2024-2025学年新教材高中数学第8章立体几何初步8.5.1直线与直线平行8.5.2直线与平面平行学案含解析新人教A版必修第二册

PAGE8.5空间直线、平面的平行8.8.学习目标核心素养1.能相识和理解空间直线平行的传递性，了解等角定理．(重点)2.驾驭直线与平面平行的判定定理和性质定理，并能利用这两个定理解决空间中的平行关系问题．(重点)3.利用直线与平面平行的判定定理和性质定理证明空间平行问题．(难点)1.通过基本领实4和等角定理，培育直观想象的核心素养.2.借助直线与平面平行的判定与性质定理，提升逻辑推理的核心素养.在生活中，留意到门扇的两边是平行的，当门扇围着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点，此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人以平行的印象．问题：(1)上述问题中存在着不变的位置关系是指什么？(2)若推断直线与平面平行，由上述问题你能得出一种方法吗？1．基本领实4文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．符号表述：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))⇒a∥c.2．等角定理假如空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3．直线与平面平行的判定及性质定理条件结论图形语言符号语言判定假如平面外一条直线与此平面内的一条直线平行该直线与此平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊄α，,m⊂α，,且l∥m))⇒l∥α性质一条直线与一个平面平行，假如过该直线的平面与此平面相交该直线与交线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α，,l⊂β，,α∩β＝m))⇒l∥m思索：若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行，对吗？[提示]依据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误．1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)假如一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等． ()(2)假如两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等． ()(3)假如两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线相互平行． ()[答案](1)×(2)√(3)√2．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于()A．30° B．30°或150°C．150° D．以上结论都不对B[因为AB∥PQ，BC∥QR，所以∠PQR与∠ABC相等或互补．因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.]3．下列条件中能确定直线a与平面α平行的是()A．a⊄α，b⊂α，a∥bB．b⊂α，a∥bC．b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥cD．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BDA[由直线与平面平行的判定定理知选A．]4．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线有________条．1[如图所示，∵l∥平面α，P∈α，∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．]基本领实4、等角定理的应用【例1】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1(1)求证：四边形BB1M(2)求证：∠BMC＝∠B1M1[思路探究](1)欲证四边形BB1M[解](1)∵ABCD­A1B1C1D1∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，∴AM＝A1M1且AM∥A1M∴四边形AMM1A1∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.又AA1＝BB1且AA1∥BB1，∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M(2)法一：由(1)知四边形BB1M∴B1M1∥BM同理可得四边形CC1M∴C1M1∥CM.∵∠BMC和∠B1M∴∠BMC＝∠B1M1法二：由(1)知四边形BB1M∴B1M1＝BM同理可得四边形CC1M∴C1M1＝CM又∵B1C1＝BC∴△BCM≌△B1C1∴∠BMC＝∠B1M11．空间两条直线平行的证明一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；三是利用基本领实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．2．求证角相等一是用等角定理；二是用三角形全等或相像．eq\o([跟进训练])1．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD．[证明](1)在△ABD中，∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD．同理FG∥BD，则EH∥FG.故E，F，G，H四点共面．(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH.故AC⊥BD．直线与平面平行的判定【例2】如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.[思路探究](1)要证EH∥平面BCD，只要证EH∥BD便可；(2)要证BD∥平面EFGH，只要证BD∥EH便可．[解](1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD．∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EH∥平面BCD．(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是找寻平面内与已知直线平行的直线．2．证明线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、基本领实4等．eq\o([跟进训练])2．已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.[证明]如图，作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，则PM∥QN，eq\f(PM,AB)＝eq\f(EP,EA)，eq\f(QN,CD)＝eq\f(BQ,BD).∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.又∵AB＝CD，∴PMQN，∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.又∵PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，∴PQ∥平面CBE.直线与平面平行的判定与性质[探究问题]1．若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的全部直线吗？[提示]不是．2．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？[提示]若a∥α，则过a且与α相交的平面有多数个．这些平面与α的交线与直线a相互平行．【例3】求证：假如一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．[思路探究]先写出已知求证，再借助线面平行的性质定理求解．[解]已知直线a，l，平面α，β满意α∩β＝l，a∥α，a∥β.求证：a∥l.证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，∵a∥β，∴a∥c.则b∥c.又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β.又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．[解]已知：a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l.求证：a∥b∥l.证明：如图所示，∵a∥b，b⊂β，a⊄β，∴a∥β，又a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l.线面平行的性质和判定常常交替运用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行.利用线面平行的性质定理解题的详细步骤：1确定或找寻一条直线平行于一个平面；2确定或找寻过这条直线且与这个平行平面相交的平面；3确定交线；4由性质定理得出线线平行的结论.一、学问必备1．基本领实4；2．等角定理；3．直线与平面平行的判定与性质二、方法必备证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发觉已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析和解决问题的一般思维方法，而作协助线和协助面往往是沟通已知和未知的有效手段．1．假如直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．多数条直线不相交D．随意一条直线不相交D[直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．]2．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝________.135°[由等角定理可知β＝135°.]3．若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．平行或相交或b在α内[如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设平面ABCD为α，A1B1为a，则a∥α，当分别取