北师版九年级数学 第四章 图形的相似（压轴专练）（十大题型）

第四章图形的相似（压轴专练）（十大题型）题型1：相似三角形解答证明题1．在中，，点在线段的延长线上，连接，过点作交线段于点．

(1)如图1，求的度数．(2)如图2，若，求的值．(3)如图3，在（2）的条件下，连接交线段于点，若，求的长．2．如图1，在中，于点D，连接，在上截取，使，连接．(1)直接判断与的位置关系(2)如图2，延长，交于点F，过点E作交于点G，试判断与之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，若，，求的长．题型2：相似三角形在特殊平行四边形中的应用3．如图1，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点F在边上，且，连接交于点P，连接交于Q，连接．(1)求证：；(2)连接，如图2，①若，求的长；②若，则．4．综合与实践已知：矩形，是边上一点．

【基本图形】（1）如图1，，交于点，的延长线与的延长线交于点，连，求证：；【类比探究】（2）如图2，，过点任意作直线与，的延长线分别交于点，点，连，求证：；【扩展延伸】（3）如图3，是延长线上一点，是延长线上一点，交于点，交于点，延长交于点，若是的中点，且，，求的面积．题型3：翻折问题5．菱形中，，点是边上的点，点是边上的点．(1)如图，若点是的中点，，连接并延长交的延长线于点，连接，①求证：；②判定的形状，并说明理由；(2)若菱形面积为，将菱形沿翻折，点的对应点为点．①如图，当点落在边的延长线上时，连接，交于，交于点，求的值；②如图，当，垂足为点，交于点，求四边形的面积．6．如图1，在矩形中，，，点E在上，连接，把沿直线翻折得到，直线与直线CD交于点G，连接．(1)当时，求的长．小星看到把沿直线翻折得到，就想到翻折图形的特征特点，对应边相等，对应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分，那么他就知道，，，根据，他延长EG与AD的延长线相交于点H，可证，，再通过勾股定理即可求出的长．请用小星的方法或自己的方法求的长；(2)当G是CD的中点时，求的长；(3)如图2，已知等边的边长为6，点D在边上，连接，把沿直线AD翻折得到，直线DE与直线交于点F，若，求BD的长．7．（1）发现：如图1，正方形中，点E在边上，将沿对折得到，延长交BC边于点G，连接．证明：．（2）探究：如图2，矩形中，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交于点M、N，四边形是四边形沿翻折得到的，连接，若的面积与的面积比为，求的值．（3）拓展：如图3，在菱形中，，E为边上的三等分点，，将沿AE翻折得到，直线交于点P，求的长．题型4：旋转问题8．如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．(1)如图1，连接、，的延长线交于，交于点，求证：①；②；(2)如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接、，的延长线交于点，若，．①求证：，②的面积是．9．问题背景：如图（1），在和中，，，求证：；尝试应用：如图（2），在和中，，，连接，点F是的中点．判定以B，D，F为顶点的三角形的形状，并证明你的结论；拓展创新：如图（3），在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接．若点E是的中点，连接，直接写出的最大值．10．如图，在锐角中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到．(1)如图①，当点在线段的延长线上时，求的度数；(2)如图②，连接，，若的面积为2，求的面积；(3)如图③，点E为线段中点，点P是线段上的动点，在绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点，求线段长度的最大值与最小值．题型5：最值问题11．如图，在中，，点D为一点，连接．(1)如图1，若，，求的长；(2)如图2，过点A作于点E，交于点M，于点G，交于点N，求证：；(3)如图3，将沿翻折至处，在上取点F，连接，过点E作交于点G，交于点H，连接，若，，求的最小值．12．如图1和图2，平面上，四边形中，，，，点M在边上，且．点P从点A沿折线上运动到点C，将沿翻折，点A的对应点为点，设点P的运动路径长为x．(1)如图1，连接，①求的度数；②求证：．(2)如图2，当点落到四边形内部时，求x的取值范围．(3)①当点落在的延长线上时，请直接写出x的值．②设点到边所在直线的距离为h，请直接写出h的最小值．13．如图，在中，，，点D在直线上，点E在直线上，连接，，且，直线交于点F．(1)如图①，当点D在线段上时，，，求的长；(2)如图②，当D是的中点时，求证：；(3)如图③，连接，将沿着翻折，得到，M是上一点，且，当最短时，请直接写出的值．题型6：比值问题14．如图1，在中，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点，连接，．(1)图1中，求证：；(2)当绕点旋转到如图2所示的位置时，①是否仍然成立？若成立请证明；若不成立，说明理由；②若，和的面积分别是，，的面积为，求的值．15．【特例感知】（1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：．【变式求异】（2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，AD=2DB，求的值．【拓展应用】（3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），直接写出的值（用含m，n的代数式表示）．题型7：“手拉手”模型16．在中，，，点D是边上一动点，过点C作交于点E．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，点F是上一点，连接并延长交的延长线于点G．若点P为的中点，，，求证：；(3)点F是边上一点，射线与射线交于点G，，点H是上一点，且，连接，，点M是射线上一动点，连接，．在点D的运动过程中，当取得最小值m时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点M的运动过程中，若的最大值为n，直接写出的值．17．如图所示，在中，D、E分别是、上的点，，如图1，然后将绕A点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将、分别延长至M、N，使，，得到图3，请解答下列问题：(1)若，请探究下列数量关系：①在图2中，与的数量关系是；②在图3中，猜想与的数量关系、与的数量关系，并证明你的猜想；(2)若，按上述操作方法，得到图4，请继续探究：与的数量关系、与的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．题型8：定值问题18．如图1，在中，，，．(1)请计算的面积；(2)如图2，将沿着翻折，D点的对应点为，线段交于点M，请计算的长度；(3)如图3，在（2）的条件下，点P为线段上一动点，过点P作于点N，交的延长线于点G．在点P运动的过程中，的长度是否为定值？如果是，请计算出这个定值；如果不是，请说明理由．题型9：情景探究题19．[问题情境]（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在中，，P为边上的任一点，过点P作，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F．求证：．小明的证明思路是：如图①，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．小颖的证明思路是：如图②，过点P作，垂足为G，可以证得：，则．请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．[变式探究]（2）如图③，当点Р在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，则之间的数量关系是______．[结论运用]（3）如图④，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点Р作，垂足分别为G，H，若，求的值．[迁移拓展]（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形中，E为边上的一点，，垂足分别为D，C，且，M、N分别为的中点，连接，请直接写出与的周长之和___________．题型10：相似三角形在平面直角坐标系的应用20．如图，在平面直角坐标系中；一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B0,3，与直线OC交于点．(1)求直线的函数表达式；(2)过点C作轴于点D，将沿射线平移得到的三角形记为，点A，C，D的对应点分别为，，，若与重叠部分的面积为S，平移的距离，当点与点B重合时停止运动，当时，求m的值．21．综合运用如图1，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，点A的坐标为．点C是边上一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转90°，得到线段，连接，．(1)当平分时，＝________°；(2)若，求的长；(3)如图2，作点C关于的对称点E，连接，，．设的面积，，求S关于m的函数表达式．

第四章图形的相似（压轴专练）（十大题型）题型1：相似三角形解答证明题1．在中，，点在线段的延长线上，连接，过点作交线段于点．

(1)如图1，求的度数．(2)如图2，若，求的值．(3)如图3，在（2）的条件下，连接交线段于点，若，求的长．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）过点作于点，证，得，即，由得，从而可得；（2）过点作于点，证，得，从而即可得解；（3）过点作于点，作交的延长线于点，在延长线上取一点，使得，由()得，，证，，得，，从而，，设，则，证，得即，于是有，再利用勾股定理构造方程得，解得，从而利用勾股定理即可得解．【解析】（1）解：如图1，过点作于点，

∵，∴，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：如图2，过点作于点，

∵，，∴，，∴，∴，∴；（3）解：过点作于点，作交的延长线于点，在延长线上取一点，连接，使得，

由()得，，∵，∴，，，，∵，∴，，，∴，，∴，，∴，∴，设，则，∵，，∴，∴，∴∵，，∴，∴即，∴，∵，∴，∴，解得(舍去)或，∴，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，解一元二次方程以及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质及相似三角形的判定及性质是解题的关键．2．如图1，在中，于点D，连接，在上截取，使，连接．(1)直接判断与的位置关系(2)如图2，延长，交于点F，过点E作交于点G，试判断与之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，若，，求的长．【答案】(1)(2)，见解析(3)1【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，再根据余角的性质得到，即可判断；（2）过点B作交于点M，证得为等腰直角三角形，则，证明，由全等三角形的性质得出，由直角三角形的性质可得出结论；（3）设，则，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．【解析】（1）解：；理由如下：设与交于O，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，即，∴；（2）解：，证明：过点B作交于点M，∵，∴，，，∵，，∴，∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，，，，又，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴；（3）解：∵，为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，设，∴，∵，∴，∴，，解得，，经检验符合题意；∴．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确构造全等三角形解决问题．题型2：相似三角形在特殊平行四边形中的应用3．如图1，四边形是正方形，点E在边的延长线上，点F在边上，且，连接交于点P，连接交于Q，连接．(1)求证：；(2)连接，如图2，①若，求的长；②若，则．【答案】(1)证明见解析(2)①

②【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和全等三角形的判定是解题的关键．（1）过点E作交的延长线于点G，证明，即可得到结论；（2）①连接，证明,则，得到是等腰直角三角形，由（1）知：点Q是的中点，则，证明，则，得到，设，根据勾股定理，得，得到，，Q是的中点，即可得到；②过F作，证明四边形是矩形，进一步得到，设，则，证明，则，得到，求出，得到，证明，得到，则，即可得到答案．【解析】（1）证明：如图1，过点E作交的延长线于点G，∴，∵四边形是正方形，∴，∵，∵，∴，∴，∵，∴，又，∴，∴；（2）①解：如图2，连接，∵四边形是正方形，∴∵，∴,∴，∴∴是等腰直角三角形，由（1）知：点Q是的中点，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，设，根据勾股定理，得，∴，∴或（舍去），∴，∵，Q是的中点，∴；②如图3，过F作，∵∴四边形是矩形，∴，∵，∴，由（1）知，，∴，设，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴（负值舍去），∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：4．综合与实践已知：矩形，是边上一点．

【基本图形】（1）如图1，，交于点，的延长线与的延长线交于点，连，求证：；【类比探究】（2）如图2，，过点任意作直线与，的延长线分别交于点，点，连，求证：；【扩展延伸】（3）如图3，是延长线上一点，是延长线上一点，交于点，交于点，延长交于点，若是的中点，且，，求的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12【分析】（1）由四边形是矩形得，从而得到，，进而得到，，由就可得到结论；（2）延长、交于点，如图，由三角形相似可证到，再由可得，再由垂直平分线的性质可得到，结合就可得．（3）延长、交于点，如图，由（2）得，进而证到，再由可证到，进而得到．根据就可求出的面积．【解析】解：（1）证明：∵四边形是矩形，∴．∴，．∴，．∵，∴．（2）证明：延长、交于点，如图，

∵四边形是矩形，∴．∴，．∴，．∴．∵，∴．∵四边形是矩形，∴，即．∴．∴．∵，∴，．∴．（3）延长、交于点，如图，

同理可得：．∵四边形是矩形，∴，．∴．∴．∴．∴．∵，，∴．∴．∵，，∴．∴．∴．∴的面积为12．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、矩形的性质、垂直平分线的性质、直角三角形的两锐角互余等知识．本题在解决问题的过程中，用已有的经验得到角相等，用割补法和整体思想求出三角形的面积，综合性强，有一定的难度．而由平行线（矩形的性质）、角平分线（结论）联想到构造等腰三角形是解决第二小题的关键．题型3：翻折问题5．菱形中，，点是边上的点，点是边上的点．(1)如图，若点是的中点，，连接并延长交的延长线于点，连接，①求证：；②判定的形状，并说明理由；(2)若菱形面积为，将菱形沿翻折，点的对应点为点．①如图，当点落在边的延长线上时，连接，交于，交于点，求的值；②如图，当，垂足为点，交于点，求四边形的面积．【答案】(1)①证明见解析；②△是等腰三角形，理由见解析；(2)①；②．【分析】（）①利用证明即可；②由全等三角形的性质可得，进而根据直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半得，即可求解；（）①由对称可得，，由菱形的面积可得，进而由勾股定理得，得到，，即得，再由，，，可得，，，由可得，即得，设，则，则，可得，进而得，得到，即得，据此即可求解；②如图，过点作于，由，可得，由折叠的性质得，，，进而可得是等腰直角三角形，得到，又由菱形的面积可得，即得，由勾股定理得，再证明，得到，即可得，得到，同理由可得，再根据即可求解．【解析】（1）①证明：∵为中点，∴，∵四边形是菱形，∴，∴，又∵，∴；②解：是等腰三角形，理由如下：∵，∴，∵，∴，∴是斜边上的中线，∴，∴是等腰三角形；（2）解：①∵点与点关于对称，∴，，∵，，∴，在中，根据勾股定理可得，，∴，，∴，∵四边形是菱形，∴，，∴，，，∴，，，∵，∴，即，∴，设，则，则，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，即的值为；②如图，过点作于，∵，，∴，由折叠可知，，，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，，∴，∴，在中，由勾股定理得，，∵，，∴，∴，即∴，∴，∵，，∴，∴，∴，设，则，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．6．如图1，在矩形中，，，点E在上，连接，把沿直线翻折得到，直线与直线CD交于点G，连接．(1)当时，求的长．小星看到把沿直线翻折得到，就想到翻折图形的特征特点，对应边相等，对应角相等，对应点连线被对称轴垂直平分，那么他就知道，，，根据，他延长EG与AD的延长线相交于点H，可证，，再通过勾股定理即可求出的长．请用小星的方法或自己的方法求的长；(2)当G是CD的中点时，求的长；(3)如图2，已知等边的边长为6，点D在边上，连接，把沿直线AD翻折得到，直线DE与直线交于点F，若，求BD的长．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）延长EG与AD的延长线相交于点H，可证，，在中根据勾股定理即可求出的长．（2）延长EG与AD的延长线相交于点H，设，则，证明，得，求出，，在中根据勾股定理，，求出x即可；（3）分两种情况：当点F在线段上时，当点F在延长线上时，根据等边三角形及相似三角形解决问题【解析】（1）解：延长EG与AD的延长线相交于点H，由翻折得，，，∵四边形是矩形，∴，∴，∵∴∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴在中，，∴解得或（舍去）；（2）延长EG与AD的延长线相交于点H，设，则∵G是CD的中点，∴，∵四边形是矩形，∴，∴，∵∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴在中，，∴解得或（舍去）即；（3）当点F在线段上时，设，，则，，∵是等边三角形，∴，，由翻折得，，∴，∵，∴，∴，∴，解得或；当点F在延长线上时，设，则，∵是等边三角形，∴，，由折叠得，，∴，∵，∴，∵，∴∴∴，解得或（舍）．综上，的长为或或．【点睛】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，是综合性较强的一题，综合掌握各种图形的性质，正确引出辅助线分类讨论是解题的关键．7．（1）发现：如图1，正方形中，点E在边上，将沿对折得到，延长交BC边于点G，连接．证明：．（2）探究：如图2，矩形中，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交于点M、N，四边形是四边形沿翻折得到的，连接，若的面积与的面积比为，求的值．（3）拓展：如图3，在菱形中，，E为边上的三等分点，，将沿AE翻折得到，直线交于点P，求的长．【答案】（1）见解析；（2）；（3）或【分析】（1）由折叠性质得，再证明即可；（2）连接，过N作于G，依题意得四边形是矩形；首先证明四边形是平行四边形，从而得；设，由面积关系得，从而由勾股定理得；依题意得四边形是矩形，则有，在直角三角形中由勾股定理求得，即可求得结果；（3）分两种情况考虑：①时；②时，分别利用勾股定理建立方程求解．【解析】（1）证明：正方形中，；由折叠性质得，；，；，，；；（2）如图，连接，过N作于G，则，在矩形中，，，；则四边形是矩形，；，，，，故四边形是平行四边形，，；由折叠知，，设，由于的面积与的面积比为，即，；，，；由勾股定理得，，在中，由勾股定理求得，；（3）由于四边形是菱形，则；①如图，当时；延长交于点Q，过点Q作于点H，过点E作于M，于N，过点A作于R；设，则；，，，则；由折叠知：，，平分，；，，上两式相比并化简得：，即，故有：；，，，；在中，由勾股定理得：，即，解得：（舍去），；②当时，如图，延长交延长线于点，过点作于，则；设，则；，，，；由折叠性质得：，；与前一情况同理，得：，即，；，，；在中，由勾股定理得：，即，解得：或（舍去），；综上，的长为或．【点睛】本题是相似三角形与四边形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，正方形的性质，矩形及菱形的性质，平行四边形的性质等知识，涉及分类讨论思想，综合性强，难度大，正确作出辅助线，熟练掌握折叠的性质、相似三角形的判定与性质是关键．题型4：旋转问题8．如图，和是有公共顶点的等腰直角三角形，．(1)如图1，连接、，的延长线交于，交于点，求证：①；②；(2)如图2，把绕点顺时针旋转，当点落在上时，连接、，的延长线交于点，若，．①求证：，②的面积是．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)①见解析；②【分析】（1）①利用定理证明；②根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理、垂直的定义证明结论；（2）①证明，根据全等三角形的性质得到，利用相似三角形的判定定理证明即可；②根据等腰直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质分别求出、，根据三角形的面积公式计算，得到答案．【解析】（1）证明：①，，即，在和中，，；②，，，，即；（2）①证明：在和中，，，，，；②解：在中，，，，∴，在中，，，，，∴，在中，，由勾股定理得：，由（1）②可知，，，，，，即，解得：，，，．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，勾股定理以及三角形的面积计算，灵活运用相似三角形的判定定理是解题的关键．9．问题背景：如图（1），在和中，，，求证：；尝试应用：如图（2），在和中，，，连接，点F是的中点．判定以B，D，F为顶点的三角形的形状，并证明你的结论；拓展创新：如图（3），在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接．若点E是的中点，连接，直接写出的最大值．【答案】问题背景：见解析；尝试应用：等边三角形，理由见解析；拓展创新：6【分析】问题背景：由得，利用即可证明全等；尝试应用：取中点P，连接，则是等边三角形，得；由三角形中位线定理得，，则，从而可得，从而可证明，则可得，，问题即可证明；拓展创新：过C作，垂足为C，且，连接，可得，从而；.取的中点G，连接，则，由可得，即的最大值为6．【解析】问题背景：证明：，，即，，；尝试应用：解：等边三角形；证明如下：取中点P，连接，如图，，，，，，是等边三角形，；，；为的中点，中点为P，，，，，，，，，是等边三角形；拓展创新：解：如图，过C作，垂足为C，且，连接，则；由旋转知，，；，；，，，；取的中点G，连接，则；点是的中点，，由勾股定理得：，，即，的最大值为6．【点睛】本题是三角形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形判定，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，构造辅助线证明三角形全等与相似是本题的关键．10．如图，在锐角中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到．(1)如图①，当点在线段的延长线上时，求的度数；(2)如图②，连接，，若的面积为2，求的面积；(3)如图③，点E为线段中点，点P是线段上的动点，在绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点，求线段长度的最大值与最小值．【答案】(1)(2)(3)线段长度的最大值为与最小值为．【分析】（1）由旋转的性质可得：，，又由等腰三角形的性质，即可求得的度数；（2）由旋转的性质可得：，易证得，利用相似三角形的性质可得答案；（3）由①当P在上运动至垂足点D，绕点B旋转，使点P的对应点在线段上时，最小；②当P在上运动至点C，绕点B旋转，使点P的对应点在线段的延长线上时，最大，即可求得线段长度的最大值与最小值．【解析】（1）解：由旋转的性质可得：，，∴，∴．（2）解：由旋转的性质可得：，∴，，，∴，，∴，∴，而，，∴，∵的面积为2，∴．（3）解：过点B作，D为垂足，∵为锐角三角形，∴点D在线段上，在中，，，∴，∴，∴，∵，∴，解得：或（舍去），∵点E为线段中点，∴；①如图1，当P在上运动至垂足点D，绕点B旋转，使点P的对应点在线段上时，，此时最小，且最小值为：；②如图，当P在上运动至点C，绕点B旋转，使点P的对应点在线段的延长线上时，最大，且最大值为：．综上分析可知，线段长度的最大值为与最小值为．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．题型5：最值问题11．如图，在中，，点D为一点，连接．(1)如图1，若，，求的长；(2)如图2，过点A作于点E，交于点M，于点G，交于点N，求证：；(3)如图3，将沿翻折至处，在上取点F，连接，过点E作交于点G，交于点H，连接，若，，求的最小值．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）过点D作于点K，则，可得是等腰直角三角形，从而得到，再由，可得，从而得到，进而得到，即可求解；（2）证明，可得，作交于点Q，再证明，可得，即可求证；（3）取中点M，连接，连接交于点N，作于点P，设交于点Q．证明，可得，设，则，设，则，根据，∴，可得，再由勾股定理可得，然后根据点M为的中点，，可得，从而得到，进而得到，即可求解．【解析】（1）解：如图，过点D作于点K，则，∵，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，

∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（2）证明：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，作交于点Q，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（3）解：如图，取中点M，连接，连接交于点N，作于点P，设交于点Q．由轴对称的性质得：，垂直平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，设，则，设，则，同理，∴，∴，即，解得：或（舍去），∴，∴，∴，∵点M为的中点，，∴，∴，∴，∵，∴，当且仅当点A，H，M三点共线时，取得最小值，最小值为．【点睛】本题为几何综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定性质、几何变换、解直角三角形等重要知识点．熟练掌握常用几何定理和模型是解决问题的关键．12．如图1和图2，平面上，四边形中，，，，点M在边上，且．点P从点A沿折线上运动到点C，将沿翻折，点A的对应点为点，设点P的运动路径长为x．(1)如图1，连接，①求的度数；②求证：．(2)如图2，当点落到四边形内部时，求x的取值范围．(3)①当点落在的延长线上时，请直接写出x的值．②设点到边所在直线的距离为h，请直接写出h的最小值．【答案】(1)①∠CBD=90°；②见解析(2)0<x<4(3)①x=13；②ℎ【分析】（1）①由勾股定理求出BD=10，再由勾股定理逆定理得BC2+B②由题意易得BDBC=ABAD，从而得（2）过P作PH⊥CD．易得四边形ADHP是矩形，则PH=AD=6，DH=AP；由DM=2得AM=4，由折叠性质得A'M=AM=4，A'P=AP；在Rt△A'DM中由勾股定理求得A'（3）①当点A'落在AD的延长线上时，则PM⊥A'A，过B作BG⊥CD于G，交PM于H．由CG∥PH，得BPBC②分当P在AB上与当P在BC上两种情况考虑，利用相似三角形的判定与性质即可求解．【解析】（1）解：①∵∠A=90°，∴BD=A∵BC∴BC∴∠CBD=90°．②证明：∵BD∴BD又∠CBD=∠A=90°，∴△ABD∽△BDC，∴∠DBA=∠CDB，∴AB∥CD．（2）解：当A'落在CD上时，过P作PH⊥CD．则PH∥∵AB∥∴四边形ADHP是矩形，∴PH=AD=6，DH=AP．∵DM=2，∴AM=4，由翻折得A'M=AM=4，∵AB∥∴∠CDA=90°，∴A∴A∵PH∴6∴AP=43故点A'落到四边形ABCD内部时，0<x<43（3）①解：当点A'落在AD的延长线上时，则PM⊥过B作BG⊥CD于G，交PM于H．则四边形ABHM是矩形，四边形ABGD为矩形，∴BH=AM=4，BG=AD=6，∵CG∥PH，∴BP即BP=2∴AB+BP=8+5=13，∴x=13．②当P在AB上时，过M作MH⊥CB于H，过M作MG⊥BD于G．由垂线段最短，知M、A'、H共线时，A则四边形BHMG是矩形，∴HM=BG；∵∠MGD=∠A=90°，∴△DGM∽△DAB，∴DM∴2∴DG=6∴HM=BG=BD−DG=10−6∴A当P在CB上时，由于点A'到点B故A'离BD故P与B重合时，PH最短，则A'过M作MQ⊥HA'，交HA'延长线于Q，交BD于G，过则得四边形A'HBR、∴HA'=BR∵∠HA∴∠HBA∵∠A∴△A∴A设BH=m，∴A由上一问知DG=6∴HA∵BH∴m∴125m∴m∴BH最小5625A'∵192∴ℎ【点睛】本题是一道几何综合题，考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，解一元二次方程等知识点，涉及的知识较多，综合性较强，注意分类讨论．13．如图，在中，，，点D在直线上，点E在直线上，连接，，且，直线交于点F．(1)如图①，当点D在线段上时，，，求的长；(2)如图②，当D是的中点时，求证：；(3)如图③，连接，将沿着翻折，得到，M是上一点，且，当最短时，请直接写出的值．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）根据等边对等角可得，，继而可得，则，根据即可得证；（2）过点D作于点N，作于点M，证明，得到，进而得证；（3）根据对称的性质和已知可得出，当最短时，点，，三点共线，过点D作于点Q，过点D，M作的垂线，垂足为P，N，则，，根据平行线成比例，可得，设，则，在中，，证明，继而得到，设，则，，由（1）可得，设，在中，，可推出，，证明，表示出，再根据勾股定理求出，代入化简即可．【解析】（1）解：如图①，过点D作于点G，，，，，，，，，，在中，，，，在中，，．（2）证明：如图②，过点D作于点N，作于点M．由（1）知，，，，，，，，．（3）解：．依题意，将沿着翻折，得到，，点在以C为圆心、的长为半径的圆上运动，∴点M是上一点，当最短时，点，，三点共线，此时如图③所示，过点D作于点Q，过点D，M作的垂线，垂足为P，N，则，，是等腰直角三角形，，，，，，设，则，在中，，，，，，设，则，，由（1）可得，设，在中，，，即，在中，，则，又，，，，，，在中，，，．【点睛】本题是折叠变换综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识点，本题难度大，通过作适当的辅助线并综合运用以上知识是解题的关键．题型6：比值问题14．如图1，在中，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点，连接，．(1)图1中，求证：；(2)当绕点旋转到如图2所示的位置时，①是否仍然成立？若成立请证明；若不成立，说明理由；②若，和的面积分别是，，的面积为，求的值．【答案】(1)(2)①仍然成立，见解析；②【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形的中位线定理解决问题即可．（2）①证明，推出，再利用三角形的中位线定理即可解决问题．②由，推出，推出，求出，，的面积即可解决问题．【解析】（1）解：如图1，在中，，点、分别在边、上，，，即，点、、分别为、、的中点，，，，（2）解：①仍然成立，如图2，连接，，由题意知，，，，，点、、分别为、、的中点，，分别是和的中位线，，，；②如图2中，，，，，，，，，，，，同法可得，，，，，．故答案为：．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．15．【特例感知】（1）如图1，在正方形中，点P在边的延长线上，连接，过点D作，交的延长线于点M．求证：．【变式求异】（2）如图2，在中，，点D在边上，过点D作，交于点Q，点P在边的延长线上，连接，过点Q作，交射线于点M．已知，，AD=2DB，求的值．【拓展应用】（3）如图3，在中，，点P在边的延长线上，点Q在边上（不与点A，C重合），连接，以Q为顶点作，的边交射线于点M．若，（m，n是常数），直接写出的值（用含m，n的代数式表示）．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【分析】（1）根据证明即可；（2）证明，得出，根据勾股定理，根据，得出，求出，得出，求出；（3）先求解，作于点N，证明，得出．证明，得出，求出．【解析】证明：（1）在正方形中，，，∴，∵，∴，∴，∴．∴；（2）如图2，作于点N，如图所示：

∵，，∴四边形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，，∴，∵AD=2DB，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；（3）∵，，∴，∴．∵，∴，如图3，作于点N，

∵，∴，∴．∵，∴，∴，∵，∴，∴．∵，，∴，∴，∴∴．【点睛】本题主要考查了三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，正方形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．题型7：“手拉手”模型16．在中，，，点D是边上一动点，过点C作交于点E．(1)如图1，若，求的度数；(2)如图2，点F是上一点，连接并延长交的延长线于点G．若点P为的中点，，，求证：；(3)点F是边上一点，射线与射线交于点G，，点H是上一点，且，连接，，点M是射线上一动点，连接，．在点D的运动过程中，当取得最小值m时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点M的运动过程中，若的最大值为n，直接写出的值．【答案】(1)(2)见解析(3)【分析】（1）根据等腰直角三角形性质得到，利用等腰三角形性质得到，最后根据三角形外角性质得到，即可解题；（2）利用直角三角形性质得到，结合等腰三角形性质得到，进而得到，，证明，得到，，推出，作，交延长线于点，证明，得到，证明，得到，再进行等量代换即可解题；（3）根据题意得到在的中垂线上，当时，最小，且此时四边形为矩形，当取得最小值时，、关于对称，且，得到的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆周上，则当过圆心，且、分别在的两侧时，的值最大，作，交的延长线于点，证明，得到，，进而证明，利用全等三角形性质推出为中点，设，则，（即），，利用勾股定理和相似三角形性质得到，，，，作于点，结合勾股定理和等腰直角三角形性质得到，，，，进而推出，即可解题．【解析】（1）解：，，，，，，；（2）证明：，点P为的中点，，，，，，，，，，，，，作，交延长线于点，，，，，，，，，，，，，，，，，，即；（3）解：，理由如下：根据题意画出图形，，，作于点，即在的中垂线上，，，当时，最小，易得此时四边形为矩形，当取得最小值时，、关于对称，，的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆周上，则当过圆心，且、分别在的两侧时，的值最大，如图所示：作，交的延长线于点，，，，，，，，，，，，，，，，，即为中点，设，，四边形为矩形，，（即），，，，，，，，，，，，，又，，，，，作于点，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，全等三角形性质和判定，直角三角形性质，三角形外角性质，垂直平分线性质，轴对称性质，勾股定理，相似三角形判定和性质，解题的关键在于利用数形结合的思想解决问题．17．如图所示，在中，D、E分别是、上的点，，如图1，然后将绕A点顺时针旋转一定角度，得到图2，然后将、分别延长至M、N，使，，得到图3，请解答下列问题：(1)若，请探究下列数量关系：①在图2中，与的数量关系是；②在图3中，猜想与的数量关系、与的数量关系，并证明你的猜想；(2)若，按上述操作方法，得到图4，请继续探究：与的数量关系、与的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．【答案】(1)①；②，，理由见解析(2)，【分析】本题考查三角形全等的判定方法和性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用全等三角形的证明方法解题是解题的关键．（1）①运用证明，所以；②根据题意可得，，，所以得到，在和中，，，可证，所以，即．（2）直接类比（1）中结果可知，．【解析】（1）（1）①∵，，∴，∴，∵，∴图2中，，即∵，，∴，∴，故答案为：；②，，理由如下：，∴，即，在和中，，，，，，在和中，，，，∴，即；（2）结论：，．理由如下：∵，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．综上所述：，．题型8：定值问题18．如图1，在中，，，．(1)请计算的面积；(2)如图2，将沿着翻折，D点的对应点为，线段交于点M，请计算的长度；(3)如图3，在（2）的条件下，点P为线段上一动点，过点P作于点N，交的延长线于点G．在点P运动的过程中，的长度是否为定值？如果是，请计算出这个定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)(2)的长度为；(3)的长度是定值，这个定值为．【分析】（1）作，在中，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得高的长，再根据平行四边形的面积公式即可求解；（2）先证明，再在中，由勾股定理列式计算即可求解；（3）利用勾股定理求得，证明，求得，再求得，过点作交的延长线于点，得到的长度是的长度，据此求解即可．【解析】（1）解：作交延长线于点，∵四边形是平行四边形，∴，，，，在中，，，∴的面积为；（2）解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，由折叠的性质得，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得，解得：，即的长度为；（3）解：∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，由折叠的性质得，∵，∴，过点作交的延长线于点，∵，∴，，∴，，∴，∴的长度是的长度，过点作交的延长线于点，∴四边形是矩形，∴，由折叠的性质得，又，∴，∴．综上，的长度是定值，这个定值为．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，第3问求得是解题的关键．题型9：情景探究题19．[问题情境]（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图①，在中，，P为边上的任一点，过点P作，垂足分别为D，E，过点C作，垂足为F．求证：．小明的证明思路是：如图①，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．小颖的证明思路是：如图②，过点P作，垂足为G，可以证得：，则．请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．[变式探究]（2）如图③，当点Р在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，则之间的数量关系是______．[结论运用]（3）如图④，将矩形沿折叠，使点D落在点B上，点C落在点处，点P为折痕上的任一点，过点Р作，垂足分别为G，H，若，求的值．[迁移拓展]（4）图⑤是一个机器模型的截面示意图，在四边形中，E为边上的一点，，垂足分别为D，C，且，M、N分别为的中点，连接，请直接写出与的周长之和___________．【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根据小明的证明思路：连接，根据三角形的面积公式结合题意即可证明；根据小颖的证明思路：过点作，垂足为，根据矩形的判定和性质可得，，根据平行线的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可证明．（2）根据小明的证明思路：连接，根据三角形的面积公式结合题意即可证明；根据小颖的证明思路：过点作，垂足为，根据矩形的判定和性质可得，，根据平行线的判定和性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，即可证明．（3）过点作，垂足为，根据矩形的性质可得，，，，推得，根据折叠的性质可得，，根据平行线的性质可得，推得，根据等角对等边可得，推得，根据勾股定理求得，推得，根据矩形的判定和性质可得，由问题情景中的结论即可求得：．（4）延长，交于点，过点作，垂足为，根据题意可得，，根据相似三角形的判定和性质可得，根据等角对等边可得，由问题情景中的结论可得：，设，则，根据勾股定理可得，即可求得，，根据直角三角形斜边上中线的性质可