全国统考2024高考数学一轮复习第五章平面向量数系的扩充与复数的引入5.4数系的扩充与复数的引入学案理含解析北师大版

PAGE5.4数系的扩充与复数的引入必备学问预案自诊学问梳理1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如(a∈R,b∈R)的数叫作复数,其中实部为,虚部为

当b=0时,a+bi为实数;当a=0,且b≠0时,a+bi为纯虚数;当b≠0时,a+bi为虚数复数相等a+bi=c+di(a,b,c,d∈R)⇔

实数能比较大小,虚数不能比较大小共轭复数a+bi与c+di共轭(a,b,c,d∈R)⇔

实数a的共轭复数是a本身复平面建立平面直角坐标系来表示复数的平面,叫作复平面,叫作实轴,y轴叫作虚轴

实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ对应的复数为z=a+bi(a,b∈R),则向量OZ的长度叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模,记作|z|或|a+bi||z|=|a+bi|=a2+b2(a,2.复数的几何意义3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;

②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=;

③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=;

④除法:z1z2=a+(2)复数加法的运算定律复数的加法满意交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=,(z1+z2)+z3=.

(3)复数加、减法的几何意义若复数z1,z2对应的向量OZ1,OZ2不共线,则复数z1+z2是以OZ1,OZ2为两邻边的平行四边形的对角线1.(1±i)2=±2i;1+i1-i=i;2.-b+ai=i(a+bi)(a,b∈R).3.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N+).4.i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N+).5.复数z的方程在复平面上表示的图形(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心,以a和b为半径的两圆所夹的圆环;(2)|z-(a+bi)|=r(r>0)表示以(a,b)为圆心,r为半径的圆.考点自诊1.推断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若a∈C,则a2≥0.()(2)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数.()(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部为bi.()(4)方程x2+x+1=0没有解.()(5)由于复数包含实数,在实数范围内两个数能比较大小,因此在复数范围内两个数也能比较大小.()2.(2024浙江,2)已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=()A.1 B.-1 C.2 D.-23.(2024北京,2)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则iz=()A.1+2i B.-2+iC.1-2i D.-2-i4.(2024全国2,文2)(1-i)4=()A.-4 B.4 C.-4i D.4i5.(2024江苏,2)已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)·(2-i)的实部是.

关键实力学案突破考点复数的有关概念【例1】(1)(2024全国1,文2)若z=1+2i+i3,则|z|=()A.0 B.1 C.2 D.2(2)(2024陕西宝鸡三模,文2)已知复数z在复平面内对应的点为(1,m),若iz为纯虚数,则实数m的值为()A.-1 B.0 C.1 D.1或-1(3)(2024江苏,2)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.

思索求解与复数概念相关问题的基本思路是什么?解题心得求解复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数以及求复数的实部、虚部时都与复数的实部与虚部有关,通常需先把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再依据题意求解.对点训练1(1)(2024全国3,理2)复数11-3i的虚部是A.-310 B.-110 C.110(2)(2024福建福州三模,理1)已知纯虚数z满意(1-i)z=2+ai,则实数a=()A.2 B.1 C.-1 D.-2考点复数的几何意义【例2】(1)(2024全国1,理2)设复数z满意|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1(2)(2024全国2,理15)设复数z1,z2满意|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,则|z1-z2|=.

思索复数具有怎样的几何意义?几何意义的作用是什么?解题心得1.复数z=a+bi(a,b∈R)Z(a,b)OZ=(a,b).2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.对点训练2(1)设复数z满意|z-i|+|z+i|=4,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.x24-y23=C.y24-x23=(2)(2024山东历城二中模拟四,2)已知复数z满意|z+1-i|=|z|,z在复平面内对应的点为P(x,y),则()A.y=x+1 B.y=xC.y=x+2 D.