2024-2025学年高考数学一轮复习专题5.1平面向量的概念及其线性运算知识点讲解理科版含解析

专题5.1平面对量的概念及其线性运算【考情分析】1.了解向量的实际背景；2.理解平面对量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.驾驭向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.驾驭向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.【重点学问梳理】学问点一向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面对量是自由向量零向量长度为0的向量记作0，其方向是随意的单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不相等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0学问点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb学问点三共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.,向量概念的4点留意(1)留意0与0的区分，0是一个实数，0是一个向量，且|0|eq\a\vs4\al(＝)0.(2)单位向量有多数个，它们的模相等，但方向不肯定相同．(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要留意它们的特殊性．比如：命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”是假命题，因为当b为零向量时，a，c可为随意向量，两者不肯定平行．(4)任一组平行向量都可以平移到同始终线上．【特殊提示】向量线性运算的3点提示(1)两个向量的和仍旧是一个向量．(2)利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点．(3)当两个向量共线时，三角形法则仍旧适用，而平行四边形法则不适用．【拓展提升】共线向量定理的深解读定理中限定了a≠0，这是因为假如a＝0，则λa＝0，(1)当b≠0时，定理中的λ不存在；(2)当b＝0时，定理中的λ不唯一．因此限定a≠0的目的是保证明数λ的存在性和唯一性．学问点四必备结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最终一个向量的终点的向量，即eq\o(A1A2,\s\up7(→))＋eq\o(A2A3,\s\up7(→))＋eq\o(A3A4,\s\up7(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up7(→))＝eq\o(A1An,\s\up7(→)).特殊地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．2.在△ABC中，AD，BE，CF分别为三角形三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为△ABC的重心，则有如下结论：(1)eq\o(GA,\s\up7(→))＋eq\o(GB,\s\up7(→))＋eq\o(GC,\s\up7(→))＝0；(2)eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))；(3)eq\o(GD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(GB,\s\up7(→))＋eq\o(GC,\s\up7(→)))＝eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))．3．若eq\o(OA,\s\up7(→))＝λeq\o(OB,\s\up7(→))＋μeq\o(OC,\s\up7(→))(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.4．对于随意两个向量a，b，都有：①||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；②|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)．当a，b不共线时：①的几何意义是三角形中的随意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的肯定值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．【典型题分析】高频考点一平面对量的有关概念【例1】（2024·河北正定中学模拟）设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不肯定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种状况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3，故选D。【归纳总结】向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与随意向量共线．【变式探究】（2024·湖南长郡中学模拟）给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，肯定是共线向量；②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为()A．0 B.1C．2 D．3【答案】D【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是随意向量．故错误的命题有3个，故选D.高频考点二向量的线性运算【例2】(2024·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq\o(EB,\s\up7(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)) B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)) D．eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up7(→))【答案】A【解析】作出示意图如图所示．eq\o(EB,\s\up7(→))＝eq\o(ED,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up7(→)).【方法技巧】向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．【变式探究】(2024·皖南八校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，eq\o(BC,\s\up8(→))＝3eq\o(EC,\s\up8(→))，F为AE的中点，则eq\o(BF,\s\up8(→))＝()A．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up8(→))B．－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up8(→))C．－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up8(→))D．eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up8(→))【答案】B【解析】依据平面对量的运算法则得eq\o(BF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BE,\s\up8(→))，eq\o(BE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up8(→))，eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)).因为eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))，所以eq\o(BF,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up8(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up8(→))－\o(AB,\s\up8(→))))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up8(→))，故选B.高频考点三依据向量线性运算求参数【例3】（2024·湖北武汉中模拟）在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若eq\o(AO,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(BC,\s\up7(→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)【答案】D【解析】由题意易得eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，则2eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up7(→))，即eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up7(→)).故λ＋μ＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).【方法技巧】解决此类问题可以通过探讨向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.【变式探究】(2024·山西师大附中模拟)在△ABC中，eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up8(→))，P是直线BN上一点，若eq\o(AP,\s\up8(→))＝meq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up8(→))，则实数m的值为()A．－4B．－1C．1D．4【答案】B【解析】∵eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)eq\o(NC,\s\up8(→))，∴eq\o(AC,\s\up8(→))＝5eq\o(AN,\s\up8(→)).又eq\o(AP,\s\up8(→))＝meq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(2,5)eq\o(AC,\s\up8(→))，∴eq\o(AP,\s\up8(→))＝meq\o(AB,\s\up8(→))＋2eq\o(AN,\s\up8(→))，由B，P，N三点共线可知，m＋2＝1，∴m＝－1.高频考点四共线向量定理的应用【例4】（2024·哈尔滨六中模拟）设两个非零向量a与b不共线，(1)若eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．【解析】(1)证明：∵eq\o(AB,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up8(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up8(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up8(→)).∴eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(BD,\s\up8(→))共线，又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b和a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是两个不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.【方法技巧】利用共线向量定理解