可以积得:

dx/dt=am

sint16例题5.

水平面上放一质量为M

的三棱柱A

其上放一质量为m

的物块B,设各接触面都是光滑的.当三棱柱A具有图示的加速度ae时,讨论滑块下滑的加速度及与斜面间的相互作用力.BA

ae17解:

取物块B为研究对象.B

aemgNarm(ar+aecos

)=mgsin

(1)maesin

=N-mgcos

(2)联立(1)(2)式解得:ar=gsin

-aecos

N=m(gcos

+aesin

)讨论:(1)当ae=gtg

时ar=0;N=mg/cos(2)当ae

gtg

时ar0.(3)当ae=-gctg

时ar=g/sin,N=0;am=g此时m即将与斜面脱离而成为自由体.18例题：质量为1kg的重物M，系于长度为l=0.3m的线上，线的另一端固定于天花板上的O点，重物在水平面内作匀速圆周运动而使悬线成圆锥面的母线，且悬线与铅垂线间的夹角恒为600。试求重物运动的速度和线上张力600lrz19vmgFT600lrbτnz解：选重物M为研究对象M上的力有重力mg及悬线的拉力FT

，同在悬线OM与轴Oz所构成的平面内。20vmgFT600lrbτnz21vmgFT600lrbτnz22已知:匀速转动

时小球掉下。求:转速n.

例9-4粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n

。23解：研究铁球已知:匀速转动。

时小球掉下。求:转速n.24总结动力学的基本定律

(1)第一定律——惯性定律

(2)第二定律——力和加速度之间的关系定律

(3)第三定律——作用与反作用定律25总结(2)质点运动微分方程的自然坐标轴形式2.质点运动微分方程

(1)质点运动微分方程的直角坐标轴投影形式

3.质点动力学的两类基本问题

第一类问题-----已知质点的运动，求作用在质点上的力；第二类问题-----已知作用在质点上的力，求质点的运动规律。26总结4.求解质点动力学问题的步骤：（1）根据题意确定研究对象，选择恰当的坐标系；（2）分析研究对象的受力情况，作受力图；（3）分析研究对象的运动情况；（4）列出质点的动力学基本方程，然后求解；如是第二类问题，还需根据初始条件确定积分常数。27作业

9-29-1228例题：电梯以加速度a上升，在电梯地板上，放有质量为m的重物。求重物对地板的压力。a解：取重物为研究对象进行受力分析与运动分析。Nmg

Fy=mayN-mg=maN=mg+ma=N'（静约束力；附加动约束力）讨论：若加速度方向向下则N=mg-ma=N'(1)a=g时，N'=0；(2)a>g时，重物离底。29例题：汽车质量为m,以匀速V驶过拱桥，桥顶点的曲率

半径为R。求车对桥顶的压力。解：取汽车为研究对象，进行运动、受力分析如图。mgNann

Fn=man,mg-N=mv2/RN=mg-mv

2/R=N'

an=V2/R=g时，N'=0an=V2飞车。

/R>g时，301.基本概念

2.质点的动量定理

3.质点系的动量定理

4.质心运动定理第十章动量定理31一、基本概念：

1、质心：mircrio

miri=mrc

rc=

mirim静力学中，重心的矢径：

rc=

mirim重力场中（地面附近）：质心=重心上式投影到坐标轴上：xc=

mixim2、动量：(1)质点的动量p=mV(2)质点系的动量p=

miVi

rc=

mirim''

mvc=

mivi

p=

miVi=mvcc

=mVc323、冲量:I

=F

tdI=F

dt33例1：圆轮质量为m,半径为R，以角速度

沿地面作纯滚动。求：圆轮的动量。coVc

解：O点为瞬心。质心的速度为Vc=R

动量P=mR

()34二、质点的动量定理:微分形式:dP/dt=mdv/dt=ma=F即：dP/dt=F*、守恒定理:若

F=0则P=c

(恒矢量)若Fx=0则Px

=c

(恒量)积分形式:上式向坐标轴投影：dPx/dt=Fx35三、质点系动量定理:设质点系有n个质点,第i个质点的质量为mi速度为vi;外界物体对该质点作用的外力为Fi(e),质点系内其它质点对该质点作用的内力为Fi(i).则有:FR(i)=

Fi(i)=0dPi/dt=Fi(e)

+

Fi(i)

dP/dt

=

Fi

(e)=FR(e)（微分形式）P2-P1=I(e)（积分形式）

36

应用合矢量投影定理可将上两式投影到任一轴上.若FR(e)=0则P

=c

(恒矢量)若

Fx(e)=0则Px

=c

(恒量)由上述可知:内力的主矢FR(i)=

Fi(i)=0即内力对质点系的动量无影响;而外力的主矢则影响质点系动量,即影响质心速度的变化.*.守恒定理:37

四.质心运动定理(1)运动定理:M

ac=FR(e)

(2)守恒定理:

若FR(e)=0则vc

=c

(恒矢量),vco

=o,rc=恒矢量若

F(e)x=0则vcx

=c

(恒量),vcxo=

0,xc

=恒量

dp/dt=d(

miVi)/dt=d(MVc

)/dt=

midVi/dt=MdVc

/dt=

miai=

Mac

=FR(e)38例题2.图示椭圆规尺AB的质量为2m1,曲柄OC的质量为m1,而滑块A和B的质量均为m2.已知OC=AC=CB=l,曲柄和尺的质心分别在其中点上,曲柄绕O轴转动的角速度

为常量.求图示瞬时系统的动量.OB

CA

t39解:系统由四个物体组成.滑块A和B的质心与椭圆规尺AB的质心C总是重合在一起,而AB作平面运动.瞬心为I.OB

CA

tIIC=OC=lvCvDOA杆作定轴转动D为质心.D=2(m1+m2)l

P=(2.5m1+2m2)l

40例题3.小车重W1=2kN,车上有一装沙的箱重W2=1kN,以3.5km/h的速度在光滑直线轨道上匀速行驶.今有一重W3=0.5kN的物体铅垂落入沙箱中,如图.求此后小车的速度.又设重物落人沙箱后,沙箱在小车上滑动0.2s后,始与车面相对静止,求车面与箱底间相互作用的摩擦力.41解:取小车,沙箱和重物组成的系统为研究对象

F(e)x=0Px

=Px0

设重物落入后小车最后具有的速度为vv0=3.5km/h解得:v=3km/hN1N2WW342取小车为研究对象.N1N2P2x

-P1x=I(e)xF=0.14kNW1FN43例题4.均质杆AD

和BD长为l质量分别为6m和4m,铰接如图.开始时维持在铅垂面内静止.设地面光滑,两杆被释放后将分开倒向地面.求D点落地时偏移多少.ABD60

(系统的质心的x坐标守衡.沿y方向运动)44ABD60

解:取AD和BD组成的系统为研究对象.C1和C2分别为AD杆和BD杆的质心.C为系统的质心.C1C2=0.5l=0.2l取过质心C的铅垂轴为y轴建立坐标如图.C1C2CxyOxD0=0.25l-0.2l=0.05lxD045画系统受力图.ABD60

C1C2CxyO6mg4mg已知vc0

=0则vcx

=0

由于

F(e)x=0则vcx

=c

系统的质心沿y轴作直线运动.当D点落地时C点应与O点重合.N1N246画系统完全落地时的位置图.ABDOC1C2(C)=0.4lxD

=0.5l-0.4l=0.1l

x

=xD

-xD0=0.1l-0.05l

=0.05l

xy47例题5.图示质量为m半径为R的均质半圆形板,受力偶M作用,在铅垂面内绕O轴转动,转动的角速度为

,角加速度为.C点为半圆板的质心,当OC与水平线成任意角

时,求此瞬时轴O的约束反力.(OC=4R/3

)

COM

48

COM

aCnaC

解:取半圆板为研究对象.49

COM

aCnaC

画受力图.XO=maCxYO-mg=maCyXOYOmg应用质心运动定理50

例10-1电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的质量为,转子质量为.定子和机壳质心,转子质心,,角速度为常量.求基础的水平及铅直约束力.51得解:由52方向:动约束力-静约束力=附加动约束力本题的附加动约束力为方向:

电机不转时,,称静约束力;电机转动时的约束力称动约束力,上面给出的是动约束力.53

例11-5均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用以不变的角速度ω转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D,如图所示.滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点C

.在活塞上作用一恒力F.

不计摩擦及滑块B的质量,求:作用在曲柄轴A处的最大水平约束力Fx

.54显然,最大水平约束力为应用质心运动定理,解得解:如图所示55求:电机外壳的运动.

例10-6地面水平,光滑,已知,,,初始静止,

常量.(系统的质心的x坐标守衡.)56解:设由

,得57总结质点系的动量

3.质心运动定理

2.质点系的动量定理P2-P1=I(e)（积分形式）

（微分形式）

M

a

c=

F

(e)58总结4.应用动量定理、质心运动定理解题的步骤：（1）根据题意确定恰当的质点系为研究对象；（2）分析研究对象的受力情况，作受力图；（3）分析研究对象的运动情况；（质心的运动，动量）（4）列出动量定理、质心运动定理，然后求解；59阅读材料和作业阅读材料(1)P245---P255作业(1)10---2;10---7;预习内容P259---P27860再见61例题.质量均为m的小球A和B置于光滑水平面上,用长为l的细绳相连.开始时给球B一初速度v,如图所示.求AB连线再次处于与初始位置平行时,AB连线平移的距离.vAB（系统的动量守衡。）62vAB解:取小球A和B组成的系统为研究对象.

由于FR(e)=0则P

=c

即质心的速度为恒矢量.

(m+m)vc

=mvvc=0.5v即系统的质心作匀速直线运动.系统作平面运动.vB=vC+vBC

vBC=0.5vvA=vC+vACvAC=-0.5vvACvBCC63计算系统的角速度.vBC=0.5l

=0.5v

=v/l

T=2

/=2

l/v当AB

连线再次处于与初始位置平行时,质心运动时间为半个周期s=vC

t=0.5v(

l/v)=0.5

lvABvACvBCC64例题.在图示系统中,均质杆OA、AB与均质轮的质量均为m,OA杆的长度为l1,AB杆的长度为l2,轮的半径为