2024-2025学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦余弦正切公式一课时素养评价含解析新人教A版必修4

PAGE两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)(15分钟30分)1.函数f(x)=sinx-cosx+QUOTE的值域为 ()A.[-2,2] B.[-QUOTE,QUOTE]C.[-1,1] D.QUOTE【解析】选B.f(x)=sinx-cosQUOTE=sinx-QUOTEcosx+QUOTEsinx=QUOTEsinx-QUOTEcosx=QUOTEsinQUOTE,所以函数f(x)的值域为[-QUOTE,QUOTE].2.在△ABC中,A=QUOTE,cosB=QUOTE,则sinC等于 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选A.由题意知,sinB=QUOTE,则sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.3.已知钝角α,β满意cosα=-QUOTE,sin(α-β)=-QUOTE,则cosβ等于 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选B.因为α,β为钝角,所以-QUOTE<α-β<QUOTE.因为cosα=-QUOTE,所以sinα=QUOTE.又sin(α-β)=-QUOTE,所以cos(α-β)=QUOTE,所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cos(α-β)cosα+sin(α-β)sinα=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=-QUOTE.4.函数y=sinQUOTE+sinQUOTE的最小值为 ()A.QUOTE B.-2 C.-QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为y=sinQUOTE+sinQUOTE=sin2xcosQUOTE+cos2xsinQUOTE+sin2xcosQUOTE-cos2xsinQUOTE=QUOTEsin2x,所以所求函数的最小值为-QUOTE.5.已知cosα=QUOTE,sin(α-β)=QUOTE,且α,β∈QUOTE.求cos(2α-β)的值.【解析】因为α,β∈QUOTE,所以α-β∈QUOTE,又sin(α-β)=QUOTE>0,所以0<α-β<QUOTE,由题意得,sinα=QUOTE=QUOTE,cos(α-β)=QUOTE=QUOTE,cos(2α-β)=cos[α+(α-β)]=cosαcos(α-β)-sinαsin(α-β)=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2024·海口高一检测)在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形态肯定是 ()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形【解析】选C.2cosBsinA=sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以sinAcosB-cosAsinB=0,即sin(A-B)=0.又A、B是△ABC的内角,所以A-B=0,即A=B.2.已知f(x)=sinQUOTE-QUOTEcosQUOTE,则f(1)+f(2)+…+f(2019)的值为 ()A.2QUOTE B.QUOTE C.1 D.0【解析】选A.f(x)=sinQUOTE-QUOTEcosQUOTE=2sinQUOTE=2sinQUOTEx,所以周期为6,且f(1)+f(2)+…+f(6)=0,所以f(1)+f(2)+…+f(2019)=f(2017)+f(2018)+f(2019)=f(1)+f(2)+f(3)=2QUOTE.3.若α为锐角,sinQUOTE=QUOTE,则cosα的值等于 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为α为锐角,sinQUOTE=QUOTE,所以cosQUOTE=QUOTE.所以cosα=cosQUOTE=cosQUOTEcosQUOTE-sinQUOTEsinQUOTE=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.4.函数f(x)=cosx(1+QUOTEtanx)的最小正周期为 ()A.2π B.π C.QUOTEπ D.QUOTEπ【解析】选A.f(x)=cosxQUOTE=cosx·QUOTE=2QUOTE=2cosQUOTE,所以最小正周期T=2π.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2024·聊城高一检测)若cos(α+β)=QUOTE,cos(α-β)=QUOTE,则tanαtanβ=.

【解析】将cos(α+β)=QUOTE,cos(α-β)=QUOTE按两角和与差的余弦公式绽开,相加减可得:sinαsinβ=QUOTE,cosαcosβ=QUOTE,所以tanαtanβ=QUOTE.答案:QUOTE6.函数f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值为.

【解析】因为f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx=sinxcosφ-cosxsinφ=sin(x-φ),-1≤sin(x-φ)≤1,所以f(x)的最大值为1.答案:1【补偿训练】已知cosQUOTE=-QUOTE,则cosx+cosx-QUOTE的值为.

【解析】cosx+cosQUOTE=cosx+QUOTEcosx+QUOTEsinx=QUOTEcosx+QUOTEsinx=QUOTE=QUOTEcosQUOTE=-1.答案:-1三、解答题7.(10分)已知cosα=QUOTE(α为第一象限角),求cosQUOTE+α,sinQUOTE的值.【解析】因为cosα=QUOTE,且α为第一象限角,所以sinα=QUOTE=QU