高考数学一轮复习专练73二项分布与超几何分布

七十三二项分布与超几何分布(时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)已知5件产品中有2件次品,3件正品,检验员从中随机抽取2件进行检测,记取到的正品数为ξ,则均值E(ξ)= ()A.45 B.910 C.1 D【解析】选D.ξ的所有可能取值为0,1,2,则P(ξ=0)=C22C52=110,P(P(ξ=2)=C32C52=310,则E(ξ)=0×1102.(5分)(2023·昆明模拟)袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是 ()A.25 B.35 C.18125 【解析】选D.每次抽到黄球的概率为35,所以3次中恰有2次抽到黄球的概率P=C32(35)2(3.(5分)(2023·佛山模拟)已知随机变量X~B(n,p),且E(X)=4,D(X)=2,则P(X=1)=()A.123 B.124 C.【解析】选C.随机变量X~B(n,p),且E(X)=4,D(X)=2,则np=4,np(1-p)=2,解得n故P(X=1)=C81(12)1(114.(5分)(2023·泉州模拟)甲、乙两位选手进行乒乓球比赛,5局3胜制,每局甲赢的概率是23,乙赢的概率是13,则甲以3∶1获胜的概率是 (A.827 B.427 C.49 【解析】选A.由题意知,甲以3∶1获胜是指前3局比赛中甲2胜1负,第4局比赛甲胜,所以甲以3∶1获胜的概率是P=C32×(23)2×13×5.(5分)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回地摸取5次,设摸得的白球数为X,已知E(X)=3,则D(X)= ()A.85 B.65 C.43 【解析】选B.由题意,知X~B(5,3m+3),所以E(X)=5×3m+3=3,解得m=2,所以X~B(5,35),所以D(X)=5×35×(6.(5分)(多选题)(2023·张家口模拟)袋子中有2个黑球,1个白球,现从袋子中有放回地随机取球4次,取到白球记0分,黑球记1分,记4次取球的总分数为X,则()A.X~B(4,23) B.P(X=2)=C.E(X)=83 D.D(X)=【解析】选ACD.从袋子中有放回地随机取球4次,则每次取球互不影响,并且每次取到黑球的概率相等,又取到黑球记1分,取4次球的总分数,即为取到黑球的个数,所以随机变量X服从二项分布,即X~B(4,23),故A正确;P(X=2)=C42(23)2(13)2=827,故B错误;因为X~B(4,23),所以E(X)=4×23=83,故C正确;D(X7.(5分)在某“猜羊”游戏中,一只羊随机躲在两扇门后,选手选择其中一扇门并打开,如果这只羊就在该门后,则为猜对;否则,为猜错.已知一位选手有4次“猜羊”机会,若至少猜对2次才能获奖,则该选手获奖的概率为________.

【解析】由题意可知一位选手获得了4次“猜羊”机会,则猜对的次数X~B(4,12),因为至少猜对2次才能获奖,所以该选手获奖的概率为P=1P(X=0)P(X=1)=1C40(12)4C41×12×(答案:118.(5分)一袋中有除颜色不同,其他都相同的2个白球,2个黄球,1个红球,从中任意取出3个球,有黄球的概率是________,若ξ表示取到黄球的个数,则E(ξ)=________.

【解析】一袋中有除颜色不同,其他都相同的2个白球,2个黄球,1个红球,从中任意取出3个球,样本点总数n=C5其中有黄球包含的样本点个数m=C22C31+C21ξ表示取到黄球的个数,则ξ的所有可能取值为0,1,2,P(ξ=0)=C33C53=110,P(ξ=1)=C21C32C53=610,P(ξ=2)=C2答案:9109.(10分)为普及空间站相关知识,某部门组织了空间站模拟编程闯关活动,它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是:编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程,全部结束后提交评委测试,若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中,甲只能正确完成其中6个,乙正确完成每个程序的概率均为35,每位选手每次编程都互不影响(1)求乙闯关成功的概率;(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和均值,并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.【解析】(1)乙正确完成2个程序或者3个程序即为闯关成功,记乙闯关成功为事件A,则P(A)=C32(35)2×25+((2)由题意知,随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C43C103=130,P(X=1)=C61C42C103=310,P故X的分布列为X0123P1311所以E(X)=0×130+1×310+2×12+3×1所以甲闯关成功的概率为12+16=23,因为81125<【能力提升练】10.(5分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落的过程中,将3次遇到障碍物,最后落入A袋或B袋中.已知小球每次遇到障碍物时,向左、右两边下落的概率都是12,则小球落入A袋中的概率为(A.14 B.12 C.34 【解析】选C.由于小球每次遇到障碍物时,有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下落时,小球将落入A袋,所以P(A)=C31(12)1(112)2+C32(111.(5分)(2023·宁波模拟)一个袋中放有大小、形状均相同的小球,其中有1个红球、2个黑球,现随机等可能地取出小球.当有放回地依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1;当无放回地依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ2,则 ()A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)【解析】选B.依题意知,ξ1的所有可能取值为0,1,2,ξ1~B(2,13),所以E(ξ1)=2×13=23,D(ξ1)=2×13×ξ2的所有可能取值为0,1,P(ξ2=0)=23×12=13,P(ξ2=1)=23×12+13×22=23,所以E(ξ2)=0×13+1×23=23,D(ξ2)=(023)2×13+(123)2×23=29.所以E(ξ1)=12.(5分)(2023·天津模拟)欲从4名男志愿者,3名女志愿者中随机抽取3人成为志愿者小组去完成某项服务,则在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下,“抽取的3人全是男志愿者”的概率是________;若用X表示抽取的三人中女志愿者的人数,则E(X)=________.

【解析】记全是男志愿者为事件A,至少有一名男志愿者为事件B,则P(AB)=P(A)=C43C73=435,P(B)=1C33C73=3435,故P(A|B)=P(AB)P(B)=由题意可知,X服从超几何分布,E(X)=3×37=9答案:21713.(10分)羽毛球比赛的计分规则:采用21分制,即双方分数先达21分者胜,3局2胜.每回合中,取胜的一方加1分.每局中一方先得21分且领先至少2分即算该局获胜,否则继续比赛;若双方打成29平后,一方领先1分,即算该局取胜.某次羽毛球比赛中,甲选手在每回合中得分的概率为34,乙选手在每回合中得分的概率为1(1)在一局比赛中,若甲、乙两名选手的得分均为18分,求再经过4回合比赛甲获胜的概率;(2)在一局比赛中,记前4回合比赛甲选手得分为X,求X的分布列及数学期望E(X).【解析】(1)记“再经过4回合比赛甲获胜”为事件A,可知甲在第4回合胜,前3回合胜2回合,所以P(A)=34×C32×(34)2×(2)易知X的可能取值为0,1,2,3,4,且X~B(4,34)P(X=0)=C40×(14)4P(X=1)=C41×34×(14)P(X=2)=C42×(34)2×(14)P(X=3)=C43×(34)3×1P(X=4)=C44×(34)4所以X的分布列为X01234P13272781数学期望E(X)=4×34=314.(10分)某学校举行“百科知识”竞赛,分两轮进行,第一轮需要从给定的5道题中选3道进行回答,答对一道得3分,答错一道扣1分,第二轮需要回答3道问题,答对一道得5分,答错不得分.选手甲在第一轮的5道题中只能答对其中2道,第二轮的3道题中答对任意一道的概率均为25.假设选手甲两轮比赛的答题结果是相互独立的(1)求选手甲两轮比赛的得分相等的概率;(2)记选手甲两轮比赛的得分分别为X和Y,试比较X,Y的数学期望的大小.【解析】(1)选手甲第一轮比赛所选的3道题答对的道数可能为0,1,2,得分分别为3,1,5.选手甲第二轮比赛需要回答的3道题中答对的道数可能为0,1,2,3,得分分别为0,5,10,15.选手甲两轮比赛的得分相等即甲在第一轮比赛答对2道且在第二轮比赛答对1道,其概率为C22C31C53×C31(2)选手甲第一轮比赛的得分X的可能取值为3,1,5,P(X=3)=C33C53=110,P(X=1)=C21C32所以E(X)=(3)×110+1×35+5×310由题意知选手甲第二轮比赛答对题的数量Z服从二项分布B(3,25),则E(Y)=E(5Z)=5E(Z)=5×3×25=6,因此E(Y)>E(X【素养创新练】15.(5分)(多选题)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中A的各位数中ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为13,出现1的概率为23,记X=a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时 (A.X服从二项分布 B.P(X=1)=8C.X的均值E(X)=83D.X的方差D(X)=8【解析】选ABC.由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0,1,且每个数位上的数字再填时互不影响,故5位数中后4位的所有结果有5类:①后4个数都出现0,X=0,记其概率为P(X=0)