数学课后导练：33排序不等式

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1若A=x12+x22+…+xn2,B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1,其中x1，x2,…,xn都是正数,则A与B的大小关系是（）A。A〉BB。A<BC。A≥BD。A≤B解析：依序列｛xn｝的各项都是正数，不妨设x1≤x2≤…≤xn，则x2,x3,…,xn,x1为序列{xn｝的一个排列.依排序原理，得x1x1+x2x2+…+xnxn≥x1x2+x2x3+…+xnx1，即x12+x22+…+xn2≥x1x2+x2x3+…+xnx1。答案:C2设a，b都是正数，P=（）2+（)2,Q=+,则(）A。P≥QB。P≤QC.P〉QD.P〈Q解析:∵a，b都是正数,∴与,顺序相同.∴·+·≥·+·。∴（)2+（）2≥+,即P≥Q。答案:A3设a，b，c∈R，则____________a+b+c。解析:设a≥b≥c≥0，则bc≤ca≤ab,≤≤，∴≥ac·++=a+b+c.答案:≥4若△ABC的三内角为A,B,C，三边为a,b,c,则___________.解析：设a≤b≤c,A≤B≤C。作序列a,a，a,b,b，b，c,c,c，A，A,A,B,B,B,C,C，C。aA+aA+aA+bB+bB+bB+cC+cC+cC≥（aA+aB+aC)+(bA+bB+bC)+(cA+cB+cC）,∴3（aA+bB+cC）≥(a+b+c）（A+B+C），即≥=.答案:≥5设a,b，c∈R，求证:aabbcc≥(abc)。证明:∵a,b，c∈R,∴lg（aabbcc）=alga+blgb+clgc,lg(abc）=（lga+lgb+lgc).设a≤b≤c,作序列a,a，a，b,b，b，c,c,c，lga,lga,lga，lgb，lgb，lgb，lgc,lgc,lgc.3(alga+blgb+clgc）≥a（lga+lgb+lgc）+b(lga+lgb+lgc）+c（lga+lgb+lgc),即alga+blgb+clgc≥（lga+lgb+lgc)，∴aabbcc≥（abc)。综合运用6设a，b，c是某三角形的三边长，证明a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2证明：不妨设a≥b≥c，此时a(b+c-a）≤b（c+a—b)≤c(a+b—c），于是由排序不等式可得·a(b+c—a）+·b(c+a-b)+·c(a+b-c）≤·a(b+c—a)+·b·(c+a-b）+·c（a+b—c）=a+b+c,即a（b-a）+b(c-b）+c（a—c)≤0,a2b(a-b）+b2c(b—c)+c2上式当且仅当==，或者a（b+c—a）=b(c+a—b）=c(a+b—c)，即a=b=c时取等号。7已知a1,a2,…,an是n个两两互不相等的正整数,求证:a1+.证明：注意到，所以可以看作一个乱序和,将a1，a2，…,an排序后就可以利用排序原理.因为a1，a2，…，an是n个两两互不相等的正整数，可将它们从小到大排列，不妨设b1<b2<…〈bn，从而bk≥k（k为正整数),由排序不等式可得≥b1+8设xi，yi是实数(i=1，2,…，n）,且x1≥x2≥…≥xn，y1≥y2≥…≥yn，又z1，z2，…，zn是y1,y2,…,yn的任一排列，证明。证明：由排序不等式，得，则.又∵，∴，即.拓展探究9若α,β，γ均为锐角,且满足cos2α+cos2β+cos2γ=1,求证:cot2α+cot2β+cot2γ≥.证明：∵cos2α+cos2β+cos2γ=1，cos2α=1—sin2α,∴sin2α+sin2β+sinγ=2。又sinα2+cos2α=1，∴1+cot2α=。∴3+cot2α+cot2β+cot2γ=，（sin2α+sin2β+sin2γ)(）≥［sinα·]2=9，即2·()≥9(柯西不等式)。∴3+cot2α+cot2β+cot2γ≥。∴cot2α+cot2β+cot2γ≥.备选习题10设a,b,c是某三角形的三边长,证明a2(b+c-a）+b2(c+a-b）+c2（a+b-c)≤3abc。证明：不妨设a≥b≥c，容易验证a（b+c—a）≤b(c+a-b）≤c（a+b—c），由排序不等式可得a2（b+c—a）+b2（c+a-b）+c2(a+b—c）≤ba（b+c—a）+cb（c+a-b）+ac(a+b—c），①及a2（b+c-a)+b2（c+a—b)+c2（a+b—c)≤ca(b+c-a）+ab(c+a—b)+bc（a+b-c）,②①+②并化简即得a2(b+c—a）+b2（c+a—b）+c2(a+b-c）≤3abc.11设a,b,c均为正数，求证：a+b+c≤。证明：不妨设a≥b≥c〉0,则有a2≥b2≥c2，ab≥ac≥bc,由排序不等式得a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a又a3≥b3≥c3且a≥b≥c，再由排序不等式得a3c+b3a+c3b≤a4+b4+c从而a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c412设ak是两两互异的自然数(k=1,2,…），证明对任意自然数n,均有。证明：设b1,b2，…,bn是a1,a2，…，an的一个排列,使b1<b2〈…<bn,则从条件知对每个1≤k≤n,bk≥k，于是由排序不等式可得.13已知xi∈R（i=1,2，…,n；n≥2）满足=1，=0,求证：｜≤—。证明：设i1，i2,…,is，j1,j2,…,jt是1，2,…，n的一个排列,且使得.又设a=，b=-()，根据已知条件，有a—b=0,a+b=1，所以