刘蒋巍：命题转换高中生思维拓展的方法

命题转换，高中生思维拓展的方法

文/刘蒋巍

“数学基础树的根，命题转换生题型。

一种题型生多解，一种解法一题型。”

数学题的训练不能搞低水平的重复。因为总是低水平低层次地重复做，重复

练，不仅会浪费学习的时间与精力，影响学生其他学科的学习，还会导致学生越

练越笨、越练越呆。所以，我们在解题学习中应学会转换视角、层层递进，逐步

加深问题的难度，多角度转换问题呈现的背景，从而向更深层次发展。

原问题已知直角三角形ABC中,/A,/B,NC所对边分别为

a,b,c,a=3,b=4,ZC=900,求c

运用《命题转换的9种方法在教学中的运用》［1］书中命题转换的9种方法

对例题衍生.

技法1:擦除法

擦除法，又称“删除条件”。试题通过删除条件，往往会增加分类讨论的情况，

使试题的难度得以提升。还可删除题目中不必栗的冗余的条件，让学生推理得出。

甚至可以删除图形（即：不给出图形），考察学生的画图能力。

问题衍生1将原问题中的条件“NC=90。”删除，其他条件不变，求c的值。生成

如下新问题lo

新问题1已知直角三角形ABC中，ZA,ZB,ZC所对边分别为a,b,c,其中

a=3,b=4,求c的值。

新问题分析：将条件“NC=90。”删除后，c不一定为斜边，答案有两解，常见错

误:漏解。

解法口诀化，方便记忆：避免此类漏解的口诀:“有图有真相，无图有陷阱。”（此

口诀为刘蒋巍老师根据网络用语改编，简洁好记，经过试验，学生记忆口诀后遇

到该类一题多解问题，不会出现漏解，正确率提高了。）

技法2:条件与结论互换

一个问题，将其条件与结论互换后，能够生成新的问题。"条件与结论互换”

是数学试题命制的常用方法之一。

问题衍生2将例题条件与结论互换，生成新问题2

新问题2已知三角形ABC中,NA,NB,NC所对边分别为a,b,c,其中

a=3,b=4,c=5,求NC

技法3:命题推广

命题推广，即：由具体数字推广到字母、由具体函数推广到抽象函数、由二

元推广到多元等。

问题衍生3将题型2命题推广，生成新问题3

新问题3（1）已知三角形ABC中,NA,NB,NC所对边分别为a,b,c,其中

/+〃=,试判断AA3C的形状.

（2）已知三角形ABC中,NA,/B,/C所对边分别为。功,。,。为最大边，且

试判断43c的形状.

（3）已知三角形ABC中,NA,/B,NC所对边分别为a,b,c,其中/+从＜02,试判

断A4BC的形状.

技法4:组合法

组合法，即：“多命题重组”，是指将多个命题进行重新组合，实现无缝对接。

问题衍生4将例题中“a=3,b=4”与一元二次方程的根进行组合，包装成新问题4

新问题4已知三角形ABC中,/A,NB,NC所对边分别为。力,c淇中a,。是一元

二次方程f-7x+12=0的两根，求c

技法5:数学语言间的转换

数学语言包括：文字语言、符号语言、图像语言。“数学语言间的转换''就是

指文字语言、符号语言和图像语言之间的转换以及语言互译。

问题衍生5直角三角形斜边的长，可转译为外接圆的直径长.通过语言互译，生

成新问题5

新问题5在直角三角形ABC中/A,NB,NC所对边分别为a,b,c,其中a=3,b=4,

求AABC外接圆的半径.

技法6:由静化动，动态生成

“由静化动，动态生成”是指通过平移、伸缩变换、旋转变换等手段，将静态

问题转化为动态问题。或者将原先的定值，改为某种等量关系，进而生成动态问

题。

问题衍生6保持"NC=90。，c=5”不变，让点C运动，生成新问题6(1);保持

“a:A=3:4”的比例不变,A,B为定点，生成新问题6(2);保持7+6=7”的和为定值,

A,B为定点，生成新问题6(3),使静态问题动态化.

新问题6(1)直角三角形ABC中,NA,NB,NC所对边分别为a,0,c,/C=90。,

c=5,求A48C面积的最大值.

(2)求平面内到A(0,0),B(5,0)两定点距离之比为3的动点C的轨迹方程.

4

(3)求平面内到A(0,0),B(5,0)两定点距离之和为7的动点C的轨迹方程.

问题衍生7对新问题6(1)从语言互译的角度进行打磨，生成新问题7.

新问题7AA3C中，AB=5,ZAC8=9(T,在AB的同侧作正AABD、正AACE和正

\BCF,求四边形CfDE面积的最大值.

开放条件或结论，生成题组

1.控制本文例题的条件不变，使其结论开放，可设置题组如下：

问题衍生8已知直角三角形ABC中NA,/B,/C所对边分别为a,b,c,其中

a=3,b=4,NC=90°,

问:(1)三角形ABC的面积是多少？

(2)斜边上的高线长为多少？

解法点拨：利用面积法或勾股定理求解.

(3)三条边上的中线长分别为多少？

解法点拨：用勾股定理求解.

(4)三个角的内角平分线长分别为多少？

解法点拨：解法1：作垂直，通过面积法或勾股定理求解;解法2：作平行线，构

造相似三角形求解，其中平行线的作法也有多种.

(5)三角形内切圆的半径是多少？

(6)三角形外接圆的半径是多少？

2.使本文例题的条件、结论都开放，可设置题组如下：

问题衍生9已知三角形ABC中，NA,NB,NC所对边分别为a,b,c,其中

a=3,b=4,c=2,

问:(1)三角形ABC的面积是多少？

(2)三条边上的高线长为多少？

思路点拨：用勾股定理求解

⑶三条边上的中线长分别为多少？

思路点拨：用余弦定理或向量法求解

(4)三个角的内角平分线长分别为多少？

思路点拨：作平行线，构造相似三角形，结合余弦定理求解

(5)三角形内切圆的半径是多少？

(6)三角形外接圆的半径是多少？

(7)三角形ABC外接圆圆心记为0,

求①向量AB与向量A0的数量积；

②向量AC与向量A0的数量积；

③向量BC与向量A0的数量积；

(8)设BC,CA,AB中点分别为D,E,F,三角形ABC外接圆圆心记为0,

求①向量AD,BE,CF的向量和.

②向量AD与向量A0的数量积；

③向量BE与向量B0的数量积；

④向量CF与向量C0的数量积；

命题推广：已知三角形ABC中NA,NB,NC所对边分别为a,b,c,求衍生9的问题

(1)~(8).

语言互译：在三角形ABC中，NA,NB,NC所对边分别为a,b,c,其中

a=3,b=4,cosc=1,求衍生9的问题(1)~(8).

8

问题衍生10通过增加条件，衍生新问题.

(1)在直角三角形ABC中NA,NB,NC所对边分别为a,b,c,其中a=3,b=4,NC=90。,

在RfAABC内部作一个矩形CEFG,使得边CE,CG分别在两直角边上,求矩形CEFG

面积的最大值.

(2)在直角三角形ABC中NA,NB,NC所对边分别为a,b,c,其中a=3,b=4,ZC=90°,

在R/AABC内部作一个矩形DEFG,其顶点D,G分别在两直角边上，点E,F在斜边

上.求矩形DEFG面积的最大值.

(3)已知三角形ABC中，ZA,ZB,ZC所对边分别为a,b,c,其中a=3,b=4,c=2,在三

角形ABC内部作一个矩形DEFG,求矩形DEFG面积的最大值.

问题衍生11通过删除条件，衍生新问题.

(1)在三角形ABC中NA,NB,NC所对边分别为a,b,c,其中a=3,b=4,求c,的范围.

⑵在三角形ABC中NA,NB,NC所对边分别为a,b,c,其中c=2,cosC=Z,^a+b的

8

范围.

编题思路:用余弦定理对衍生11问题⑵进行包装，可得44+44c而c=2,

亦即4a2+4从-7"=16；生成(3)

(3)在三角形ABC中NA,NB,NC所对边分别为a,b,c,4672+4*2-7^=16,^a+b的

范围.

技法7:背景转换法

背景转换法，即：转换问题的背景。在试题命制的过程中，我们往往将基本

问题几度易稿，改变问题的呈现方式，使基本模型、基本条件得到隐藏，借助背

景的力量改变问题的难度。这种编题的方法，称之为“背景转换法

引理：(余弦定理的逆命题)对于正实数a,b,c,及。€(0,乃)，若有

a2-b2+c2-2/?ccos6,则a,"c对应的线段可以构成一个三角形，且a边的对角大小为

0.

证明：因为8e(0,%),所以一1<COS6<1.

又由等式a?=82+c?-2/?ccos6,得：b2+c2-2bc<a2<b2+c2+2bc,

b+c>a,

即：(Z?-c)2<a?<g+c)2,。取一cj<a<8+c,=<c+a>"

\a+b>c

故，以三正数a,仇c为边长可构造出一个三角形ABC.

〃+02_々2

由余弦定理，cosA=---------,代入已知等式，得：cosA=cos。

2bc

因为A,ee(0,乃)，且cosx在(0,乃)上单调递减，

所以，A=6,即：a边的对角大小为。

编题思路：结合引理，运用背景转换的方法，转换衍生11问题(3)中三角形的几

何背景，将几何问题代数化，生成问题(4).

（4）已知正实数a,b满足4/+4尸-7"=16,求a+b及a+2b的范围.

一个学生的数学基础，就像“大树的根”一样。数学题的生长就像“树枝”的生

长一样。一道试题可以看作树的“主干”，一个“主干”可以向不同的方向生长出若

干个“主枝同样，一道数学题也可以转换视角，从不同的视角生成若干个不同

的问题。在“树枝”的生长过程中，一个“主枝”又可以生长出若干个“侧枝”。同时

“主枝”也可以生长出“主枝延长枝”，让“主枝”进一步生长。同理，从不同的视角

衍生出的问题又可以进一步转换视角衍生出不同的子问题。同时，也可以通过开

放条件或结论，进一步生成新问题。

这就是对“数学基础树的根，命题转换生题型。”的解释。

止匕外，“一种题型生多解，一种解法一题型。”解答一类题的方法有很多，一

种解法也能衍生出一类题型。（这个在本文中，没有涉及，留给读者自行推演。）

“数学基础树的根，命题转换生题型。一种题型生多解，一种解法一题型。”

训练若此，其技必强！

参考文献

[1]刘蒋巍.命题转换的9种方法在教学中的运用[M].南昌：江西科学技术出版

社,2016

附：《编题的14个视角》

编题的14个视角

视角1条件不变，追问结论

“条件不变，追问结论''是数学问题生成的方法之一。所谓“条件不变，追问

结论“，是指在控制数学问题条件或问题题干不变的情况下，对问题的结论进行

合理地追问。可以追问原结论的同类要素，也可以对原结论的深层要素进行追问。

1.条件不变，追问原结论的同类要素

例题1如图是瑞典人科赫（Koc〃）构造的能够描述雪花形状的科赫雪花图案.

图形的作法是，从一个正三角形开始，把每条边分成三等份,然后以各边的中间长

度为底边.分别向外作正三角形，再把“底边"线段抹掉.反复进行这一过程，就会得

到一个“雪花”样子的曲线.这是一个极有特色的图形:在图形不断变换的过程中，它

的周长趋于无穷大，而其面积却趋于定值.如果假定原正三角形边长为。，则可算出

下图每步变换后科赫雪花的周长:G=3。，=，C.3=，…，则

C”=•

图1图2图3m4

分析：观察发现:第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了它的周长的L即

3

为t43a,第三个在第二个的基础上,多了其周长的1二即4为仁c)2.3%依此类推，则得

333

到的第〃个图形的周长是第一个周长的($"T•3。,即其周长是(|)n-'-3a.

问题生成原问题条件不变，追问原结论的同类要素。我们知道，周长的“同类要

素”为面积。据此，生成新的问题。

新问题如图是瑞典人科赫(Koc〃)构造的能够描述雪花形状的科赫雪花图案.

图形的作法是，从一个正三角形开始，把每条边分成三等份,然后以各边的中间长

度为底边.分别向外作正三角形，再把“底边”线段抹掉.反复进行这一过程，就会得

到一个“雪花”样子的曲线.这是一个极有特色的图形:在图形不断变换的过程中，它

的周长趋于无穷大,而其面积却趋于定值.如果假定原正三角形边长为4,则可算出

下图每步变换后科赫雪花的面积:S=乎Y,$2=,S3=，…，则

S,,=.其面积却趋于定值为.

,二,

图1图2图3图4

分析：第〃个图形的边长为%=(g)"T.q;

由于边长的分形变化为“一生四”，则第〃个图形的边数为a=3X4"T；

n2222

所以，科赫雪花的面积为：S„=S,,-.+b„_,Sn_y+3X4-X(I)"-.a

=•.・=$+当C+…+(>T+C)T+g尸]”2=乎。2+呼口一€尸卜/

当〃f+8时，昌"Tfo贝走。2+迪”2即5fMa?

94205

故，在图形不断变换的过程中，其面积却趋于定值2叵/.

例2集合A={x|—l〈x<2,xeR},B={x|0<%<3,xe/?},则Ac3=

评析：考察交集的定义，AcB={x[0<x<2,xwR}或者写成区间形式(0,2)

问题生成原问题条件不变，追问原结论的同类要素。我们知道，集合的运算有

“交、并、补”，那么交集的“同类要素''有并集、补集。据此，生成新的问题。

新问题集合A={X|-1KXV2,X£R},B={x|0<x<3,xe7?},则Au8=

C«(Ac5)=------；G(ADB)=-------；

例3函数/(x)=-4=+ln(2-x)的定义域为

VX-1

评析：考察函数的定义域；\x>\,{x[l<x<2,xe/?}或者写成区间形式(1,2)

2-x>Q

问题生成原问题条件不变，追问原结论的同类要素。众所周知，函数的定义域

与值域密切相关，故，我们可继续追问函数的值域，生成新问题。

新问题函数/(x)=—f^=+ln(2-x)的值域为______

yjx-l

2.条件不变，追问原结论的深层要素

例题4已知，抛物线C:y=x?-2/nr+苏+机-1,其顶点P,求证：点P在一条

定直线上.

问题生成原问题条件不变，追问原结论的深层要素。抛物线G的顶点在一条定

直线上，由此进一步思考：若抛物线q与其顶点尸所在直线/的另一交点记为。，

那么线段长为定值吗？据此，生成新问题。

新问题已知，抛物线G：y=--2如:+/+机-1与其顶点尸所在直线/的另一交

点为。，那么线段P。长为定值吗？若为定值，请求出线段P。长；若不为定值,

请说明理由。

解析：y=x2-2mx+in2+m-\=(x-m)2+(m-l),其顶点P(m,m-l')满足

方程y=x-l,点P在直线/:y=x-l上。

1r22

一,..y-x-2mx+m+m-\,八

联工方程卜，消y仔：%72—(2m+l)x+m~+m-0;

X-X22

故[X]_/1=7(12)=7^1+X2)~4X]X2=1；

由平面几何知识，易得PQ=-司=后

故，线段尸。长为定值，且为痣.

视角2所求问题不变，追问条件

数学问题的命制除了“条件不变，追问结论''外，还可以“所求问题不变，追

问条件”。同样，我们可以追问原条件的同类要素或是追问原条件的深层要素。

1.所求问题不变，追问原条件的同类要素

例1已知函数y=/(x)为定义在R上的连续的奇函数，若直线y=立人70)与函

数y=/(x)的图像有且只有AQ,y),B(X2,J2),CN，%)三个不同的交点，

则%+々+当+M+%+%=

评析：考察奇函数图像的性质；/(幻与丁=匕(人力0)均在R上的连续的奇函数。

则函数g(x)=/(x)-Zx也为奇函数；且g(0)=0;

根据题意“直线y=工0)与函数y=/(x)的图像有且只有AO1,y),B(々,必)，

C(%3，%)三个不同的交点”，即为函数g(X)=/(X)-履有三个零点，其中一个零

点为0,另两个零点互为相反数，故%+工2+%3=0；

交点的纵坐标之和y+必+,3=&百+&N+&F=%(玉+工2+工3)=0；

所以,西+%2+13+y+丁2+%=0

问题生成原问题所求的问题不变，追问原条件的同类要素。不难发现，直线

)=匕(%。0)是奇函数，曲线)，=」也是奇函数；那么，将条件“直线丁=颔攵工0)”

换成“函数旷=炉"，结论“否+々+与+弘+%+%值为是否依然不变呢？据此

想法，生成新问题。

新问题已知函数y=/(x)为定义在R上的连续的奇函数，若函数>与函数

y=/(x)的图像有且只有A(x「y),B(x2,y2),C(与,为)三个不同的交点，求

%+%2+当+X+%+%的值。

1jr

例2已知函数/(幻=于亩(勿¥-§)(0>0)图像上相邻两个对称中心之间的距离

为工,则①的值为

2

评析：考察周期T与。的关系；图像上相邻两个对称中心之间的距离为工，即

2

T2冗c

T—7i\co=—=2

T

问题生成原问题所求的问题不变，追问原条件的同类要素。我们知道，正弦函

数既是轴对称图形又是中心对称图形。故，考虑对称中心的同类要素“对称轴”；

将“相邻两个对称中心之间的距离为巴'改为“相邻两个对称轴之间的距离为X”，

22

生成新的问题。

_一1TT

新问题已知函数/(x)=5sin(3c-§)(<w>0)图像上相邻两个对称轴之间的距离

为上,则o的值为

2

例3已知向量行="一1,1),^=(2,-1),若方〃B,则实数x的值是

评析：考察向量平行的充要条件。2+x—1=0,x=-\

问题生成原问题所求的问题不变，追问原条件的同类要素。我们知道，两向量

的位置关系有平行、相交。其中，相交分为“垂直”与“相交但不垂直”。两向量不

垂直时，数量积不为0,不妨取万名=辛，据此生成新问题1、新问题2。

新问题1已知向量行=(x—1,1),5=(2,-1),若,则实数x的值是

新问题2已知向量行=(x-l,l),5=(2,-1),若23=1叵，则实数x的值是

例4集合A={x|—l〈x<2,xeR},B={x|0<x<3,xe/?},则AcB=

问题生成原问题所求的问题不变，追问原条件的同类要素。众所周知，与定义

域密切相关的是“值域”。故将条件“A={x\-l<x<2,xeR},

8={划0<%«3,%6/?}"替换为“4="|-14111%<2,x〉0},

B={x|0<lnx<3,x>0},\生成新问题。

新问题集合A={x|-l〈lnx<2,x>0},B={x|0<lnx<3,x>0},则

AryB=

24

例5已知函数/(幻=("一?"—在区间(—吟+8)上单调，则实数。的

log“尤一2a+1(x21)

取值范围是

问题生成原问题所求的问题不变，追问原条件的同类要素。我们知道，对数函

数与指数函数关系紧密，由原问题中的“log“X"，不难想到与之相关的“屋”。故，

将分段函数自变量大于等于1时，所对应的解析式进行局部修改，生成新问题。

24

新问题已知函数/(%)=<("3"2"+”在区间(-8,+8)上单调，则实数

ax-2«+l(x>1)

。的取值范围是

例6已知函数/⑴二」“'?""①,^(x)=f(x)-m,

x2+4x+l,(x<0)

(1)当m=2时，求函数g(x)的零点;

(2)若函数g(x)有四个零点，求实数，”的取值范围；

(3)在(2)的条件下，记函数g(x)的四个零点分别为玉，x2,X3，4，

求X1+%2+%3+%4的取值范围.

评析：函数的零点与图像交点的关系；分段函数图像的画法

(1)当x>0时，由|1。82'=2,解得x=4或]

当xWO时，由f+4x+l=2,解得x=-2土石，又xWO,故x=—2—后

综上，当加=2时，函数g(x)有三个零点，分别为4或,或—2-石

4

(2)函数g(x)=/(x)-〃z有四个零点，即函数/(X)图像与)=〃[的图像有四个交

点；作出函数/(x)图像与y=m的图像如下，

结合图像，可知：函数g(x)有四个零点，实数机的取值范围为(0,1]

(3)不妨设X]<彳2<%3〈尤4，结合图像知：X]+工2=-4且0<工3<1<%4

由Rog2司=|1082%4|=加可知：一1。82%3=1。82工4即1。82(彳3彳4)=0,故刍S=1

当0<加<1时，1<x4<2;故无3+Z='+无4e(2,9]

X42

3

故X]+X,+工3+4的取值范围为(—2,——]

问题生成原问题所求的问题不变，追问原条件的同类要素。我们知道，"log?/'、

“Igx”、“Inx”三个函数均是单调递增的对数函数，故其图像具有相似的性质。

那么"llogzX"、”|馆可''、“M耳”三个函数图像的趋势应大致相同。据此命制新问

题1、新问题2,也能保证新问题与原问题解法相同，能起到很好的变式训练的

效果。

新问题1已知函数/(%)=」与H)，g(x)=

x2+4x+l,(x<0)

(1)当〃?=2时，求函数g(x)的零点；

(2)若函数g(x)有四个零点，求实数”的取值范围；

(3)在(2)的条件下，记函数g(x)的四个零点分别为玉，x2,,x4,

求%+々+%3+尤4的取值范围.

5、fllnxl,(x>0)

新I可题2已知函数/1(x)=1,g(x)=/(x)，

X2+4X+1,(X<0)

(1)当帆=2时，求函数g(x)的零点：

(2)若函数g(x)有四个零点，求实数加的取值范围；

(3)在(2)的条件下，记函数g(x)的四个零点分别为$,x2,x3,x4,

求X[+々+与+4的取值范围.

2.所求问题不变，追问原条件的深层要素

例7已知函数/(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且

f(x)+g(x)=2x,当xN—1时都有等式〃(x)g(x)+/(2x)=0成立，则函数力。)的

最大值是

评析：考察抽象函数的表达式；函数的奇偶性、单调性；

2V_2T2X+2~x

f(-x)+g(-x)=2~x；即-/(x)+g(x)=2-*；则/(x)=-,g(x)=―-一，

人2上吟必

又〃(x)g(x)+f(2x)=0,则%(x)=2T-2\

易知/i(x)单调递减；故，函数/l(X)的最大值是力(-1)=二

2

问题生成原问题所求的问题不变，追问原条件的深层要素。若将原问题中的

“以幻”换成字母进一层思考：若。不是x的函数，函数。的最小值怎么求

呢？据此，生成新问题。

新问题已知函数/(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且

/(x)+g(x)=2，，当xN—1都有不等式ag(x)+/(2x)N0恒成立，其中。不是x

的函数，求函数。的最小值.

视角3条件与结论互换

一个问题，将其条件与结论互换后，能够生成新的问题。"条件与结论互换”

是数学试题命制的常用方法之一。

1.例谈”条件与结论互换”

1

例1函数./■(%)=+ln(2-x)的值域为

Jx-1

评析：考察复合函数的值域的求法；易得：函数定义域为(1,2);由复合函数“同

_1

增异减''的原则,可知函数fix')+ln(2-x)在定义域上单调递减。又因为

Jx-1

lim/(%)=+8；

X—>1+

1

lim/(x)=-oo；故函数/(x)=+ln(2-元)的值域为R.

A->2-Jx-1

问题生成将原问题的条件与结论互换，引入参数。表示函数/(x)表达式中的部

分字母，求参数a的值。生成如下新问题。

1

新问题已知函数/(%)+ln(2a-x)在区间(1,2)上的值域为R,则求a的

ylx-a

值.

例2若函数f(x)=tnx"-'为森函数，且此取函数的图像经过点P(V2,-),则

m+n=—

评析：考察赛函数的概念；加=1；(五)"T=g,H—1=—2,7?=—1,〃2+〃=0

问题生成将原问题的条件与结论互换，引入参数a表示P点的横坐标，求参数a

的值。生成以下新问题。

新问题若函数/(X)=m"T为赛函数，加+〃=0且此赛函数的图像经过点

P(a,—),贝'Ja=

2

例3在AABC中，AB=AC,。为AABC内一点，且NADB=ZADC,求证：

BD=CD

问题生成本题中若将条件“ZAZ58=NAr>C”与要证明的结论互换，

则难度大幅降低，适合三角形全等证明的初学者。

新问题在AA6C中，AB=AC,。为AABC内一点，且BD=CD,求证：

ZADB=ZADC

例4把函数y=cosx图像上所有点的横坐标变为原来的;倍，且纵坐标保持不变,

得到图像G，再把图像G上所有的点向左平移至单位得到图像C2;最后把图像

6

G上所有的点向下平移1个单位得到图像G，则图像。3的函数图像解析式为—

评析：考察三角函数伸缩变换、平移变换：变换后表达式为丫=(：052。+2)-1；

6

即y=cos(2x+y)-l;

问题生成将原问题的条件与结论互换，将“图像。3的函数图像解析式”给出，将

初始函数)，=(：05%改为待定的表达式y=Acos@v+°)。由此，生成新的问题。

新问题把函数y=Acos&x+°)图像上所有点的横坐标变为原来的;倍，且纵坐

标保持不变，得到图像G，再把图像G上所有的点向左平移三单位得到图像。2；

6

最后把图像g上所有的点向下平移1个单位得到图像。3,图像G的函数图像解

TT

析式为y=cos(2x+y)-l,则函数y=24cos@r+0)图像解析式为

例5若同=3,恸=2,卜+可=",则向量M与向量B的夹角为

_(\a+b\)2-(\af+\h?)j

评析：考察向量的数量积；cos<a,b>=---------1————=——；故向量1与

2|柚2

向量B的夹角为主

3

问题生成将原问题的条件“B+Bb与结论“向量2与向量B的夹角为菖

“互换，生成新问题。

新问题若同=3,W=2,且向量2与向量B的夹角为等，则忖+闸=

例6已知外，£(羊,1)，Sin(6Z+yff)=--,sin(--yff)=--,则

cos^,z+—兀、)=

A.JT5

评析：考察两角和的余弦公式；cos(a+£)=—,sin(---，)=----

5413

cos(a+—)=cos[^r+yff)+(--/7)]=cos(a+/9)cos^-^)-sin((z+^)sin(--/7)

4444

56

65

问题生成将原问题的结论“cos@+工)=-些”与条件“sin(a+0=-3”

4655

“sing-尸)=-上”中的任意一个互换，生成新问题1、新问题2.

413

新问遂1已知a,/?w(=-,4)，sin(——/3)=――,cos(tz+—)=——,

4413465

则sin(a+[3)=

新问题2已知乃)，sin(a+/?)=——,cos(a+—)=---,

45465

JT

则sinG^一夕)=

例7如图，△QAC和ABAO是等腰直角三角形，ZACO=ZADB=90°,反比例函

数y=£在第一象限的图像过点8,则OC-CD+AZ>OC为

X

0A2-AB2=

分析：

OCCD+ADDC^(OC+AD)CD=(OC+BD)CD^xHyll=6

OA2-AB2=(V2OC)2T叵BD)2=2(OC2-BD2),

=I(OC+BD)(OC-BD)=1(OC+8O)(AC-AD)

11AQ

=]%%=5X6=3

问题生成将原问题的结论“04-AB2=3”作为已知条件，将反比例函数y=g中

X

的“6”改为待定字母3求Z的值。据此，生成新问题。

新问题如图，AOAC和是等腰直角三角形，NACO=NAD8=90°,反比

k

例函数y=—在第一象限的图像过点B,且。川一A8?=12,则k的值为

X

2.“条件与结论互换”应用案例

2015年江苏高考数学卷第19题1稿的打磨过程川也采用了“条件与结论互换”的

方法。

1稿当函数/（幻=&+1）[/+（4一i）x+l-0有3个不同的零点时，求〃的范围.

参考答案：（-8,-3）51,3）5。,+8）

22

1稿修改由于。+1）52+（4-1»+1-4]=/+0¥2+1-a,发现等号右边的三次式的

二次项系数与常数项和为1,即a+（l-。）=1。引入参数c替换1,将“条件与结

论互换“求c的值，形成2稿.

2稿当函数/（》）=无3+⑪2+。—。（实数。是与。无关的常数）有3个不同的零点

时，。的取值范围恰好是（_8,-3）0（1,}=§,+8）,求c的值.

参考文献

[1]例谈高中数学教材试题的衍生——以江苏高考数学试题命制为例[J].文理导

航（中旬）,2017,（02）:18

视角4删除条件

试题通过删除条件，往往会增加分类讨论的情况，使试题的难度得以提升。

还可删除题目中不必要的冗余的条件，让学生推理得出。甚至可以删除图形（即：

不给出图形），考察学生的画图能力。

例1已知直角三角形ABC中，ZA,ZB,ZC所对边分别为a,b,c,其中

a=3,b=4,NC=90。，贝Uc=

问题生成将原问题中的条件“NC=90。”删除，其他条件不变，求c的值。生成如

下新问题。

新问题已知直角三角形ABC中，NA,NB,NC所对边分别为a,b,c,其中a=3,b=4,

求c的值。

新问题分析：将条件“NC=90。”删除后，c不一定为斜边，答案有两解，常见错

误:漏解。

解法口诀化，方便记忆：避免此类漏解的口诀:“有图有真相，无图有陷阱。”（此

口诀为刘蒋巍老师根据网络用语改编，简洁好记，经过试验，学生记忆口诀后遇

到该类一题多解问题，不会出现漏解，正确率提高了。）

例2如图，直线y=kx+b（匕＞0）与抛物线相交于点A（%,,月），B（x2,y2）

两点，与x轴正半轴相交于点D,与y轴相交于点C,设AOCD的面积为S,且

攵5+32=0.

（1）求。的值；

（2）求证：点（/，y2）在反比例函数的图象上;

（3）求证：x]OB+y2OA=0

思考本题第（1）问可删除“正半轴”，因为2OCD的面积为S,且左5+32=0”条

件中已隐含条件k＜0,再结合条件人＞0,可判断直线y=Zx+8经过一、二、三象

限。另外可以不给图形，增加点A在点B左侧提示，考察学生画图能力，也增

加了试题的难度。

例3已知。角的终边上有一点2一省,加）（其中加＞0）且sin6=二"，求tan8

4

的值；

评析：考察任意角的三角函数定义；

___B

因为r=，3+加2,所以sin6=—；=二^=———;则m=0或土石

V3W4

又加＞0,所以加=石，故tan。=—=一35

-V33

问题生成将条件“e角的终边上有一点尸（-8,旭）（其中机>o）”中的“加>0”删

除，那么。除为第二象限角外，还有可能为第三象限角或X轴负半轴上的角。

新问题已知。角的终边上有一点P（「A,根），且sin0=—―,求tan。的值；

4

视角5弱化条件与加强条件

“试题通过弱化条件后，会增加分类讨论的情况，有利于学生发散思维的培

养。试题通过条件加强后，往往会减少讨论的情况，使试题变得简单，使其适合

解题能力中下的学生。“山“弱化条件与加强条件''也是数学题命制的常用方法之

O

一、弱化条件

24

例1已知函数/（%）=①一在区间（_吟+8）上单调递减，则实数

log”X-2Q+1（x21）

。的取值范围是

评析：考察对数函数图像的性质、分段函数图像的性质；

2八

a—<0,

3

241217

<0—：一2々+；2—2。+1,解得了”；，故实数a的取值范围是号,早

0<6Z<1

问题生成将条件“在区间（-00,+00）上单调递减”弱化为“在区间（-00,+00）上单调”，

那么新问题需要思考“单调递增”、"单调递减”两种情况的可能性，增加了试题的

思维量。

’24

新问题已知函数/（幻=3一§比一2。+3a<i）在区间（_8,+8）上单调，则实数

log”x-2tz+l（x>1）

。的取值范围是

例2已知函数y=/(x)是定义在R上的偶函数，当xNO时,

X

一~~,(0(x«2),3

/«=2若函数/(x)在(f,f+2)上的值域是(-：,0]的子区间，则

7^-,(X>2)

U-x

实数，的取值范围为

评析：考察分段函数图像、偶函数图像的画法；子集的概念

根据题意绘制图形如下:

分析知：r+2<-3^r>3；或在r<0<r+2时，/最小取一百，最大取百一2；

即实数f的取值范围为(-00,-5]u[-瓜V3-2]u[3,+oo)

问题生成将原问题条件“值域是(-？,()]的子区间”弱化为“值域是(-3,0]”，生成

22

新问题。

新问题已知函数y=/(x)是定义在R上的偶函数，当xNO时，

J

-y,(0<x<2),

若函数f(x)在",f+2)上的值域是(-1,0],则实数f的取

/(x)=<

X

----,(%>2)

U-x

值集合为

例3如图，已知抛物线y=«%2+)x+c(a/0)与*轴交于

A(-1,0),B两点、,与y轴交于点C(0,-3),该抛物

线顶点为。，对称轴直线x=l交x轴于点H.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点P在x轴下方的抛物线上，

当ZABP=ZCDB时，求出点P的坐标；

问题生成将第(2)问“点P在光轴下方的抛物线上”弱化为“点P在抛物线上”,

形成新问题。

新问题如图，已知抛物线y=而：2+〃x+c(a/0)与x轴交于A(-1,O),B两点、,与

y轴交于点。(0,-3),该抛物线顶点为。，对称轴直线x=l交.

设点尸在抛物线上，当NA3P=NCO8时，求出点P的坐标；

新问题解析：①若P在x轴下方，

ZABP=ZCDB,/.tanZABP=tanZCDB=3

--U2-2X-3)(X-3)(X+1).)

3-xx-3

"(2,-3)

②若P在x轴上方，

•:ZABP=4CDB,tanZABP^tanZCDB=3

,X2-2X-3(X-3)(X+1)_.

3—x3—x

•••^(-4,21)

二'加强条件

例4已知函数/(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且

/(x)+g(x)=2*,当xN-1都有不等式ag(x)+/(2x)N0恒成立，其中。不是x

的函数，则函数a的最小值是

问题生成将条件“x2-1”加强为“xe[1,2]”，并将“不等式ag(x)+/(2x)N0”

稍作改动，改为“不等式勾(x)+g(2x)N0”。生成新的问题。

新问题已知函数/(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且

f(x)+g(x)=2x,当xe[l,2]不等式/(x)+g(2x)N0恒成立，其中a不是x的

函数，则函数a的最小值是

—>—>—>—>

例5在边长为4的正AABC中，已知3。=几B4,CE=〃C4,其中九>0,〃>0,

且;1+〃=1,则&>盛的取值范围为

评析：考察向量的数量积，向量的几何意义，最值问题

—>T—>—>—»I—>P—>—>——>—>

解法1:CDBE=(CB+BD)(BC+CE)=-\BG+CBCE+BD-BC+BD-CE

=-16+/zC5CA+ASABC+A//BACA=-16+8(//+/l)+82//=8(/l/z-l)

=8[A(1-A)-1]=-8(2--)2-6,其中；1>0,1—/1>0,0<2<l

2

故，BE=-8(2—g)2—6e(-8,-6]

解法2:以BC所在直线为x轴，晶方向为x轴正方向；以BC中点为坐标原点

O,BC中点与点A连线所在直线为y轴，以&方向为正方向；建立平面直角坐

标系。则B点坐标为(—2,0),C点坐标为(2,0),A点坐标为(0,2g);

BA=(2,243),CA=(-2,273),&=(-4,0),BC=(4,0);CD=(22-4,273A),

BE=(4-2〃,2抵)：CD-旋=(2/1-4)(4—2〃)+122〃=8(/L/z-l)=8[/l(l-Z)-11

=-8(2--)2-6,其中4>0,1—4>0,0<A<i

2

故，BE=-8(2—g)2_6e(-8,-6]

问题生成将条件“2>0,〃>0,且/l+〃=l”力口强为";I=g,4€[0,1]“；将所求

——>—>—>

问题“CD8E的取值范围”稍作改动，改为“8E0E的取值范围”，生成新的问题。

->1->—>—>

新问题在边长为4的正A48C中，已知3。=,氏4,CE-CA,其中〃

则BE-DE的取值范围为

参考文献

[1]刘蒋巍.“加强条件”与“弱化条件”——浅谈变式教学的两种方法[J].考试周

刊.2016(65)

视角6命题推广与特殊化

一、由具体数字推广到字母

例1如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片点P为正方形AD边上

的一点（不与点A、点。重合），将正方形纸片折叠，使点3落在P处，点C落

在G处，PG交DC干H,折痕为EF,连接5P、BH

（1）求证：ZAPB=ZBPH

（2）当点P在边4。上运动时，APO”的周长是否发

生变化？并证明你的结论；

（3）设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S

与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，

求出这个最小值；若不存在，请说明理由.

分析：（1）由翻折变换性质，得出NPBC=NBPH,又AD//BC,：.ZAPB=NPBC,

ZAPB=ZBPH

(2)APD”的周长不变.

过3作BQLP”于。点，易得A4BP4△。8尸(445),：.AP=PQ,AB=BQ

又A6=6C;.8C=BQ,又BH=BH,

NBQH=NC=90°\BQH名\BCH(HL)

：.QH=CH,APDH的周长C"DH=PD+DH+PH=PD+DH+PQ+QH

=(PD+AP)+(DH+CH)=AD+=8

(3)过户作/MLAB于/点，则FA/=_BC=A5,NFEM+NEFM=90"

又沿EE翻折EF±BP,ZABP+NFEM=90°,/.ZEFM=ZPBA

：.AE