数学基础知识-立体几何

立体几何

I教学要求

1.了解平面的定义.

2.理解平面的基本性质及推论.

3.掌握空间两条直线的三种位置关系；理解异面直线判定定理、平行直线公理4及等

角定理的内容.

4.理解异面直线所成角的概念.

5.了解直线与平面在空间中的三种位置关系.

6.理解并掌握直线与平面平行的性质定理和判定定理.

7.理解并掌握直线与平面垂直的性质定理和判定定理.

8.了解直线与平面所成的角的概念及相关定理.

9.了解平面与平面的位置关系.

10.理解两个平面平行的性质定理及两个判定定理.

11.理解二面角的概念.

12.掌握平面与平面垂直的性质定理及判定定理.

13.了解常见的几何体的相关性质，会进行有关面积、体积的计算.

14.体会几何的美，数学的美，培养学生审美情趣，提高学生学习数学的兴趣.

II教材分析

本章内容介绍

立体儿何是在学习平面几何知识的基础上，进一步研究空间中点、线、面关系的学科,

而空间中的直线和平面是立体几何基础理论知识的主要内容，是学好立体几何的关键.本

-46-

章教学要采用直观教学的方法，遵循从具体到抽象的教学原则，教师应提供丰富的实物模

拟或利用计算机软件呈现空间几何体，并注意引导学生通过实验（亲身做一做、观察等）

引出所学知识（概念和定理等），在理解的基础上，指导学生应用所学知识去解决实际问

题，提高学生的学习兴趣.

本章分为五部分：第一部分介绍平面及其性质，其中给出的三条公理，即平面的基本

性质及推论，奠定了立体几何的理论基础；第二部分介绍了空间两条直线的位置关系，其

中空间两条平行直线的性质，是平面几何中关于平行直线知识的拓展.其中异面直线是一种

全新的位置关系，对其描述可借助平面几何中角和距离概念；第三部分研究直线与平面的

位置关系，此部分要理解和掌握直线与平面平行与垂直的性质定理和判定定理；第四部分

介绍了空间中两个平面的位置关系，要求学生掌握两个平面平行的性质与判定定理；两个

平面垂直的性质与判定定理.当两个平面相交时，引出二面角这一概念；本章最后一部分介

绍了几种简单几何体，即棱柱，棱锥，圆柱、圆锥和球.对于其表面积、全面积和体积的计

算，要求学生掌握，在实际生活中可能会用到.

学好本章的关键是：要密切联系生活实际，利用长方体等教具，理解重要概念和掌握

重要结论；逐渐学会如何分析问题，逐渐学会逻辑推理；逐步适应用向量的知识进行计算

或证明；多画草图，从图中受到启发，培养空间想像能力.

本章教学重点

1.平面的基本性质.

2.确定平面的方法.

3.异面直线的概念和两条异面直线所成角的概念.

4.直线和平面平行、垂直的性质定理和判定定理.

5.直线和平面所成角的概念.

6.两个平面平行、垂直的性质定理和判定定理.

7.二面角及其平面角的概念.

8.柱、锥、球及其简单组合体的结构特征及面积、体积的计算.

数学（基础模块）下册数学参考书

本章教学难点

1.两条异面直线所成角的概念.

2.二面角的平面角的概念.

3.两个平面垂直的性质定理和判定定理.

本章学时安排如下（仅供参考）

9.1平面的基本性质约1学时

9.2空间两条直线的位置关系约2学时

9.3空间直线与平面的位置关系约3学时

9.4空间平面与平面的位置关系约3学时

9.5棱柱、棱锥与棱台约2学时

9.6圆柱、圆锥与圆台约1学时

9.7球约1学时

本章小结与复习约1学时

III教学建议和习题答案

9.1平面的基本性质

1.平面是空间图形的最基本元素，往往学生理解的“平面”是不准确的.此处一定要

强调平面是平坦而且可以无限延展，它把空间分成若干部分.平面的表示方法很简单，一般

用希腊字母£、7来命名，也可以用平行四边形的四个顶点或两个相对的顶点字母来

命名，但一定要使学生明白，这个平行四边形并不是平面，只是平面的一部分.

2.平面基本性质的三个公理是不需任何论证的真理，它是一切推理论证的基础，教学

中除了要大量引入实例外，还要充分重视直观模型的作用.

3.公理1是借助于直线与平面的关系来描述平面的基本性质.如果直线上所有的点都

在某一平面内，那么就称直线在这个平面内或说平面经过这条直线，但直线上有无数个点,

-48-

所以要判定一条直线在某一个平面内几乎是不可能的，而公理1为我们提供了一条捷径，

只要直线上有两个点在一个平面内，就可以说宜线在这个平面内.

4.公理2是判定两个平面相交的重要依据，只要两平面有一个公共交点，就可判定这

两个平面相交.

5.公理3是确定平面的条件,不共线的三点决定一个平面屈公理3可直接得到推论1,

推论2和推论3的证明.

推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.

证明：如图9/所示，设Ce«,则点4B,C确定一个平面a（公理3）.因

为直线。在平面a内，点力在平面a内.即过一条直线和直线外的一点有一个平面（存在性）.

图9-1

如果过直线。和点A还有一个平面夕，则点A,B,C必在平面月内，根据公理3,

平面a与平面夕应该重合.即过一条直线和直线外一点只有一个平面（惟一性）.

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.

证明：如图9-2所示，设=A,CGb,则不在一条直线上的三点4,B,C

确定一个平面a（公理3）.因为〃，〃上分别有两个点在平面a内，所以直线％b都在平面

a内.即过两条相交直线有一个平面（存在性）.

图9-2

如果过①b还有一个平面夕，则A,B,C三点必在平面夕内，根据公理3,过不在

一直线上的三点有且只有一个平面，所以平面a与平面夕应该重合.即过两条相交直线只

有一个平面（惟一性）.

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推论3两条平行直线确定一个平面.

证明：如图9・3所示，根据平行线的定义：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平

行线.因为所以过匕有一个平面a（存在性）.

如果过a,b还有一个平面那么在直线。上的任意一点4必在平面£内.这样有

两个平面。和万过点A和直线江这和推论1相矛盾，所以平面a与平面夕应当重合.即

过两条平行直线只有一个平面（惟一性）.

6.本节最后把空间看成点集，把点看成空间的基本元素，把平面、直线看成空间的子

集，并说明可借用集合的符号和语言表达它们之间的关系.尽管把空间看作点的集合，是

非常抽象的数学模型，但学生的理解常常停留在直观的层面上，是通过有形的点，有形的

平面和直线去理解抽象的点、平面和直线，所以在立体几何中使用几何语言和符号，一般

不会发生困难.语言“点A在直线/上”、“点A属于直线/"与符号A曰是同义的，它们

之间没有什么不同.开始教学时，可多使用语言叙述，少使用符号，以加深学生对概念的

理解，但在书写时要逐步增加符号的使用量，以使学生熟悉符号，了解符号的意义，并知

道使用符号表达清晰、简捷的优点.

7.本节定理和推论较多，建议学生以总结的形式记忆.

课堂练习答案

1.（1）正确;（2）不正确；（3）正确；（4）正确.

2.(1)⑵⑶

-50-

习题9.1答案

1.略

2.经过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面.

3.假如有其中三个点共线，则这条直线与第四个点必在同一个平面内.从而这四点共面与

已知条件矛盾.

4.因为梯形的上、下底所在的直线平行，从而这两条平行直线确定一个平面a.于是梯形

的两腰分别有两个点在平面a内.即梯形的四个顶点共面.

5.不一定，可能异面.

6.梯形一定是平面图形，证明如第4题所述，菱形也是平面图形.

9.2空间两条直线的位置关系

1.本节将两条直线的位置关系由平行与相交扩展到空间，提出异面直线的概念，即两

条直线没有公共点，也不同在任何一个平面内，这需要学生具有很好的空间想象能力，教

学时可通过引入实例，在直观的模型下来让学生了解异面直线.异而直线是立体几何中的重

要概念之一，也是本节的难点.教师可多举一些正误判断类的题目来加深学生的理解.画异

面直线要借助一个或两个辅助平面.异面直线判定定理是判断两条直线是否是异面直线的

依据，虽然可以不要求证明，也要理解并会应用.

2.教学时，要强调异面直线夹角的存在性和学习的必要性.异面直线夹角的范围是

0〜90°,不含0°.通过课本中正方体的练习，逐步深入理解异面直线及其夹角的概念.

两条异面直线互相垂直，即它们的夹角是直角，这是两条直线是异面直线时的一种特

殊位置情况.应向学生指出：今后如果说两条直线互相垂直，它们可能相交，也可能异面.

3.平行直线在平面几何中己经见过，但此处要补充公理4,平行于同一条直线的两条

直线平行.等角定理也有很广的应用，同时，通过图形让学生了解空间四边形的特点.

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4.平面内相交的直线有“形成的夹角”这一概念.在空间中，异面直线虽不能相交，

但为了表示其位置关系，给出了两条异面直线所成的角，此处需要用到等角定理.求异面直

线的夹角的过程如下：

(1)已知异面直线〃、b;

(2)在空间中任取一点0,过点。作直线"〃〃，b'把异面直线的夹角变成平

面相交直线的夹角.

(3)一般规定异面直线所成的角不大于直角.为了简便，通常把点。取在其中一条直

线上.

5.由于异面直线比较抽象，初学时，学生可以用笔、尺等代替直线以帮助形成空间图

形.

课堂练习9.2.1答案

1.略

2.(1)平行(2)垂直相交(3)异面(4)异面(5)异面

课堂练习9.2.2答案

1.1条

2.互补

3.根据平行于同一条直线的两条直线互相平行可说明.

课堂练习9.2.3答案

1.(1)45°(2)60°(3)60°

2.两条直线互相垂直，它们不一定相交.

习题9.2答案

1.⑴X(2)V(3)X(4)X

2.正确，根据公理4.

-52-

3.是，由题意可得，EH、FG、EF、HG均为中位线，又因为4O6D可知EF=FG=HG=EH.

9.3空间直线与平面的位置关系

1.直线与平面有三种位置关系：

(1)直线在平面内一一有无穷个公共点；

(2)直线与平面相交—有且只有一个公共点；

(3)直线和平面平行一一无公共点.

2.直线与平面平行的判定及性质定理的理解和应用是本节的重点之一，用反证法证明

判定定理如下，供教师参考，不需对学生讲解：

已知：Q在平面a外，Z;在平面a内，a//b

求证：a//a.

证明：如图9-4所示.

图9-4

假设直线。与平面a交于点4那么点4在平面a内，.

又因为。〃从

所以4,确定平面夕，从而

直线4,直线人均在平面/?内

因为直线匕在平面a内，

所以b是a与4的交线.

所以点A在直线匕上.

于是直线a和直线b交于点A.这与a//b矛盾.

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所以直线4和平面a交于点A不可能，因此。〃a.

3.直线与平面垂直是由实例引入的，如果由定义证明直线垂直于平面是很难的，所以

直线与平面垂直的判定定理显得尤为重要，其证明如下：

已知：直线机，〃在平面a内，〃7,〃交于点。

求证：l-La.

证明：设g是平面a内的任意一条直线.要证明/J_a,根据定义，就是要证/J_g.

先证明/,总都通过点。的情况（见图9-5）.

在直线/上点。的两边分别取点A,4,使AOA'。.那么直线m,〃都是线段41，

的垂直平分线.如果能证明直线g也是线段4r的垂直平分线，就得到/，g.

当g与机或〃重合时，根据己知/L〃，/_!_〃，可知/_Lg成立.当g与加，〃都不重合

时，在a内做一直线与加，小g分别相交于P,Q,R.连结4P,A'P,AQ,A'Q,AR,

A'R,则

AP=AfP,AR=AR.

△APRg/XA'PR

・・・ZAPQ=ZArPQ.

：.AAP。g△APQ.

：.AQ=AfQ.

所以g是4A的垂直平分线.

・・・山・

-54-

如果/，g中有一条或两条不经过点0,那么过点。可引/,g的平行直线.由于过点O

的这样两条直线所成的角就是直线/与g所成的角，同理可证得这两条直线互相垂直，即

/口.

综上所述/_La.

以上证明，仅供教师参考，不需要给学生讲解.

4.当直线与平面斜交时，引入了斜线段和射影的概念，要求学生知道什么是点到平面

的距离，直线到平面的距离，以及直线与平面所成角的概念，这也是衡量直线与平面位置

关系的参数，学生要学会相关计算.

5.三垂线定理及其逆定理是空间垂直关系的精确概括，是研究空间垂直关系的重要定

理.这两个定理教材中没有提到，教师可作为补充内容.

6.直线与平面垂直的位置关系，涉及到直线与直线垂直的知识；直线与平面平行的位

置关系，涉及到直线与直线平行的知识.学习本节内容时，要适当复习一下上一节所学内容.

这也体现了知识间的紧密性、连接性.

课堂练习9.3.1答案

⑴AB在平面AC内

⑵线段43〃平面AC

⑶相交

课堂练习932答案

1.是平行的.因为CQ〃4B,在桌面所在的平面内，根据直线和平面平行的判定定理可知.

2.(1)X(2)X

课堂练习9.3.3答案

1.(1)1(2)相交

2.是.因为一个圆的两条直径为相交直线，根据直线与平面垂直的判定定理可证.

3.由勾股定理的逆定理可知ABLBD,所以43_L地面

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4.9：BA±AC

又PALa

：.PALAC

・"CJ_平面PAB

故4C_LP8.

课堂练习9.3.4答案

1.(1)CO0,90°],平行或直线在平面内；垂直；斜交

(2)无数

2.直线ABi与平面AC所成角为45°,

直线G。与平面力。所成角为45°,

直线BD\与平面AC所成角为arcsin—.

3

习题9.3答案

1.(1)平面CQQCi，平面AIBIGD

(2)平行，因为BQ"/BD

2.平面EG〃B。，AC〃平面EG,8。与AC是异面直线.

3.a//c,b//c

4.平行

5.EA=645cm,EB=4713cm,E£>=13cm

6.(1)arctan—(2)8.6cm

7

9.4空间平面与平面的位置关系

1.平面与平面的位置关系有平行和相交两种.两个平行平面的性质定理中，一定要注

意若两个平面平行，那么一个平面中的任一条直线都平行于另一个平面，但是不能说这条

-56-

直线平行于另一个平面的任何一条直线，它们也有可能是异面直线.两个平面平行的两个判

定定理很有用.判定定理1中一定要强调是相交直线，如果一个平面内两条平行直线与另一

平面平行，并不能说这两个平面平行.

2.两个平面相交时所成的角叫二面角，二面角的平面角是一个重要的概念，它把立体

图形转化为平面图形.当二面角为直角时，则称这两个平面互相垂直.平面与平面垂直的性

质及判定定理要使学生深刻理解，其可以用前面所学的内容证明，教师可让学生自己证明.

3.当两个平面垂直时，其中一个平面内的一条直线若垂直于交线，则这条直线就垂直

于另一个平面.这又将面面垂直转化为直线和平面垂直，继续让学生感受知识间的相关性.

课堂练习9.4.1答案

1.略

2.(1)1

(2)1

课堂练习9.4.2答案

1.略

2.⑴J(2)X(3)X(4)X(5)V

3.(1)平行

27

(2)——cm

4

课堂练习9.4.3答案

1.(1)NDiDB,90°;乙4。8,45°

(2)xOz,zOy；zOy,xOy;xOz,xOy.

2.根据平面与平面垂直的判定定理分析.

3.155°,因为二面角与NBAC互补.

4.AC.LDE

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•:ABL,a工。

：.ABL0

：.ABLDE

又BCLDE

，OE_L平面ABC

：.DEA.AC

习题9.4答案

1.平行

VZ1+Z2=18O°

又N3+N4=180°

：.B\Ci//BC

・•・平面ABC〃平面4BiG

2.平行,因为3。〃8。1，所以80〃平面AB\Di,又因为GO〃AS，所以〃平面AB\D\,

BD与CQ交于点D,所以平面ABxDx与平面平行.

3.相等.

4.(1)5^2cm

(2)a

<20073

5.----m

3

9.5棱柱、棱锥与棱台

1.在日常生活中，我们常见到各种形状不同的物体.若只考虑它们的形状和大小，它

们都是几何体.通过举例让学生了解面、棱、顶点，对角线等概念.

-58-

2.本节的重点为棱柱、棱锥的面积与体积的计算.教材中，没有这些计算公式的推导

过程，教师要求学生记住即可，不必给予证明.教师可适当举一些生活中的几何体，让学生

运用公式去计算，培养学生把数学应用到生活中的意识.

3.我们把棱柱看成是一个多边形与它在由向量々确定的平移下的像围成的几何体,

运用这一看法可以立即得出棱柱的下列性质：

(1)两个底面是全等的多边形；

(2)平行于底面的截面与底面是全等的多边形；

(3)侧棱都相等；

(4)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.

4.正棱柱是底面为正多边形的直棱柱.

5.底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体.

6.我们用平移和错切(它们都不改变图形的面积和体积)求出了棱柱的体积公式.这一

方法比较直观、易懂.

7.如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，则称这个棱

锥是正棱锥.

8.棱台的面积与体积的相关干算，教材中没有讲解，也不要求学生掌握.

课堂练习9.5.1答案

1.长与宽分别为8与6.

OC(也上321/3旧3

2.S全=(才+9)。=•

3.(1)572;(2)V186.

4.3-j3a2+6ah.

课堂练习9.5.2答案

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］岛2

，16

2.15

3.S仔=717/+/,v=一

3

习题9.5答案

1.5全=2d2+4ah

2.S*=&瞥-

3.15cm

4.1056m3

9.6圆柱、圆锥与圆台

1.把圆柱，圆锥，圆台统一用旋转体的观点讲述.

2.圆柱、圆锥的两条性质，谡本没有证明.教学时，适当根据定义以及线、面平行、

垂直性质，进行简单说理.例如，性质1：设平行于底面的截面与轴相交于点C,在截线

上任取一点尸，说明CP为定值.性质2可根据定义直接推出.

3.在研究几何体的性质时，我们常常通过研究它们的特殊截面的性质，来揭示几何体

的性质.在解圆柱、圆锥的有关问题时，常常把问题转化为研究它们的两组特殊截面：轴

截面、平行于底面的截面的性质.

4.圆柱、圆锥侧面只研究它们的展开图.圆柱的侧面展开图与侧面积计算公式比较简

单，学生可自己推出.圆锥的侧面展开图与侧面积涉及到扇形的有关概念和面积计算，建

议教学时先复习扇形的有关知识，然后由学生自己研究它们的侧面积的计算公式.

5.圆柱、圆锥之间的关系与正棱柱、正棱锥的关系相类似.

课堂练习答案

-60-

1.24

32)On

2.Sw=8OO>/57r,V=^.

习题9.6答案

1.200cm2

2.2000ncm2

3.1:27

4.S侧=24兀.

5.上、下底面半径分别为』和5,SA=3空”=875百-

2二424

9.7球

1.球面上两点间的球面距离是指经过这两点的名印在这两点间的一段劣弧(指不超过

半圆的弧)的长度.

2.公式d=J/?2--是基本的,应熟练掌握.

3.讲授球的定义时，要强调它也是一种旋转体.也可先启发学生回答它是由什么平面

图形旋转而来的，它的旋转轴是什么，然后出示模型演示.

4.讲授球的定义后，可从轨迹的角度介绍球面的定义.

要强调球面和球的区别，球面仅仅指球的表面，球是几何体，不仅包括球面，也包括

球面所包围的空间.

5.“用一个平面去截一个球，截面是圆面”这一点很重要.

球的截面的两个性质是教学的重点，要注意：

(1)用一个平面从不同位置去载一个球，得到的截面都是圆.当球心到截面距离d=0

时，截面是大圆，当OvdvR时，截面是小圆.

(2)对球的截而是圆，可按教材的讲法进行适当的说理.从说理过程，很自然就可直

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接推出球的半径、截面半径与球心到截面距离三者之间的关系.

课堂练习答案

1.9cm.

2.S球面=1OO7im2,%=---m\

习题9.7答案

1.8倍.

2.S球面=48K,=325/3n.

3.—R.

2

4.6670km.

IV复习题9答案

A组

1.(1)q.(2)5后,45。(3)BD,BA,CQ,AB】,BC\,AD.(4)3兀.

2.略.

3.朋与8c是异面直线;PB与AC是异面直线;PC与AB是异面直线.

4.连接BD,交AC于。，连接EO.

因为E为。中点,0为BD中点，所以

在ADQB中,EO4go8,又因为

EOc平面ACE,48N平面ACE.

因此。由〃平面ACE.

5.提示：证明一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面.

-62-

6.略.

C-xlxlrr

7.提示：cosO=七二----=0，

2

S&BDB、1XV2X1

2

所以二面角B-OG-C的大小为45。.

8./?==L旦2"《一叵

V3334V312V3

9.高为侧棱长为叵.

26

10.(1)提示:在正方体ABC。-A4GA中，由三垂线定理得.

B、D工A】B,

8QJ.AG，

又A。1QA,B=A.且AGG平面AG8,AB工平面AGB

因此对角线与。_L平面ACA

(2)因为AG_15a，又。A_L平面A4GA，所以

AG_L〃。，乂4An"O=R,且BRa平面BBRD,RDN平面BBRD,

A£=平面AGR

由两平面垂直的判定定理知.

平面BBRD±平面AG8.

B组

1.(1)因为/545=/必。=44。3=90。,所以

SA±