152三角形全等的判定SAS（原卷版）

1.5.2三角形全等的判定SAS知识点管理瞄准目标，牢记要点知识点管理归类探究夯实双基，稳中求进归类探究SAS的概念DEFDEFABC基本事实两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）．几何语言：∵在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）．题型一：SAS的概念【例题1】（2021·河北邢台市·九年级一模）已知：在中，，求证：证明：如图，作______在和中，其中，横线应补充的条件是（）A．边上高 B．边上中线C．的平分线 D．边的垂直平分线变式训练【变式11】（2021·内蒙古呼伦贝尔市·八年级期末）如图，AC、BD相交于O，∠1=∠2，若用“SAS”说明，则还需加上条件（）A．AD＝BC B．∠D＝∠C C．OA＝AB D．BD＝AC【变式12】．（2020·江苏月考）如图，，，如果根据“”判定，那么需要补充的条件是（）A． B． C． D．【变式13】（2020·贵州期末）如图，已知AD＝AE，AF是公共边，用“SAS”证明△ADF和△AEF全等，给出条件正确的是（）A．AF平分∠BAC B．DF＝EF C．BF＝CF D．∠B＝∠C题型二：直接利用SAS三角形全等【例题2】（2021·广西）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．证明：在和中，∴∴____________【变式21】（2021·北京九年级二模）如图，，，，求的度数题型三：利用SAS与线段的和差证三角形全等【例3】（2021·广东惠来·）如图，在和中，边，交于点，，，．（1）若，，求的度数．（2）试说明：．变式训练【变式31】（2021·山东济阳·七年级期末）如图，已知AB＝DC，ABCD，E、F是AC上两点，且AF＝CE．求证：△ABE≌△CDF．【变式32】（2021·甘肃兰州市·）如图所示，∠B＝∠E，AB＝EF，BD＝EC（1）△ABC与△FED全等吗？为什么？（2）AC∥FD吗？为什么？【变式33】（2021·甘肃兰州市·）如图，已知AD∥BC，AD＝CB，AE＝FC，求证：∠D＝∠B题型四：利用SAS与角度的和差证三角形全等【例题4】（2021·全国）如图，．证明：．变式训练【变式41】（2021·四川宜宾·中考真题）如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD．求证：△AOB≌△COD．【变式42】（2020·湖北恩施·）如图所示，，，，求证：【变式43】（2021·沭阳县怀文中学八年级月考）已知：如图，在，中，，，，点，，三点在同一直线上，连接．求证：（1）；（2）试猜想，有何特殊位置关系，并证明．题型五：SAS证三角形全等的应用【例5】（2020·四川省自贡市贡井区成佳中学校八年级月考）如图，要测量池塘两端M，N的距离，在池塘外找一点O，连接MO，NO并分别延长，使QO=MO，PO=NO，连接PQ．则只需测出线段PQ的长度，即可得池塘两端M，N的距离，则证明两个三角形全等的理由是(

)A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS变式训练【变式51】（2020·山西九年级专题练习）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【变式52】（2020·安徽淮南市·八年级期中）如图，公园里有一座假山，要测假山两端A，B的距离，先在平地上取一个可直接到达A和B的点C，分别延长AC，BC到D，E，使CDCA，CECB，连接DE．这样就可利用三角形全等，通过量出DE的长得到假山两端A，B的距离．其中说明两个三角形全等的依据是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS题型六：SAS证全等的动点问题【例6】1．（2019·天津市滨海新区大港第十中学八年级月考）如图，已知正方形ABCD中，边长为10厘米，点E在AB边上，BE=6厘米．如果点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过秒后，△BPE≌△CQP；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与△CQP全等？变式训练【变式61】（2021·郑州市第七十九中学七年级期中）如图，已知在四边形中，厘米，厘米，厘米，，点为线段的中点．如果点在线段上以3厘米/秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．当点的运动速度为___________厘米/秒时，能够使与以，，三点所构成的三角形全等．【变式62】（2019·山东枣庄市·七年级期末）如图，中，为的中点，厘米，，厘米.若点在线段上以每秒3厘米的速度从点向终点运动，同时点在线段上从点向终点运动.（1）若点的速度与点的速度相等，经1秒钟后，请说明；（2）若点的速度与点的速度不相等，当点的速度为多少时，能够使.【变式63】（2020·辽宁省抚顺市抚顺县房申初级中学八年级月考）如图，在中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，设点运动的时间为．（1）用含的式子表示的长度为______．（2）若点运动的速度与点运动的速度相等经过多少秒后，与全等？请说明理由．链接中考体验真题，中考夺冠链接中考【真题1】（2021·福建中考真题）如图，在中，D是边上的点，，垂足分别为E，F，且．求证：．满分冲刺能力提升，突破自我满分冲刺【拓展1】（2021·平原县江山国际学校八年级月考）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如下图①，已知在△ABC中，AB＝AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使得∠QAP＝∠BAC，连接BQ，CP，则BQ＝CP．”（1）小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ＝CP．请你帮小亮完成证明；（2）之后，小亮又将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，“BQ＝CP”仍然成立吗？若成立，请你就图②给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展2】（2021·南通市启秀中学八年